四川省射洪市重点中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含解析）

射洪市重点中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题（理科）
第I卷（选择题）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.
1.命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A. B.2 C. D.3
4.双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A.5 B.1 C.1或17 D.17
5.在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.7
6.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.4名男生2名女生排成一排，要求两名女生相邻且都不与男生甲相邻的排法总数为（ ）
A.72 B.120 C.144 D.288
8.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，，若的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
9.数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆 椭圆 双曲线 抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（ ）
A.240 B.480 C.360 D.720
10.已知直线与抛物线相交于两点（其中位于第一象限），若，则（ ）
A. B. C.-1 D.
11.为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.9
12.已知椭圆的左右焦点为，过的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，如图，若为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知是常数，若且，则__________.
14.已知命题“”是真命题，则实数的取值范围为__________.
15.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为__________.
16.在图中，从上往下读（不能跳读）构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17题10分，其余每题12分.
17.（满分10分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛.
（1）如果选出的4人中男生 女生各2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
（3）如果被选出的4人是甲 乙 丙 丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
18.（满分12分）已知命题，命题有意义.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，求实数的取值范围.
19.（满分12分）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
（3）求的周长.
20.（满分12分）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2：5.
（1）求n的值；
（2）系数最大的项.
21.（满分12分）已知抛物线：的焦点为，点在上，且（为坐标原点）.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若为定值，求实数的值.
22.（满分12分）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭圆E交于A .
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线TA TB的斜率分别为，，证明：；
（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论.
射洪市重点中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题（理科）参考答案
1.【答案】D
【详解】由题意，命题，由全称命题的否定为存在命题，可得：为，故选：.
2.【答案】B
【详解】或，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：.
3.【答案】C
【详解】对于抛物线准线方程为，
点到焦点的距离为；故选：.
4.【答案】D
【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，
则，故，故或.
由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，
所以舍去.故选：.
5.【答案】C
【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以，
二项式展开项的通项公式为：，
的系数为故选：.
6.【答案】A
【详解】设，则①，又，由为的中点，得
从而代入①，得，即.故选：
7.【答案】C
【详解】第一步先排列除甲之外的三名男生，第二步将两名女生看作一个整体与男生甲插入排好的三名男生4个空隙中的两个空隙，第三步将两名女生内部排列，即：.
故选：.
8.【答案】B
【详解】解：记，
由，及，得，
又由余弦定理知，
得.
由，得，
从而.
.故选：
9.【答案】A
【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，
则5名同学分成四组，共有种情况，
再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，
则可能的安排方案的种数为种，故选：.
10.【答案】A
【详解】由题意知，直线过抛物线的焦点，
准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，如图，
设，因为，
所以，
则，所以，
即直线的倾斜角等于，可得直线的斜率为.故选：.
11.【答案】C
【详解】如图，圆的圆心为，半径，，则当点位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.
此时的最小值为：.故选：.
12.【答案】C
【详解】如图，连接，因为为线段的三等分点，
所以在中，为中点，为中点，所以，
又因为过的直线与圆相切于点，所以，
因为圆的半径为，
所以，由椭圆的定义得：，所以，
所以在Rt中，，即，
整理得：，即：，所以.故选：
13.【答案】3
【详解】取，则；
取，则，所以，即.
故答案为：3.
14.【答案】
【详解】命题“”是真命题，即有在的最大值，
由在递增，可得取得最大值，则，可得，
则实数的取值范围为.故答案为.
15.【答案】
【详解】由题意可知，点，所以直线的斜率为，
设两点的坐标分别为，
则，两式相减，整理得，，
所以，解得，
椭圆的方程为.故答案为：.
16.【答案】252
【详解】解本题相当于在题图中先在“构”字处标上1，再在上半部分三角形的两腰的各字处标上1，
然后从上到下依次逐字累加（如图），图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，
一直计算到下面最后一字由此可得，共有252种不同读法.
17.【答案】（1）60（2）91（3）14
【详解】（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；
（3）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；
（3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，
故一共有8+6=14种派送方式.
18.【答案】（1）（2）或.
【详解】（1）解：由题知，，解得，即，
要使函数有意义，
只需，，解得或，即或，
若为真，则有，解得：，
实数的取值范围是；
（2）由（1）知，或，
若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，
或，
只需，解得或.
则实数的取值范围：或.
19.【答案】（1）（2）25（3）54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
（2）依题意得直线AB的方程为，
设，.
联立，得，
，且，
所以.
（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为.
20.【答案】（1）（2）
【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是，
则，即，解得（舍）或，
所以n的值为6.
（2）的展开式的通项为，
令，解得，
又，，
展开式中系数最大的项为第项，且.
21.【答案】（1）（2）
【详解】（1）已知点在上，且，，
则点在线段的中垂线上，即，
把点代入抛物线的方程，则，，
解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设过的直线为，，
联立，得，
则，即，
且，
所以
因为为定值，
所以，，
解得或（舍去）
当，时，
所以当为定值时，.
22.【答案】（1）（2）证明见解析（3），证明见解析
【详解】（1）由题意知，，所以，
又椭圆经过T（2，1），所以，
解得，，
所以椭圆方程为；
（2）联立直线与椭圆方程，得，
联立消得，
整理得，
则，解得，
设，则，，
所以
，
即；
（3）椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等.证明如下：
设切线方程为，即，
由，得，
所以，
，解得，
则，又，所以，所以，
设切线与x轴交点为Q，TA TB分别与x交于C，D，
因为，所以，又，
，，
所以.