嘉兴市第五高级中学
2022 学年第二学期高二年级期中考试
数学 试卷参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目的要求.
1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. C 7. D 8. D
二．多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. ACD 10.BD 11. AC 12. BCD
三．填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
4 3 2
13. 14. 15. 180 16. ,
5 {x 1 x 2} 2
四．解答题：本题共 6 个小题，共 70 分.
17. （本小题满分 10分）
设 A＝“从甲箱中取出正品”，B＝“从乙箱中取出正品”
2
(1)所求概率为 P(B|A)＝ . …………4 分
5
3 － 2 2 － 1
(2)易知则 P(A)＝ ，P( A )＝ ，P(B|A)＝ ，P(B| A )＝ ，故由全概率公式，得
5 5 5 5
－ － 3 2 2 1 8
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P( A )P(B| A )＝ × ＋ × ＝ .…………10 分
5 5 5 5 25
18. （本小题满分 12分）
（1） f (x) 3x2 2x 1，所以切线斜率 k f 2 15，
于是切线方程为： y 10 15 x 2 ，即 y 15x 20 ； …………6 分
1
（2）令 f (x) 0，解得 x1 1， x2 ，
3
则 x， f (x)， f (x) 变化情况如下表：
1 1 1
x ( , 1) 1 ( 1, ) ( , )
3 3 3
f (x) 0 0
f (x) 极大值 极小值
1 1 1 1 5
所以， f (x)的极大值为 f (1) 1，极小值为 f ( ) ． …………12 分
3 27 9 3 27
嘉兴市第五高级中学高一年级期中考试数学参考答案 第 1 页 （共 3 页）
19. （本小题满分 12分）
（1）∵C0 C1 2 2n n Cn 29，∴ n n 56 0，解得 n 8（舍去）， n 7．…………6 分
k 5k
7 k 14
（2）通项Tk 1 C
k ax 2 x2 a7 k7 Ck7 x 2 ，
当 k 6时为含 x的项所以7a 56 ，解得 a 8．…………12 分
20. （本小题满分 12分）
2 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 6
（1） x 4， y 4，
5 5
88.5 5 4 4
设 y 关于 x的线性回归方程为 y b x a ，则b 0.85， a 4 0.85 4 0.6 ，
90 5 42
所以 y 关于 x的线性回归方程为 y 0.85x 0.6；…………6 分
（2）设零假设为 H0 ：两个分店顾客下单率无差异．列联表：
不下单 下单 合计
分店一 25 5 30
分店二 60 20 80
合计 85 25 110
44
所以 2 = 0.863 2.706，
51
所以根据小概率值 0.1的独立性检验，没有充分证据推断 H0 不成立，所以两个分店下单率
没有差异．…………12 分
21. （本小题满分 12分）
1 1
（1）由题意， X 可能为 2 ，3， 4 ，5 ，6 .又因为每次抽到蓝、绿、红球的概率分别 ， ，
2 3
1
.
