2023高考冲刺试卷(三)
科目：数 学
(试题卷)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4．本试题卷共4页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓 名____________________
准考证号____________________
高考冲刺试卷(三)
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A＝，B＝，则A∩B＝
A． B． C． D．
2．对于两个非零向量a和b，命题p：“存在负数λ，使得a＝λb”是命题q：“a·b<0”的
A．充分而且必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若随机事件A和B满足：P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则P(B|A)＝
A． B． C． D．
4．小说《三体》共有三部．《三体Ⅱ》中描述的由三体文明使用具有强相互作用力材料所制成的探测器，因其外形与水滴相似，所以被称作“水滴”．某学校数学与计算机兴趣小组，利用几何作图软件画出了如图所示的“水滴”的示意图．它由线段AB，AC和优弧BC围成，其中点B，C所在直线竖直(与水平面垂直)，AB和AC与圆弧相切．已知“水滴”的水平宽度与竖直高度的比值为，则sin ∠BAC＝
A． B． C． D．
5．如果一个球面与一个平面有唯一的一个公共点，那么称这个球面与平面相切，公共点为切点．已知球O与底面边长为2，高也为2的正四棱锥的四个侧面和底面都相切，则球O的半径为
A． B． C． D．
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)－f(1－x)＝0，数列满足a1＝－1，且an＋1＝(1＋)an＋(n∈N*)，则f(a22)＝
A．0 B．－1 C．21 D．22
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线C与直线y＝kx交于A，B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，曲线C的左、右焦点分别为F1，F2.若kPA·kPB＝，则下列说法正确的是
A．a＝2 B．双曲线C的渐近线为y＝±4x
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为1 D．双曲线C的离心率为
8．已知f ′(x)是定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数，满足f(x)>0且f(x)A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知x>y，且x＋y>1，则
A．2x>2y B．x2>y2 C．x2－x0
10．已知C为复数集，z1，z2∈C，下列命题中为真命题的是
A．若z＋z>0，则z>－z B．若z>－z，则z＋z>0
C．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0 D．若z＋z<0，则z1，z2中至少有一个是虚数
11．太极图是关于太极思想的图示，里面包含着一阴一阳的图形．如图所示是一幅放在平面直角坐标系中的太极图．整个图形是一个圆C：x2＋y2＝4所包围的内部区域(含边界)，其中黑色区域在y轴左侧部分为一个半圆，白色区域在y轴右侧部分也为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝则当x2＋y2≤4时，下列不等式中不能表示图形中阴影部分的是
A．x[x2＋(y－sgn (x))2－1]≤0 B．y[(x－sgn (y))2＋y2－1]≤0
C．x[x2＋(y－sgn (x))2－1]≥0 D．y[(x－sgn (y))2＋y2－1]≥0
12．设a，b，m为正整数，若a和b被m除的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)，则下列选项中正确的是
A．若|a－2b|＝km，k∈N*，则a≡b(modm)
B．227≡64(mod7)
C．若a≡(m＋2)(modm)，b≡(m＋3)(modm)，m>6，则ab≡(m＋5)(modm)
D．若a≡b(modm)，n∈N*，则an≡bn(modm)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 记f ′(x)为函数f(x)的导函数，且 ＝1－f ′(1)，则f ′(1)＝_________．
14．出行旅游必须关注天气情况．某旅行团利用某天气预报软件预测出游当天的天气情况如下：12：00～13：00，13：00～14：00，14：00～15：00这三个时间段内降雨的概率分别为0.5、0.4、0.6，则该旅行团出游当天在12：00～15：00时间段内降雨的概率为____________．(用数字作答，三个时间段是否降雨看作是相互独立的．)
15．绿色出行就是采用对环境影响较小的交通工具出行，是一种既能节约能源、提高能效、减少污染，又益于健康、兼顾效率的出行方式．某同学上学采用的就是骑自行车的绿色出行方式．如图是他的自行车的平面结构示意图．他测得图中的圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为____________．
16．设函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在[－，]上所有零点之和为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知c＝a＋2，b＝a＋3，∠C＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)若D为边BC上与B，C不重合的点，且△ADB是以BD为底边的等腰三角形，求sin ∠CAD的值．
18．(本小题满分12分)
请将1，2，3三个数分别填入下面表格中的第一行(每格只填一个数)，使得符合下面两个条件的等差数列存在：
①a1，a2，a3依次为表格中第一行、第二行、第三行中的某个数；
②a1，a2，a3 中的任何两个值均不在表格中的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行
第二行 4 6 9
第三行 12 8 7
(1)将你确定的a1的值填在表格中相应的位置(不必说明理由)，并求数列的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为Sn，若不等式Sn＋≥4对任意正整数n都成立，求实数λ的取值范围．
19．(本小题满分12分)
某学校高一年级共有学生1500名，其中男生900名．为了解在学习某一学科方面的能力表现是否与性别有关，在一次考试后将该学科卷面得分(满分150分)按性别进行分层抽样得到一个容量为100的样本．经计算得到样本平均值为110(单位：分)，方差为100.
