8.6.2直线与平面垂直 (第2课时) 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直
（第2课时）
复习导入
直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
新知探索
探究直线与平面垂直的性质就是探究直线与平面垂直的必要条件，即研究在直线与平面垂直的条件下，可以推出哪些结论？类比线面平行，面面平行的性质研究，先研究已有的线线关系，然后再加新的直线、平面 探究.
问题1：如何研究直线与平面垂直的性质？类比线面平行，面面平行的性质研究，从哪些角度考虑？
新知探索
1.若直线与平面垂直，则已知直线与这个平面内的直线是什么位置关系？
2.在研究直线与平面垂直的性质时，除了研究已有的线线关系，又进行怎样的研究？加入新的线面，找不变的性质.如果在线面垂直的前提下加入新的直线或平面，它们与其已知的线面形成的关系中，有哪些不变的性质？
新知探索
在的条件下
引入一条直线
相对于直线
相对于平面
引入一个平面
相对于直线
相对于平面
新知探索
结论1：引入直线，若，则
结论2：引入直线，若，则
结论4：引入直线，若，则
结论3：引入直线，若，则或
图2
图1
新知探索
图3
结论5：引入平面，若，则
结论6：引入平面，若，则
新知探索
结论7：引入平面，若，则或
结论8：引入平面，若，则
结论9：引入平面，若，则
图4
图5
新知探索
追问3：你能够将上面的结论1抽象为一般结论，并用图形语言，符号语言表示吗？
性质定理　垂直于同一平面的两条直线平行
符号语言：
图形语言：
结论1：引入直线，若，则
新知探索
问题2：你能证明性质定理吗？
追问1：目前为止，我们学习了哪些关于直线与直线平行的判定方法？
追问2：此题中，在同一平面吗？
①定义法 ②基本事实4 ③线面平行的性质定理 ④同一平面中，初中所学知识
（三角形中位线，平行四边形对边，线段成比例等）
不能确定，故不能使用平面几何的方法进行证明，即方法④不可以，方法①也无法直接说明.
新知探索
追问3：题中有平行的条件吗？
追问4：反证法的证明步骤是什么？
没有，也无法应用②、③进行证明。直接证明不具备条件，正难则反，故该定理的证明宜使用反证法．
反设→推出矛盾→下结论.
追问5：此题如何反设？如何推矛盾？
利用同一平面内，过一点作一条直线的垂线有且只有一条推出矛盾，从而否定假设，肯定结论.当然也可以根据过一点有且只有一条直线垂直于一个平面来推矛盾.
新知探索
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行.
已知：求证：
证明：假设直线不平行于直线 ，且 ，
过点作直线，则直线 ，
所以直线b与可确定平面，设，
又因为，所以.
这样在平面内，经过直线c上同一点
就有两条直线b， 与c垂直.
显然不可能，
则
O
反 证 法
新知探索
定理说明：直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的相互转化．并且判定直线与直线平行的方法又多了一种.
追问5：你能举例说明直线与平面的性质定理吗？
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行
已知
新知探索
问题3：你能够将上面的结论5抽象为一般结论，并用图形语言，符号语言表示吗？你能加以证明吗
文字语言：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
符号语言：.
图形语言：
新知探索
例1：直线平行于平面，求证：直线各点到平面的距离相等．
追问1：直线上各点到平面的距离相等．需要一一验证吗？能简化吗？
追问2：上节课我们用线面垂直的定义证明例时，如何体现任意一条直线的？
追问3：这一条件如何使用
新知探索
例1：直线平行于平面，求证：直线各点到平面的距离相等．
证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，，垂足分别为.
∵，∴.
设直线确定的平面为，.
∵∴.
∴四边形是矩形.
∴
由是直线上任取的两点，可知直线上各点到平面的距离相等.
新知探索
问题4：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度即为该点到平面的距离．那么我们该如何定义直线到平面的距离呢？进一步，又该如何定义两个平行平面间的距离？
当一条直线与一个平面平行时，(根据例1可知)直线上任意一点到平面的距离都相等，我们称这个距离为这条直线到这个平面的距离．
当两个平面平行时，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把这个距离叫做两个平行平面间的距离．
新知探索
转化
线面距离
面面距离
转化
点面距离
①三个距离的概念体现了转化思想，并指出三个距离都体现了最小性。
②前面学习的棱柱、棱台的体积公式中的高，就是它们上、下底面间的距离，也就是上底面内任意一点到下底面的距离．
练习
练习：设正方体的棱长为1，则：
(1)点到面的距离为_____；
(2)点到面的距离为_____；
(3)到面的距离为_____；
(4)平面与平面间的距离为_____；
(5)点到的距离为_____.
练习
例2：推导棱台的体积公式，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高.
追问1：棱台的定义及锥体的体积公式是？
追问2：棱台的两个底面除了平行，还有什么特征？你会证明吗？
追问3：图上如何作出大棱锥的高，小棱锥的高及棱台的高？
追问4：如何求两个棱锥的高？
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
P
练习
例2：推导棱台的体积公式，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高.
解：如图，延长棱台各侧棱后交于点，得到截得棱台的棱锥.过点作棱台下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，，则垂直于棱台的上底面，从而.设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，则.于是
所以棱台的体积.①
由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以.代入①式，得
练习
练习
新知探索
求点到平面的距离的方法：
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为过与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法求解．
课堂小结
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直线线平行；②作平行线.
课堂小结
2.线面距与面面距
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
作业
(1)梳理本节课所学内容；
(2)课本P155的练习1——4题.