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
所以 P X 2 ， P X 3 2 ， P X 4 2 ，
2 2 4 2 3 3 3 3 2 6 18
1 1 1 1 1 1
P X 5 2 ， P X 6 ，所以 X 的分布列如下：
3 6 9 6 6 36
X 2 3 4 5 6
1 1 5 1 1
P X
4 3 18 9 36
…………6 分
嘉兴市第五高级中学高一年级期中考试数学参考答案 第 2 页 （共 3 页）
x y z
（2）由题设， P Y 1 ， P Y 2 ， P Y 3 ，
x y z x y z x y z
x 2y 3z x 2y 3z 5
所以 E Y ，
x y z x y z x y z x y z 3
2 x 4y 9z x 4y 9zE Y ，
x y z x y z x y z x y z
2 x 4y 9z 25 5
D Y E Y 2 E Y ， x y z 9 9
x 2y 3z 5
x y z 3 7x 2y 17z x 3z
所以 ， x : y : z 3z : 2z : z 3: 2 :1 .…………12 分
x 4y 9z 10 2x y 4z y 2z
x y z 3
22. （本小题满分 12分）
1 1 x
（1）定义域：{x | x 0}，∴ f (x) 1 ，令 f (x) 0 ，得 x 1，
x x
当 x (0,1) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x (1, ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
∴ f (x)有增区间 (0,1)，减区间 (1, ) .…………4 分
（2）由（1）知： f (x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, )上单调递减，∴ f (x)max f (1) 1，
ln x x m x
∴m 1，不妨令 1 10 x1 1 x2 ，则 ，故 ln
1 x1 x2 ，
ln x2 x2 m x2
x
令 t 1
ln t t ln t
(0,1) ，则 ln t tx2 x2 ，∴ x ， x ， 2 1
x2 t 1 t 1
2t ln t ln t
要证 2x1 x2 4 2ln 2 ，只要证 4 2ln 2，
t 1 t 1
只要证 (2t 1)ln t (4 2ln 2)(t 1) ，
1
令 g(t) (2t 1)ln t (4 2ln 2)(t 1) ，则 g (t) 2ln t 2 (4 2ln 2)
t
1 2t 1 1
令 h(t) g (t) 2ln t 2 2ln 2，则 h (t) ，令 h (t) 0 ，得 x ，
t t2 2
1 1 1
所以 h(t) 在 0, 上单调递减，在 ,1 上单调递增，∴ h(t) g (t) h 0 ，
2 2 2
所以 g(t) 在 (0,1)上单调递增，∴ g(t) g(1) 0，
所以 (2t 1)ln t (4 2ln 2)(t 1) 在 t (0,1)恒成立，
即证： 2x1 x2 4 2ln 2 .…………12 分
嘉兴市第五高级中学高一年级期中考试数学参考答案 第 3 页 （共 3 页）嘉兴市第五高级中学 2022 学年第二学期期中测试
高二年级 数学 试题卷
2023 年 4 月
考生须知：
1.本试卷为试题卷，满分 150分，考试时间 120分钟。
2.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效。
3.考试结束，上交答题卷。
一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目的要求.
1. 已知全集U 1,2,3,4 ，集合 A 1,3 , B 1,2 ，则 CU A B （ ）
A． 2,4 B． 1,2,4 C． 1,2,3 D． 1,3,4
2. 已知 a R ，则“a 1”是“ a2 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知命题 p : x R, ln x x 1 0 ，则 p 是（ ）
A. x R, ln x x 1 0 B. x R, ln x x 1 0
C. x R, ln x x 1 0 D. x R, ln x x 1 0
1
4. 某同学通过计算机测试的概率为 ，他连续测试 3 次，其中恰有 2 次通过的概率为（ ）
3
4 2 4 2
A. B. C. D.
9 9 27 27
5. 某中学抽取了1600 名同学进行身高调查，已知样本的身高 X (单位： cm )服从正态分布
4
X N(170, 2) ，若身高在165cm到175cm的人数占样本总数的 ，则样本中不高于165cm的
5
同学数目约为（ ）
A．80 B．160 C． 240 D．320
6. 若正数 a,b满足 a b ab，则 a 2b的最小值为( )
