吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级（下）期初数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2017·六盘水模拟）﹣4的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】∵|﹣4|=4，
∴﹣4的绝对值是4．
故答案为：A．
【分析】依据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可.
2．（2022九下·绿园开学考）电影《长津湖之水门桥》上映后，票房一路高歌，2022年2月9日单7票房为113000000元，113000000用科学记数法可表示为（）
A．11.3×108 B．1.13×108 C．1.13×109 D．1.13×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由分析可知，113000000可用科学记数法表示为1.13×108；
故答案为：B。
【分析】科学记数法是指把一个数表示为a×10n的形式（1≤∣a∣＜10，n为整数）。注意n与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数绝对值＜1时，n是负整数。
3．（2022九下·绿园开学考）如图是一个几何体的三视图，则这个几间体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】俯视图为圆形，主视图和左视图为三角形，可推出这个几何体为圆锥；
故答案为：A。
【分析】俯视图为圆形可得为球、圆柱，圆锥，结合主视图、左视图进行分析。
4．（2022九下·绿园开学考）在数轴上表示不等式3x+1≤-5的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】不等式3x+1≤-5的解集为x≤-2，则在数轴上表示为 ；
故答案为：D。
【分析】首先求出不等式的解集，再在数轴上进行表示。
5．（2022九下·绿园开学考）关于x的一元二次方程x2-2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k＞1 C．k＜1 D．k＞
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】关于x的一元二次方程x2-2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则△=22-4×1×（2-3k）＞0，解得 k＞ ；
故答案为：A。
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的根，则其判别式△=b2-4ac＞0。
6．（2022九下·绿园开学考）如图，在大风来临之前，有关部门用钢管加固树木，固定点A离地面的高度AC=m，钢管与地面所成角∠ABC=∠1，那么钢管AB的长为（）
A． B． C．m cos∠1 D．m sin∠1
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】根据题干信息可知，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，在Rt△ABC中，sin∠1=，所以AB==；
故答案为：A。
【分析】在直角三角形中，利用边角及三角函数之间的关系进行分析。
7．（2022九下·绿园开学考）在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，∠C≠60°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】根据题干信息，在BC边上找一点D，使AD=BD，则点D是线段AB垂直平分线与BC的交点；
故答案为：D。
【分析】线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，结合中垂线的尺规作图法进行分析。
8．（2022九下·绿园开学考）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B的坐标为（1，0），点A是y轴正半轴上一点，且AP⊥BP，AP：BP＝1：2，那么四边形AOBP的面积为（）
A．6.5 B．8 C．10 D．7
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】连接OP，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，由于AP⊥BP，所以∠APN+∠NPB=∠BPM+∠NPB=90°，即∠APN=∠NPB，所以Rt△APN∽Rt△BPM，则AP：BP=PN：PM=1：2。点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，设P(x，)，则x：=1：2，解得x=2，所以P(2，4)，PN=2，PM=4。根据点P和点B的坐标可求出直线BP的解析式为y=4x-4，由于AP⊥BP，则直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为-1，所以可设直线AP的解析式为y=-+m，点P在直线AP上，可求出直线AP的解析式为y=-+，所以点A(0，)，那么四边形AOBP的面积=S△AOP+S△BOP=×OA×PN+×OB×PM=××2+×1×4=6.5；
故答案为：A。
【分析】四边形AOBP为不规则四边形，连接OP，则四边形AOBP的面积=S△AOP+S△BOP，结合三角形的面积进行分析。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（2021七上·玉屏期中）小明x岁，小华比小明岁数的2倍大5岁，则小华 岁.
