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8.6.3平面与平面垂直
第一课时
学习目标
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系.
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。
情境引入
线面角→线面垂直定义→线面垂直的判定→线面垂直的性质
线面垂直研究思路
面面垂直研究思路
面面角→面面垂直定义→面面垂直的判定→面面垂直的性质
新知探究
回顾:空间中平面与平面的位置关系?
思考:类比之前对异面直线所成角,直线与平面所成角的研究,
思考如何去刻画平面与平面相交的不同位置关系?
平行
相交
二面角及其平面角
新知探究
二面角:如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
α
β
l
A
B
Q
P
表示:
二面角α-l-β
二面角α-AB-β
面—线—面
点—线—点
二面角的棱
二面角的面
二面角P-l-Q
二面角P-AB-Q
新知探究
二面角
你能请举出生活中二面角的例子吗?
新知探究
我们常说“把门开大些”,是指哪个角开大一些,你认为应该怎么刻画二面角的大小?
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
O
A
B
结论:二面角是用它的平面角来度量的,一个二面角的平面角多大,就说这个二面角是多少度的二面角.
二面角的范围:[ 0o, 180o ].
① 二面角的两个面重合: 0o;
② 二面角的两个面合成一个平面:180o;
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角.
二面角的平面角的大小,与角的顶点在棱上的位置有关吗,为什么?
新知探究
10
l
O
A
B
A
O
B
3.角的边都要垂直于二面角的棱.
1.角的顶点在棱上.
2.角的两边分别在两个半平面内.
4.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.
二面角的平面角特点
新知探究
观察:教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.
如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
①首先找平面和棱
二面角D1-AB-C对应的平面分别为
平面ABC1D1和平面ABCD,棱为AB
在两个半平面找出和棱垂直的直线
②
计算出二面角 的大小
③
新知探究
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
β
α
α
β
图形表示
记作α⊥β
如何判定平面与平面垂直?
平面与平面垂直的定义
新知探究
观察 如图,建筑工人在砌墙时,常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直. 如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理?
墙面经过地面的垂线,那么墙面与地面垂直.
线面垂直→面面垂直
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
符号语言:
图形语言:
作用:线面垂直 面面垂直
新知探究
例1 已知:如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证:平面A'BD
⊥平面ACC'A'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体,
∴AA'⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD,∴AA'⊥BD.
又AC⊥BD,AC∩AA'=A,
∴BD⊥平面ACC'A',
又BD 平面A'BD,∴平面A'BD⊥平ACC'A'.
证明1:
新知探究
例2 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆o所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC
∴ BC⊥平面PAC
证明:∵PA⊥面ABC,
BC 面ABC,
∵ C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB为⊙O的直径,
又PA∩AC=A,PA、AC 平面PAC,
∴ PA⊥BC,
∴∠BCA=90°, 即BC⊥CA.
∴ 平面PAC⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,
巩固新知
1.如图,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直?为什么?
A
B
C
D
科普:课本P158-例8以及练习的第3题出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”(bie nao),即四个面都是直角三角形的三棱锥.“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材.
巩固新知
将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”;
底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.
巩固新知
2.如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D为棱AC的中点,求证:平面BDC'⊥平面ACC'A'
梳理总结
1.二面角的平面角的定义、范围及求法;
3.证明面面垂直的两种方法:定义法、判定定理法.
2.平面与平面垂直的判定定理;
4.转化思想
再 见