(1)根据经验可知，全年级学生该学科的成绩近似地服从正态分布N(μ，σ2)，用样本估计总体，试估计该校高一年级学生此次考试成绩在区间[120，140]内的学生人数(最后结果按四舍五入保留整数)；
(2)若把成绩在区间[110，150]内的同学称为“高分段学生”，其他则称为“非高分段学生”．已知该样本中共有“高分段学生”58人，且男生中“高分段学生”的频率为0.7.请完成下面的2×2列联表，并根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析男生为“高分段学生”的可能性是否更大．
数学成绩 合计
高分段学生 非高分段学生
男
女
合计
参考公式和数据：
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
20．(本小题满分12分)
如图1所示，ABCD是一张边长为4的正方形纸片，沿着正方形的对边AD，BC的中点E，F所在直线将纸片对折竖立在水平桌面上，如图2所示．
(1)求证：图2中，EF⊥AD；
(2)若二面角A EF D的大小为45°，K是线段CF上(含端点)一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，1).如图所示，过点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在y轴右侧)，直线AC交y轴的正半轴于点D，交抛物线于点C，且满足|AF|＝|DF|，以点B为切点作抛物线的切线l，设l与y轴相交于点E.
(1)求证：直线l∥AC；
(2)求△AEB的面积的最小值以及取得最小值时点A的坐标．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－2x＋sin x，g(x)＝ex[a＋sin (x＋π)].
(1)若存在x1，x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围；
(2)若m∈Z，且不等式>ln x在(1，＋∞)上恒成立，求m的最大值．数学冲刺试卷（三）双向细目表
题号
题型
分值/分
主题
内容
立意
预估难度
1
单选题
5
预备知识
集合的运算
基础性
0.85
2
单选题
5
预备知识
充分条件和必要条件
基础性
0.75
3
单选题
概率与统计
条件概率与概率的运算
应用性
0.75
单选题
函数
三角函数值的计算
综合性
0.70
5
单选题
几何与代数
组合体体积的计算
综合性
0.70
6
单选题
函数
数列的综合运用
综合性
0.75
7
单选题
几何与代数
双曲线方程和几何性质
综合性
0.70
8
单选题
函数
函数与导数的综合运用
创新性
0.6
9
多选题
预备知识
不等式和概念和性质
应用性
0.75
10
多选题
5
几何与代数
复数的概念辩析
基础性
0.75
11
多选题
5
几何与代数
圆的方程和不等式的综合
综合性
0.70
12
多选题
概率与统计
二项式定理和整除性问题
综合性
0.65
13
填空题
5
函数
导数的定义
综合性
0.70
14
填空题
5
概率与统计
相互独立事件的概率的计算
综合性
0.70
15
填空题
5
几何与代数
平面向量和圆的方程的应用
综合性
0.65
16
填空题
5
函数
函数的零点
创新性
0.65
17
解答题
10
几何与代数
用正弦定理和余弦定理解三角形
综合性
0.80
18
解答题
12
函数
等差数列的综合运用
应用性
0.75
19
解答题
12
概率与统计
X模型与正态分布模型的应用
综合性
0.70
20
解答题
12
几何与代数
折叠问题的证明和计算
综合性
0.70
21
解答题
12
几何与代数
抛物线的综合题型
综合性
0.65
函数与导数的恒成立问题和
22
解答题
12
函数
创新性
0.65
存在性问题
·17·
数学冲刺试卷（三）参考答案
1.B解析：因为A={x|y=ln(x-2)}={xx>2},B={yy=2-sinx,x∈R}=
{x|1x3},所以A∩B={x|22.C解析：设向量a和b的夹角为0.由题意知，当“存在负数λ，使得a=b”时，a,b为方向
相反向量，其夹角0=π，此时a·b=a|bcosπ=一ab<0:当“a·b<0”时，a·b=
las0,故cos0<0,受<0<元所以，命题p:“存在负数，入使得a=沾”是命题
q:“a·b<0”的充分而不必要条件
3.D解析：因为P(AUB)=P(A)十P(B)-P(A∩B),所以P(A∩B)=P(A)十P(B)-
PAUB)=专+号-号=名，所以P(BA)=PAR-=至=3
P(A)131
2
4.A解析：设优弧BC所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA,OB,O℃，
如图所示.易知“水滴”的水平宽度为OA十R,竖直高度为2R,由题意知
太-专，解得OA=号R因为AB与圆弧相切于点B,所以OBLAB.
2R
在Rt△ABO中，sin∠BAO=OB=R=3
OA
，os∠BA0=1-mZBA0=手，由对称
性知，∠BAO=∠CAO,则∠BAC=2∠BAO,所以sin∠BAC=2sin∠BAOcos,∠BAO=
2x号×号装
5.A解析：连接球心O与正四棱锥S-ABCD的各项点，则正四棱锥的体积被分解为5个三
棱锥OSAB,OSBC,OSCD,OSDA,OABCD的体积.由VSABCD=VoSAB+VosBc+VoscD
+Vo+Vom得号×2×2=4X号×号×2X5R+}×2×2R.解得R-5.
31
2
2
6A解析：由题意可知a1=1十力a十号即常一会+2（分.由累加法可得号
1
n+1 n
=1-号所以a.=m-2.aa=20.又f1十)-f1-x)=0,f(x)是定义在R上的奇函
数，用1一x代替其中的x得f(x)=f(2一x)=一f(x一2)=f(x一4)，且f(0)=0,所以
f(x)是周期为4的奇函数，f(a2)=f(20)=f(5X4十0)=f(0)=0.
7C解折：因双曲线C后-苦=1(。>0,6>0)的焦点到渐近线的距离为1，则6=1，所以双
(y=kx,
曲线C话-y=1(a>0).由
a2-y2=
得(2-k2).x2-1=0.设A(x1y),B(x2),则
4十x2=0,x2=一1，同理为=-1.所以B(-1,-),设P(x为)，则-听=1，
·18