【答案】2x+5
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：∵小明x岁，小华比小明岁数的2倍大5岁，
∴小华的岁数为 ，
故答案为： ．
【分析】求出小华的岁数为 ，即可作答。
10．（2017·罗平模拟）分解因式：x3﹣xy2= ．
【答案】x（x+y）（x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
11．（2022九下·绿园开学考）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=120°，则∠3= °．
【答案】40
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】根据题干信息，∠1=∠2，则AB∥CD，根据平行线内错角相等，则∠3=∠4，而EG是∠AEF的角平分线，所以∠GEF=∠4，在△EFG中，∠2=∠3+∠GEF=2∠3。根据∠2+∠4=120°，即3∠3=120°，所以∠3=40°。
【分析】根据平行线的判定及性质，以及角平分线的性质、三角形外角等于不相邻的两个内角之和进行分析。
12．（2022九下·绿园开学考）已知一个多边形的内角和为1440°，那么它是 边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由分析可知，假设该多边形的边数为n，则其内角和=（n-2）×180°=1440°，解得n=10，即该多边形为十边形。
【分析】多边形的内角和=（n-2）×180°，其中n为边数。
13．（2022九下·绿园开学考）如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C与矩形OABC位似，位似中心是原点O，矩形OA'BC'的面积等于矩形OABC面积的，且点B不在第一象限，则点B＇的坐标是
【答案】（-3，-2）
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平行四边形的面积；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】矩形OA′B'C'与矩形OABC位似，且面积比为1：4，由分析可知，则矩形OA'B'C'与矩形OABC位似比为1：2，由于B（6，4）， 点B'不在第一象限，则点B'在第三象限，其坐标是（-3，-2）。
【分析】根据相似性质可知，矩形OA'B'C'与矩形OABC位似比的平方等于面积之比，结合点的坐标与象限位置进行分析。
14．（2022九下·绿园开学考）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=1，与y轴交于（0，-3），则当y＜-3时，x的取值范围是
【答案】0＜x＜2
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据图示信息可知，该抛物线对称轴为直线x=1，抛物线经过点（0，-3），则该抛物线也经过点（2，-3），由图可知，当 y＜-3时，0＜x＜2。
【分析】根据抛物线的对称轴及对称性进行分析。
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（2022九下·绿园开学考）先化简，再求值：（x+5）（x-1）+（x-2）2，其中x＝．
【答案】解答：（x+5）（x-1）+（x-2）2
=x2+4x-5+x2-4x+4
=2x2-1，
当x= 时，
原式=2×3-1
=5
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式、完全平方公式化简整式，再代入求值。
16．（2022九下·绿园开学考）在一个不透明的口袋中装有4个乒乓球，球面上分别标有数字-1，2，-3，4.每个乒乓球除数字不同外其余均相同.
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球面上的数是负数的概率为
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球的球面上的数学上和是正数的概率，
【答案】（1）
（2）解：根据题干信息可知，共有12种等可能的情况数，其中两次摸出的乒乓球的球面上的数字之和是正数的有8种，则两次摸出的乒乓球的球面上的数字之和是正数的概率是。
【知识点】列表法与树状图法；概率公式；事件发生的可能性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）根据题干信息，摸出的乒乓球面上的数是负数的概率为。
【分析】（1）根据概率=进行分析。
（2）注意列表法适用于两步完成的事件，可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件。
17．（2022九下·绿园开学考）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC：
（2）若AE=6，AD=8，AB=7，则AF的长为
【答案】（1）证明：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠AFD+∠AFE=180°，且∠AFE=∠B．
∴∠AFD=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）平行四边形ABCD中，DC=AB=7，BC=AD=8，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=82+62=100，所以DE=10。由（1）可知，△ADF∽△DEC，则，所以AF==。
【分析】（1）相似三角形的判定：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3.三边对应成比例，两个三角形相似。
4.两角对应相等，两个三角形相似。
（2）根据勾股定理和两个相似三角形位似比进行分析。
18．（2022九下·绿园开学考）我国5G网络和终端商的快速发展，使得新一轮5G建设蓄势待发.某大型5G设备生产商为加快生产速度，现在平均每天比原计划多生产50万件设备，现在生产600万件设备与原来生产500万件设备所需时间相同，问：原计划每天生产多少万件设备？
【答案】解：设原计划每天生产x万件，则现在每天生产（x+50）万件，根据题意可知：
解得x=250，
经检验，x=250是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天生产250万件设备。
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合现在与原来工作时间相同，列出分式方程进行分析。
19．（2022九下·绿园开学考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：
（1）三角形的顶点在格点上；
（2）三角形是腰长为无理数的等腰三角形；
（3）三角形的面积为6．
【答案】（1）解：
（2）解：如图，等腰△ABC中，两腰AB=AC=，底边BC=6。
（3）解：如图，△ABC中，底边BC=6，BC上的高为2，则其面积为6×2×=6。
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；尺规作图-三角形
【解析】【分析】根据题干要求进行分析，注意无理数是指无限不循环小数，三角形的面积=×底×高。
20．（2022九下·绿园开学考）2021年4月12日，吉林省统计局发布了《吉林省2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全省“2016一2020年民用汽车保有量及其增长速度”统计图.
