8.6.3+平面与平面垂直的性质(共18张PPT)-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

(共18张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直的性质
（第2课时）
新知探索
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论.
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.
思考1：如图，设，.则内任意一条直线与有什么位置关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？
新知探索
显然，与平行或相交.当时，；当与相交时，与也相交.
特别地，当时，如图，设与的交点为，过点在内作直线，则直线所成的角就是二面角的平面角.由知，.又因为，和是内的两条相交直线，所以.
这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：
定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
新知探索
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题.例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.
我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直.由此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合.
如图，设，过点在平面内作直线，根据平面与平面垂直的性质定理，.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线与直线重合，因此.
思考2：设平面平面，点在平面内，过点作平面的垂线，直线与平面具有什么位置关系？
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线.( )
(2)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中的一个平面.( )
答案：√，×.
辨析2.如图所示，在长方体的棱上任取一点，作于，则与平面的关系是( ).
A.平行 B.平面
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
答案：D.
例析
对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？
下面的例子就是其中的一些结果.
解：在内作垂直于与交线的直线.
∵，∴.
又，∴，
又，∴.
即直线与平面平行.
例9.如图，已知平面平面，直线判断与的位置关系.
例析
例10.如图，已知平面，平面平面求证：平面.
证明：如图，过点作，垂足为.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∵平面，∴.
∵平面，平面，
∴.
又，
∴平面.
新知探索
从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直.这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
判定
判定
性质
练习
题型一：平面与平面垂直的性质定理
例1.如图，在三棱锥中，平面,平面平求证：平面.
证明：在平面内，作于点.
∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面.又平面，∴.
∵平面，平面，
∴，又∵，
∴平面.
练习
方法技巧：
1.证明或判定线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理；
(3)若直线直线，平面，则；
(4)若直线平面，平面平面，则.
2.应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
练习
变1.如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形是边长为的菱形，为的中点，且.侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面.求证：平面.
证明：如图，在菱形中，连接.由已知，
∴为正三角形.
∵为的中点，
∴
∵平面平面，平面，
且平面平面，
∴平面.
练习
题型二：垂直关系的综合应用
例2.如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点.
(1)求证：平面；
证明(1)：∵，，
∴.∴
∵为的中点.∴同理.
∵∴平面
又分别为的中点，
∴
∴平面.
练习
例2.如图，和所在平面互相垂直，且,分别为的中点.
(2)求三棱锥的体积.
解(2)：在平面内，作，交的延长线于，如图所示.
∵和所在平面互相垂直，平面平面，
且平面，∴平面，
∵为的中点，∴到平面的距离是长度的一半.
在中，∴.
在中，，，
∴.故.
∴.
练习
方法技巧：
1.在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.
2.空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
练习
变2.如图，在四棱锥中，平面平面，平面.求证：
(1)平面；
证明(1)：∵平面，
平面，平面平面，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
练习
变2.如图，在四棱锥中，平面平面，平面.求证：
(2)平面平面.
证明(2)：∵，满足，
∴由，知.
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面.
∵平面，∴.
又，，∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
课堂小结
平面与平面垂直的性质：
文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
作用：①面面垂直线面垂直；②作平面的垂线.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P161的练习1——4题；
(3)课本P162的习题8.6的第9、10、11、14、15、18题.