高 2021 级高二下期中期考试 数学试题
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1 m 2m 1．已知C8 C8 ，则 m等于（ ）
A．1 B．3 C．1 或 3 D．1 或 4
2．函数 f x x sinx 在 π, π 上的图像大致为（ ）
x3
A. B. C. D.
3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四
种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（ ）种.
A．48 B．72 C．96 D．120
4．已知函数 g x 1 x2 2a ln x 2x在 0, 上单调递增，则实数 a的取值范围为（ ）
2
, 1 1 , 1 , 1 A． B． C． D． , 2 2 2 2
5．3 个 0 和 2 个 1 随机排成一行，则 2 个 1 相邻的概率为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
2 2
6 x y．已知椭圆C： 2 2 1（a b 0）的左右焦点分别为F1、 F2， P为椭圆上一点， F1PF2 60 ，a b
3
若坐标原点O到 PF1的距离为 a，则椭圆离心率为（ ）
6
A 2 B 6 C 7 D 3． ． ． ．
5 3 3 3
7．有 2 男 2 女共 4 名大学毕业生被分配到 A,B,C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去 1
人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．36 D．72
3 2x2 , x 0
8．已知函数 f x ，关于 x的方程 f x a恰有两个不等实根 x1, x2 x x 21 2 ，则 x1 x2的最
ln x, x 0
大值为（ ）
2
A． e B e． C． 2e D．e2
2
试卷第 1页，共 4页
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2 分）
9．下列导数运算正确的有（ ）
A 1．
1
B． x x 2x 2x C． D． ln 2x
2
x x 2
xe (x 1)e e 2e x
10．已知等差数列 an 是递减数列， Sn为其前n项和，且 S7 S8，则（ ）
A．d＞0 B．a8 0 C． S15 0 D． S7、 S8 均为 Sn的最大值
11．带有编号 1、2、3、4、5 的五个球，则（ ）
A．全部投入 4 个不同的盒子里，共有 45种放法
B 3．放进不同的 4 个盒子里，每盒至少一个，共有C4种放法
C 4 1．将其中的 4 个球投入 4 个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C5C4 种放法
D 4 2 4．全部投入 个不同的盒子里，没有空盒，共有C5A4种不同的放法
12．已知函数 f x ax cosx的定义域为 0, ，则下列说法正确是（ ）
A．若函数 f x 无极值，则 a 1
B．若x x f x1， 2为函数 的两个不同极值点，则 f x1 f x2 aπ
C．存在 a R ，使得函数 f x 有两个零点
D．当 a 1时，对任意 x 0, π ，不等式 f x 1 x2 ex 恒成立
2
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
13．甲、乙、丙等 6 人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）
14．已知 x a x 2 5的展开式中含 x3项的系数为 60，则a ______.
15．如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BC 2AA1 2， AB AC 3， P为线段 A1B上的一个动点，则
PA PC的最小值是_______.
x
16 f x e 8x x 2x
2
．已知函数 m 0 有三个零点 x1, x2 , xx 3，且有 xm e 1
x2 x3，
x1 x2 x3
则 2
e
2
e e
2 的值为________.
x1 x2 x
3
试卷第 2页，共 4页
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 10 分，每小问各 5 分）
已知 f x (3x 1)n ,n N *
(1)若 f x 的二项展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，求展开式中 x2的系数；
(2)苦n 2023 2023 2 2023，且 f x (3x 1) a0 a1x a2x a2023x ，求 a0 a1 a2023 .
18（. 本题满分12分，每小问各6分）
已知函数f (x) 3 5ln x x 2 2(a 3)x, (a R),a是f (x)的极大值点。
2
（1）求a的值；
（2）求函数f (x)的极值。
19．（本题满分 12 分，第（1）问 5 分，第（2）问 7 分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn，满足 an Sn 2n．
(1)求证：数列 an 2 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2) 2若不等式 2 (2n 3)(2 an )对任意的正整数 n恒成立，求实数λ的取值范围．
20．（本题满分 12 分，每小问各 6 分）
如图，四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，AD BD，AB＝2AD，且 PD⊥底面 ABCD．
(1)证明：平面 PBD⊥平面 PBC；
π
(2)若二面角 P－BC－D为 ，求 AP与平面 PBC所成角的正弦值．
6
试卷第 3页，共 4页
21．（本题满分 12 分，第（1）问 5 分，第（2）问 7 分）
1
已知点 A 2,0 , B 2,0 ,动点 S x, y ,满足直线 AS与直线 BS的斜率之积为 ,记动点S的轨迹为曲线C .
4
(1)求曲线C的方程.
(2)设经过点 1, 1 且不经过点 P 0,1 的直线 l与曲线C相交于 M,N两点,求证: kPM kPN 为定值.