（1）2020年，全省民用汽车保有量是 万辆，比2019年增长了 %．
（2）2016-2020年，全省民用汽车保有量增长速度的众数是 %．
（3）小李看了统计图后说：“图中表示2016-2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2016-2019年全省民用汽车保有量逐年减少．”小李的说法正确吗？请说明理由．
（4）若2022年全省民用汽车保有量能达到584.672万辆，则全省2021年、2022年民用汽车保有量的年平均增长速度为 %．
【答案】（1）483.2；6.8
（2）6.8
（3）解：不正确。理由：由图中的信息可得，2016-2019年全省民用汽车保有量增长速度逐年放缓，但是汽车保有量却逐年增加。
（4）10
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】（1）由统计图可得， 2020年， 全省民用汽车保有量是483.2万辆，比2019年增长了6.8%。
（2）由题中的统计图可得：2016-2020年，全省民用汽车保有量增长速度的众数是6.8%。
（4）设年平均增长速度为x，则483.2（1+x）2=584.672，解得x=0.1或x=-1.1（舍去），所以年平均增长速度为10%。
【分析】根据条形统计图进行分析，注意横轴和纵轴表示的含义。注意众数是指统计分布图中具有明显集中趋势的数值。
21．（2022九下·绿园开学考）将一些相同规格的长方形纸按图①所示方法粘合起来，粘合部分的宽相等．某学校数学综合与实践小组从函数角度进行了如下探究：
[观察测量]数学综合与实践小组通过观察测量，得到如表：
长方形纸x（张） 1 2 3 4 5
总长度y（厘米） 15 25 35 45 55
（1）[探究发现]①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示长方形纸张数石纵轴表示粘合后的总长度y，描出以表格中数据为坐标的各点
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如过不在同一条直线上，说明理由.
（2）[结论应用]应用上述发现的规律让算
①当x=20时，粘合后的纸条总长度y为 厘米.
②粘合后内纸条总长度y为505厘米时，需使用长方形纸 张.
【答案】（1）解：① 描出以表格中数据为坐标的各点如图：
②上述各点在同一直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，将（1，15），（2，25）代入可得：
，解得，
所以这条直线所对应的函数表达式为y=10x+5
（2）205；50
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】（2）①当x=20时，y=10×20+5=205，所以粘合后的纸条总长度为205厘米 。
②当y=505时，代入y=10x+5中可得x=50，所以需使用长方形纸50张。
【分析】（1）①注意坐标系中横轴和纵轴表示的含义。
②用待定系数法进行求解一次函数表达式。
（2）根据y=10x+5进行分析。
22．（2022九下·绿园开学考）[实践与探究]
将△ABC（AB＞AC）沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处，展开如图，
（1）[操作观察]图①中，AB＝8，AC＝6．
①BE＝ ．
②若△ACD的面积是9，则△ABD的面积是 ．
（2）[理解应用]如图②，若∠C＝2∠B，试说明：AB＝AC+CD．
（3）[拓展延伸]如图③，若∠BAC=60°，点G为AC的中点，且AG=5.点P是AD上的一个动点，连结PG、PC，直接写出（PG+PC）2的最小值．
【答案】（1）2；12
（2）证明：由折叠可知，△AED≌△ACD，所以AC=AE，DE=CD，∠AED=∠C。
∵∠C＝2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，则CD=DE
∴AB＝AE+BE=AC+CD
（3）75
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）（1）①将△ABC（AB＞AC）沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处，则AE=AC=6，所以BE=AB-AE=8-6=2。
②根据题干信息可知，AD平分∠BAC，所以D到AB和AC的距离相等，则，则S△ABD=S△ACD=×9=12。
（3）作点C关于AD的对称点F，连接FG，则PG+PC的最小值就是FG的长，FG与AD的交点为P。
由对称性可知，AC=AF，又∠BAC=60°，则△ACF为等边三角形，由于G是AC的中点，所以FG⊥AC，且FG=CG=AG =5，所以（PG+PC）2的最小值为=75。
【分析】（1）（2）根据折叠可知，△AED≌△ACD，结合全等三角形的性质、角平分线上的点到角两边的距离相等，以及三角形的面积公式进行分析。
（3）作点C关于AD的对称点F，连接FG，则PG+PC的最小值就是FG的长，FG与AD的交点为P。