A.6 B. 4 2 C. 3 2 2 D. 2 2 2
7．已知 f x 是函数 f x 的导函数， f x 的图象如图所示，则 f x 的图象只可能是（ ）
A. B. C. D.
嘉兴市第五高级中学数学试题卷第 1 页（共 4 页）
7
9 1
8. 已知 a e 8 ，b ln ， c ，则 a，b ， c 的大小关系为（ ）
8 8
A． c a b B． a c b C． c b a D．b c a
二．多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知实数 x, y 满足1 x 6， 2 y 3，则（ ）
1 x
A．3 x y 9 B． 1 x y 3 C． 2 xy 18 D． 3
3 y
10. 下列求导运算错误的是（ ）
A．若 f (x) cos x，则 f (x) sin x B．若 f (x) e 2x 1，则 f (x) e 2x 1
x 1 x 1
C．若 f (x) ，则 f (x) D．若 f (x) x ln x，则 f (x)
ex ex x
11. 下列说法正确的是（ ）
A．以模型 y cekx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z ln y ，将其变换后得到线性
方程 z 0.5x 1，则 c e,k 0.5
C1C3
B．从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的概率为 5 14
C 415
1
C．若随机变量 X B(9, ) ，则 D(2X 1) 8
3
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据 (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , y ) 而言，若残差平方和越n
大，则模型的拟合效果越好
7 a a a
12. 已知 (2x m) a0 a1(1 x) a
2 7 1 2 7
2 (1 x) a7 (1 x) ，若 a0 + + = 128 ，
2 22 27
则有（ ）
A. m 2 B. a3 280 C. a0 1 D. a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 7a7 14
三．填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
1
13. 已知随机变量 X 的取值为 0，1，若 P X 0 ，则 X 的均值为 ．
5
2
14. 已知集合 A x | x x 2 0 , B x | x 1 ，则 A B ．
15. 第 13 届冬残奥会于 2022 年 3 月 13 日在北京举行，现从 5 名男生、3 名女生中选 3 人分别
担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有 1 名女生被选中，则不同的安排方案有
种．
16. 函数 f (x) 2x3 ax2 1（ a 0），若不等式 f x1 f x2 ln x1 ln x2 对任意两个不相
等的 x1 ， x2 a, 恒成立，则实数 a的取值范围是________．
嘉兴市第五高级中学数学试题卷第 2 页（共 4 页）
四．解答题：本题共 6 个小题，共 70 分.
17. （本小题满分 10 分）甲箱中有 3 件正品，2 件次品，乙箱中有 1 件正品，3 件次品，先
从甲箱中任取一件放入乙箱中，再从乙箱中任取一件.
(1)已知从甲箱中取出的是正品的条件下，求从乙箱中也取出的是正品的概率；
(2)求从乙箱中取出正品的概率.
18. （本小题满分 12分）已知 f (x) x3 x2 x ．
（1）求曲线 f (x) 在点 P 2,10 处的切线方程；
（2）求函数 f (x) 的极值．
n
a
19. （本小题满分 12 分）已知 a为实数，且 * x n N 的展开式中前 3 项的二项式系2
x
数之和等于 29．
（1）求 n的值；
（2）若展开式中 x的一次项的系数为 56，求实数 a的值．
20. （本小题满分 12 分）某汽车总公司计划在S市的A 区开设某种品牌的汽车专卖分店．为
了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到
下列表格．记 x表示在各区开设分店的个数， y 表示这 x 个分店的年收入之和．
x（个） 2 3 4 5 6
y （百万元） 2.5 3 4 4.5 6
（1）该公司经初步判断，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）如果总公司最终决定在 A 区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如
下统计数据， 第一分店每天的顾客平均为 30 人，其中 5 人会购买该种品牌的汽车，第二分店
每天的顾客平均为 80 人，其中 20 人会购买这种汽车．依据小概率值 2 0.1的 独立性检验，
试问两个店的顾客下单率有无差异
n n
xi x yi y xi yi nxy
参考公式：1. b i 1 i 1 ， a y b x ，
n n
2
xi x x
2
i nx
2
i 1 i 1
2 n(ad bc)
2
2. ，其中 n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 0
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21. （本小题满分 12分） 一个不透明袋子里装有蓝色小球 x 个，绿色小球 y 个，红色小球 z
个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积 1 分，绿色的
积 2 分，红色的积 3 分.
（1）若 x 3， y 2 ， z 1，从该袋子中随机有放回的依次抽取 2 个小球，记 X 为取出小球
的积分之和，求 X 的分布列；
5 5
（2）从该袋子中随机取一个小球，记Y 为此小球的对应积分，若 E Y ， D Y ，求
3 9
x : y : z 的值.
22. （本小题满分 12分）已知函数 f (x) ln x x .
（1）求函数 f (x)的单调区间；
（2）若函数 y f (x) 的图象与 y m(m R) 的图象交于 A x1, y1 ， B x2 , y2 两点，证明：
2x1 x2 4 2ln 2 .
嘉兴市第五高级中学数学试题卷第 4 页（共 4 页）