22、（本题满分12分，第（1）问5分，第二问（7分））
已知函数f (x) ln(ax) 1 1 .
x
(1)若函数f (x)的最小值为0，求a的值。
1
x- x
（2）证明：对任意的n N*,x (0,+ ),(x-1)e n ln
n
试卷第 4页，共 4页高 2021 级高二下期中期考试 数学试题答案
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。）
CBBDB DBB
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）
9. BC 10.BD 11.ACD 12.BCD
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．144 14 1． 15． 7 16．122
四、解答题
17．（本题满分 10 分，每小问各 5 分）
（1）由于 f x 6 r 12 r r的二项展开式中第 7 项的二项式系数为Cn且最大，可得 n 12，则Tr 1 C12 (3x) ( 1) ，
10
所以当 r 10时T11 C12 (3x)
2 ( 1)10 594x2，故展开式中 x2的系数为 594；
（2）若 n 2023，由Tr 1 C
r
2023 (3x)
r ( 1)2023 r ( 1)2023 r 3rCr r2023x 可知当 r为奇数时，即 x的奇次项系数为
正，当 r为偶数时，即 x的偶次项系数为负，所以 a0 a1 a2023 a0 a1 a2 a3 a2023，又
f 1 ( 3 1)2023 a0 a1 a a a 2023 20232 3 2023 4 ，故 a0 a1 a2023 4 .
18．（本题满分 12 分，每小问各 6 分）
1
19、（本题满分 12 分，第（1）问 5 分，第（2）问 7 分）
（1） an Sn 2n①
an 1 Sn 1 2n 2, n 2②
①-②得 an an 1 an 2，即 2an an 1 2，
an 2 1
变形可得 an 1 2 2
，
又 a1 S1 2，得 a1 1
故数列 an 2 是以-1 1为首项， 2 为公比的等比数列，
1
由等比数列的通项公式可得 an 2 n 1 ，2
an 2
1
*
2n 1
，n N .
（2）令 f n 2n 3 2 a 2n 3n ，则 f n 2n 1
f n 2n 1 2n 3 5 2n 1 f n
2n
2n 1
2n
当 n 1或n 2时， f n 1 f n 0，
当 n 3,n N时， f n 1 f n 0 3 3，又 f 3 ， f n
4 max
，
4
2
因为不等式 2 2n 3 2 an 对任意的正整数 n恒成立，
2 2 3 1 3，解得 .
4 2 2
20、（本题满分 12 分，第（1）问 5 分，第（2）问 7 分）
（1）在平行四边形 ABCD中， AD / /BC ， AD BD， BC BD，
PD 平面 ABCD，BC 平面 ABCD， PD BC，
PD BD D， PD,BD 平面 PDB， BC 平面 PDB，
BC 平面 PBC， 平面 PBD 平面 PBC .
（2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设 AD 1，则 AB 2，在Rt△ABD中， BD AB2 AD2 3，
CB 平面 PDB，PB 平面 PDB， CB PB，
BD CB， PB 平面 PBC， BD 平面 ABCD，
π
PBD在二面角 P BC D的平面角，即 PBD ，
6
2
在Rt PDB中， PD BD sin PBD 1，在平行四边形 ABCD中， AD BC 1，
则 A 1,0,0 ，B 0, 3,0 ，C 1, 3,0 ，P 0,0,1 ， AP 1,0,1 ， BP 0, 3,1 ，CP 1, 3,1 ，
n BP 0 3y z 0 x 0
设平面 PBC的法向量为 n x, y, z ，则 ，即 ，化简可得 ，
n CP 0 x 3y z 0 z 3y
令 y 1， z 3，解得平面 PBC的一个法向量 n 0,1, 3 ，
n AP 0 0 3
设 AP与平面 PBC的夹角为 ， sin
6
.
n AP 3 1 1 1 4
21．（本题满分 12 分，第（1）问 5 分，第（2）问 7 分）
1
（1）解:因为 S x, y ,直线 AS与直线BS的斜率之积为 ,
4
k k 1 y y 1所以 AS BS ,即 , x 2 ,4 x 2 x 2 4
x2 2
化简可得: y2 1, x 2 ,故曲线C的方程为: x y2 1, x 2 ;
4 4
（2）证明:①当直线 l的斜率不存在时,直线 l : x 1,
3 3 3 3
与曲线C联立可得:M 1, ,N 1, 2 2 ,此时 kPM 1 ,kPN 1 ,所以
kPM kPN 2 ;
2 2
②当直线 l的斜率存在时,设直线 l : y kx m ,因为直线 l经过点 1, 1 且不经过点 P 0,1 ,
y kx m
所以 k m 1,m 1,设M x , y ,N x , y , 2 : 4k 2 1 x21 1 2 2 联立 x 可得 8kmx 4m2 4 02 ,
y 1 4
64k 2m2 4 4k 2 1 4m2所以 4 0 ,解得: 4k 2 1 m2 ,
2 y 1 y 1
由韦达定理可得: x x 8km ,x x 4m 41 2 2 1 2 ,
1
因为 kPM ,kPN 2
4k 1 4k 2 1 x1 x
,
2
k k y 1 y 1
x y x y x x
所以 PM PN
2 1 1 2 2 1 2 1
x2 x1 x1x2
x1 kx2 m x2 kx1 m x2 x1 2kx1x2 m 1 x x 2 1
x1x2 x1x2
2
2k 4m 42 m 1
8km
4k 1 4k
2 1 2k 4m2 4 8km m 1 8km2 8k 8km2 8km
4m2 4 4m2 4 4m2 4
4k 2 1
2k m 1 2k 2k
2 , : k k m 1 2.m 1 m 1 k 综上 PM PN为定值
3
22．（本题满分 12 分，第（1）问 5 分，第（2）问 7 分）
4