23．（2022九下·绿园开学考）如图，在矩形ABCD中，BC=8，tan∠BAC=，点PM点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，已知边BC的中点是点M，点P关于点M的对称点为点Q.当点P不与点M重合时，以MO为边在BC的上方作正方形MOEF，连结AC，设点P的运动时间为t秒，
（1）线段AB的长为 ．
（2）用含t的代数式表示线段MQ的长．
（3）当点F恰好落在线段AC上时，求t的值．
（4）当正方形MOEF与△ACD重叠部分的图形是三角形时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）6
（2）解：∵ 边BC的中点是点M，
∴BM=BC=4，
当P在M左侧时，MQ=PM=BM-BP=4-2t
当P在M右侧时，PM=MQ=BP-BM=2t-4
（3）解： 当点F恰好落在线段AC上时，存在两种情况：
①当P在M的左侧，如图所示
正方形EFMQ中，∠FMQ=90°，FM=MQ=4-2t，
∵∠B=∠FMQ=90°，
∴AB∥FM，
∴△ABC∽△FMC，
∴，即，
∴t=
②当P在M的右侧，如图所示
同理可得，即，
∴t=
综上可得，t的值为或。
（4）≤t＜或＜t≤4
【知识点】锐角三角函数的定义；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）在矩形ABCD中，∠B=90°，tan∠BAC= =，所以AB=BC=×8=6。
（4）当E在AC上时，如图，此时EQ=PM=4-2t，CQ=2t，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，即，解得t=。结合（3）可知， 当正方形MOEF与△ACD重叠部分的图形是三角形时，t的取值范围是≤t＜或＜t≤4。
【分析】（1）根据Rt△ABC中，tan∠BAC=进行分析。
（2）注意P在M的左侧和右侧两种情况。
（3）根据P在M的左侧和右侧两种情况，结合三角形相似的判定及性质进行分析。
（4）根据相似三角形位似比及三角函数进行分析。
24．（2022九下·绿园开学考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2-2mx+1（m为常数）的图象与y轴交于点A.
（1）求点A的坐标.
（2）当此抛物线的顶点恰好落在x轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围.
（3）当xm时，若函数y＝x2-2mx+1（m为常数）的最小值，求m的值.
（4）已知Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（m，m）、F（0，m），G（m，m-10）．若|m|<10，设抛物线y=x2-2mx+1（m为常数）与△EFG的较短的直角边的交点为P，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为Q，过点A作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为B.若AB=2PQ，直接写出m的值，
【答案】（1）解： ∵抛物线y＝x2-2mx+1（m为常数）的图象与y轴交于点A，
∴另x=0，则y=1
∴点A的坐标是（0，1）
（2）解：另y=0，则 x2-2mx+1=0，
∵ 抛物线的顶点恰好落在x轴的负半轴，
∴△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×1=0，即m=±1，
又∵x= ＜0，
∴m=-1
则此抛物线所对应的二次函数的表达式为 y＝x2+2x+1，
由于该抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴ 函数值y随x的增大而增大时x的取值范围为x≥-1
（3）解： ∵ 抛物线y＝x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2
∴该抛物线的对称轴为直线x=m，顶点坐标为（m，1-m2）
当xm时，若函数y＝x2-2mx+1（m为常数）的最小值，分两种情况：
若m＞0，则1-m2=，解得m=或m=-(舍去）；
若m＜0，则当x=，y=()2-2m×+1=，解得m=（舍去）或m=-
综上可知， m的值为或-。
（4）m=-2或m=
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（4）根据Rt△EFG三个顶点的坐标及|m|<10可知，EF=|m|，EG=10-m+m=10，所以EF＜EG，则P在EF上，所以m≤1。当y=m时，m=x2-2mx+1，即x2-2mx+1-m=0，此时抛物线与直线y=m有两个交点，即△=b2-4ac>0，所以（-2m）2-4×1×（1-m）=4m2+4m-4＞0，结合m≤1，解得m<或综上可得，m=-2或m=。
【分析】（1） 抛物线的图象与y轴相交，则交点的横坐标为0.
（2）抛物线与x轴只有一个交点时，则△=b2-4ac=0，结合抛物线对称轴进行分析。
（3）通过将抛物线的一般解析式转化成顶点解析式y=(x-m)2+1-m2，其中对称轴为直线x=m，顶点坐标为（m，1-m2），注意m＞0和m＜0两种情况。
（4）首先判断Rt△EFG中两个直角边的大小（EF＜EG），从而确定P在EF上，再通过抛物线与线段EF、AB相交，得出m的取值范围及P、Q、A、B的坐标，结合AB=2PQ进行分析。
1 / 1吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级（下）期初数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2017·六盘水模拟）﹣4的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
2．（2022九下·绿园开学考）电影《长津湖之水门桥》上映后，票房一路高歌，2022年2月9日单7票房为113000000元，113000000用科学记数法可表示为（）
A．11.3×108 B．1.13×108 C．1.13×109 D．1.13×107
3．（2022九下·绿园开学考）如图是一个几何体的三视图，则这个几间体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
4．（2022九下·绿园开学考）在数轴上表示不等式3x+1≤-5的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九下·绿园开学考）关于x的一元二次方程x2-2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞ B．k＞1 C．k＜1 D．k＞
6．（2022九下·绿园开学考）如图，在大风来临之前，有关部门用钢管加固树木，固定点A离地面的高度AC=m，钢管与地面所成角∠ABC=∠1，那么钢管AB的长为（）
A． B． C．m cos∠1 D．m sin∠1
7．（2022九下·绿园开学考）在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，∠C≠60°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（）
A． B．
C． D．
8．（2022九下·绿园开学考）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B的坐标为（1，0），点A是y轴正半轴上一点，且AP⊥BP，AP：BP＝1：2，那么四边形AOBP的面积为（）
A．6.5 B．8 C．10 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（2021七上·玉屏期中）小明x岁，小华比小明岁数的2倍大5岁，则小华 岁.
10．（2017·罗平模拟）分解因式：x3﹣xy2= ．
11．（2022九下·绿园开学考）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=120°，则∠3= °．
12．（2022九下·绿园开学考）已知一个多边形的内角和为1440°，那么它是 边形．
13．（2022九下·绿园开学考）如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），C（6，0），B（6，4），A（0，4），已知矩形OA'B'C与矩形OABC位似，位似中心是原点O，矩形OA'BC'的面积等于矩形OABC面积的，且点B不在第一象限，则点B＇的坐标是
14．（2022九下·绿园开学考）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=1，与y轴交于（0，-3），则当y＜-3时，x的取值范围是
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（2022九下·绿园开学考）先化简，再求值：（x+5）（x-1）+（x-2）2，其中x＝．
16．（2022九下·绿园开学考）在一个不透明的口袋中装有4个乒乓球，球面上分别标有数字-1，2，-3，4.每个乒乓球除数字不同外其余均相同.
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球面上的数是负数的概率为
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球的球面上的数学上和是正数的概率，
17．（2022九下·绿园开学考）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC：
（2）若AE=6，AD=8，AB=7，则AF的长为
18．（2022九下·绿园开学考）我国5G网络和终端商的快速发展，使得新一轮5G建设蓄势待发.某大型5G设备生产商为加快生产速度，现在平均每天比原计划多生产50万件设备，现在生产600万件设备与原来生产500万件设备所需时间相同，问：原计划每天生产多少万件设备？
19．（2022九下·绿园开学考）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：
（1）三角形的顶点在格点上；
（2）三角形是腰长为无理数的等腰三角形；
（3）三角形的面积为6．
20．（2022九下·绿园开学考）2021年4月12日，吉林省统计局发布了《吉林省2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全省“2016一2020年民用汽车保有量及其增长速度”统计图.
（1）2020年，全省民用汽车保有量是 万辆，比2019年增长了 %．
（2）2016-2020年，全省民用汽车保有量增长速度的众数是 %．
（3）小李看了统计图后说：“图中表示2016-2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2016-2019年全省民用汽车保有量逐年减少．”小李的说法正确吗？请说明理由．
（4）若2022年全省民用汽车保有量能达到584.672万辆，则全省2021年、2022年民用汽车保有量的年平均增长速度为 %．
21．（2022九下·绿园开学考）将一些相同规格的长方形纸按图①所示方法粘合起来，粘合部分的宽相等．某学校数学综合与实践小组从函数角度进行了如下探究：
[观察测量]数学综合与实践小组通过观察测量，得到如表：
长方形纸x（张） 1 2 3 4 5
总长度y（厘米） 15 25 35 45 55
（1）[探究发现]①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示长方形纸张数石纵轴表示粘合后的总长度y，描出以表格中数据为坐标的各点
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如过不在同一条直线上，说明理由.
（2）[结论应用]应用上述发现的规律让算
①当x=20时，粘合后的纸条总长度y为 厘米.
②粘合后内纸条总长度y为505厘米时，需使用长方形纸 张.
22．（2022九下·绿园开学考）[实践与探究]
将△ABC（AB＞AC）沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处，展开如图，
（1）[操作观察]图①中，AB＝8，AC＝6．
①BE＝ ．
②若△ACD的面积是9，则△ABD的面积是 ．
（2）[理解应用]如图②，若∠C＝2∠B，试说明：AB＝AC+CD．
（3）[拓展延伸]如图③，若∠BAC=60°，点G为AC的中点，且AG=5.点P是AD上的一个动点，连结PG、PC，直接写出（PG+PC）2的最小值．
23．（2022九下·绿园开学考）如图，在矩形ABCD中，BC=8，tan∠BAC=，点PM点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，已知边BC的中点是点M，点P关于点M的对称点为点Q.当点P不与点M重合时，以MO为边在BC的上方作正方形MOEF，连结AC，设点P的运动时间为t秒，
（1）线段AB的长为 ．
（2）用含t的代数式表示线段MQ的长．
（3）当点F恰好落在线段AC上时，求t的值．
（4）当正方形MOEF与△ACD重叠部分的图形是三角形时，直接写出t的取值范围．
24．（2022九下·绿园开学考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2-2mx+1（m为常数）的图象与y轴交于点A.
（1）求点A的坐标.
（2）当此抛物线的顶点恰好落在x轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围.
（3）当xm时，若函数y＝x2-2mx+1（m为常数）的最小值，求m的值.
（4）已知Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（m，m）、F（0，m），G（m，m-10）．若|m|<10，设抛物线y=x2-2mx+1（m为常数）与△EFG的较短的直角边的交点为P，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为Q，过点A作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为B.若AB=2PQ，直接写出m的值，
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】∵|﹣4|=4，
∴﹣4的绝对值是4．
故答案为：A．
【分析】依据一个负数的绝对值是它的相反数求解即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】由分析可知，113000000可用科学记数法表示为1.13×108；
故答案为：B。
【分析】科学记数法是指把一个数表示为a×10n的形式（1≤∣a∣＜10，n为整数）。注意n与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数绝对值＜1时，n是负整数。
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】俯视图为圆形，主视图和左视图为三角形，可推出这个几何体为圆锥；
故答案为：A。
【分析】俯视图为圆形可得为球、圆柱，圆锥，结合主视图、左视图进行分析。
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】不等式3x+1≤-5的解集为x≤-2，则在数轴上表示为 ；
故答案为：D。
【分析】首先求出不等式的解集，再在数轴上进行表示。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】关于x的一元二次方程x2-2x+2＝3k有两个不相等的实数根，则△=22-4×1×（2-3k）＞0，解得 k＞ ；
故答案为：A。
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的根，则其判别式△=b2-4ac＞0。
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】根据题干信息可知，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，在Rt△ABC中，sin∠1=，所以AB==；
故答案为：A。
【分析】在直角三角形中，利用边角及三角函数之间的关系进行分析。
7．【答案】D
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】根据题干信息，在BC边上找一点D，使AD=BD，则点D是线段AB垂直平分线与BC的交点；
故答案为：D。
【分析】线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，结合中垂线的尺规作图法进行分析。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】连接OP，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，由于AP⊥BP，所以∠APN+∠NPB=∠BPM+∠NPB=90°，即∠APN=∠NPB，所以Rt△APN∽Rt△BPM，则AP：BP=PN：PM=1：2。点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，设P(x，)，则x：=1：2，解得x=2，所以P(2，4)，PN=2，PM=4。根据点P和点B的坐标可求出直线BP的解析式为y=4x-4，由于AP⊥BP，则直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为-1，所以可设直线AP的解析式为y=-+m，点P在直线AP上，可求出直线AP的解析式为y=-+，所以点A(0，)，那么四边形AOBP的面积=S△AOP+S△BOP=×OA×PN+×OB×PM=××2+×1×4=6.5；
故答案为：A。
【分析】四边形AOBP为不规则四边形，连接OP，则四边形AOBP的面积=S△AOP+S△BOP，结合三角形的面积进行分析。
9．【答案】2x+5
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：∵小明x岁，小华比小明岁数的2倍大5岁，
∴小华的岁数为 ，
故答案为： ．
【分析】求出小华的岁数为 ，即可作答。
10．【答案】x（x+y）（x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
11．【答案】40
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】根据题干信息，∠1=∠2，则AB∥CD，根据平行线内错角相等，则∠3=∠4，而EG是∠AEF的角平分线，所以∠GEF=∠4，在△EFG中，∠2=∠3+∠GEF=2∠3。根据∠2+∠4=120°，即3∠3=120°，所以∠3=40°。
【分析】根据平行线的判定及性质，以及角平分线的性质、三角形外角等于不相邻的两个内角之和进行分析。
12．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由分析可知，假设该多边形的边数为n，则其内角和=（n-2）×180°=1440°，解得n=10，即该多边形为十边形。
【分析】多边形的内角和=（n-2）×180°，其中n为边数。
13．【答案】（-3，-2）
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平行四边形的面积；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】矩形OA′B'C'与矩形OABC位似，且面积比为1：4，由分析可知，则矩形OA'B'C'与矩形OABC位似比为1：2，由于B（6，4）， 点B'不在第一象限，则点B'在第三象限，其坐标是（-3，-2）。
【分析】根据相似性质可知，矩形OA'B'C'与矩形OABC位似比的平方等于面积之比，结合点的坐标与象限位置进行分析。
14．【答案】0＜x＜2
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据图示信息可知，该抛物线对称轴为直线x=1，抛物线经过点（0，-3），则该抛物线也经过点（2，-3），由图可知，当 y＜-3时，0＜x＜2。
【分析】根据抛物线的对称轴及对称性进行分析。
15．【答案】解答：（x+5）（x-1）+（x-2）2
=x2+4x-5+x2-4x+4
=2x2-1，
当x= 时，
原式=2×3-1
=5
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用多项式乘多项式、完全平方公式化简整式，再代入求值。
16．【答案】（1）
（2）解：根据题干信息可知，共有12种等可能的情况数，其中两次摸出的乒乓球的球面上的数字之和是正数的有8种，则两次摸出的乒乓球的球面上的数字之和是正数的概率是。
【知识点】列表法与树状图法；概率公式；事件发生的可能性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）根据题干信息，摸出的乒乓球面上的数是负数的概率为。
【分析】（1）根据概率=进行分析。
（2）注意列表法适用于两步完成的事件，可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件。
17．【答案】（1）证明：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠AFD+∠AFE=180°，且∠AFE=∠B．
∴∠AFD=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，
∴△ADF∽△DEC
（2）
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）平行四边形ABCD中，DC=AB=7，BC=AD=8，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=82+62=100，所以DE=10。由（1）可知，△ADF∽△DEC，则，所以AF==。
【分析】（1）相似三角形的判定：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3.三边对应成比例，两个三角形相似。
4.两角对应相等，两个三角形相似。
（2）根据勾股定理和两个相似三角形位似比进行分析。
18．【答案】解：设原计划每天生产x万件，则现在每天生产（x+50）万件，根据题意可知：
解得x=250，
经检验，x=250是原方程的解，且符合题意。
答：原计划每天生产250万件设备。
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合现在与原来工作时间相同，列出分式方程进行分析。
19．【答案】（1）解：
（2）解：如图，等腰△ABC中，两腰AB=AC=，底边BC=6。
（3）解：如图，△ABC中，底边BC=6，BC上的高为2，则其面积为6×2×=6。
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；尺规作图-三角形
【解析】【分析】根据题干要求进行分析，注意无理数是指无限不循环小数，三角形的面积=×底×高。
20．【答案】（1）483.2；6.8
（2）6.8
（3）解：不正确。理由：由图中的信息可得，2016-2019年全省民用汽车保有量增长速度逐年放缓，但是汽车保有量却逐年增加。
（4）10
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】（1）由统计图可得， 2020年， 全省民用汽车保有量是483.2万辆，比2019年增长了6.8%。
（2）由题中的统计图可得：2016-2020年，全省民用汽车保有量增长速度的众数是6.8%。
（4）设年平均增长速度为x，则483.2（1+x）2=584.672，解得x=0.1或x=-1.1（舍去），所以年平均增长速度为10%。
【分析】根据条形统计图进行分析，注意横轴和纵轴表示的含义。注意众数是指统计分布图中具有明显集中趋势的数值。
21．【答案】（1）解：① 描出以表格中数据为坐标的各点如图：
②上述各点在同一直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，将（1，15），（2，25）代入可得：
，解得，
所以这条直线所对应的函数表达式为y=10x+5
（2）205；50
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】（2）①当x=20时，y=10×20+5=205，所以粘合后的纸条总长度为205厘米 。
②当y=505时，代入y=10x+5中可得x=50，所以需使用长方形纸50张。
【分析】（1）①注意坐标系中横轴和纵轴表示的含义。
②用待定系数法进行求解一次函数表达式。
（2）根据y=10x+5进行分析。
22．【答案】（1）2；12
（2）证明：由折叠可知，△AED≌△ACD，所以AC=AE，DE=CD，∠AED=∠C。
∵∠C＝2∠B，
∴∠AED=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，则CD=DE
∴AB＝AE+BE=AC+CD
（3）75
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）（1）①将△ABC（AB＞AC）沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处，则AE=AC=6，所以BE=AB-AE=8-6=2。
②根据题干信息可知，AD平分∠BAC，所以D到AB和AC的距离相等，则，则S△ABD=S△ACD=×9=12。
（3）作点C关于AD的对称点F，连接FG，则PG+PC的最小值就是FG的长，FG与AD的交点为P。
由对称性可知，AC=AF，又∠BAC=60°，则△ACF为等边三角形，由于G是AC的中点，所以FG⊥AC，且FG=CG=AG =5，所以（PG+PC）2的最小值为=75。
【分析】（1）（2）根据折叠可知，△AED≌△ACD，结合全等三角形的性质、角平分线上的点到角两边的距离相等，以及三角形的面积公式进行分析。
（3）作点C关于AD的对称点F，连接FG，则PG+PC的最小值就是FG的长，FG与AD的交点为P。
23．【答案】（1）6
（2）解：∵ 边BC的中点是点M，
∴BM=BC=4，
当P在M左侧时，MQ=PM=BM-BP=4-2t
当P在M右侧时，PM=MQ=BP-BM=2t-4
（3）解： 当点F恰好落在线段AC上时，存在两种情况：
①当P在M的左侧，如图所示
正方形EFMQ中，∠FMQ=90°，FM=MQ=4-2t，
∵∠B=∠FMQ=90°，
∴AB∥FM，
∴△ABC∽△FMC，
∴，即，
∴t=
②当P在M的右侧，如图所示
同理可得，即，
∴t=
综上可得，t的值为或。
（4）≤t＜或＜t≤4
【知识点】锐角三角函数的定义；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）在矩形ABCD中，∠B=90°，tan∠BAC= =，所以AB=BC=×8=6。
（4）当E在AC上时，如图，此时EQ=PM=4-2t，CQ=2t，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，即，解得t=。结合（3）可知， 当正方形MOEF与△ACD重叠部分的图形是三角形时，t的取值范围是≤t＜或＜t≤4。
【分析】（1）根据Rt△ABC中，tan∠BAC=进行分析。
（2）注意P在M的左侧和右侧两种情况。
（3）根据P在M的左侧和右侧两种情况，结合三角形相似的判定及性质进行分析。
（4）根据相似三角形位似比及三角函数进行分析。
24．【答案】（1）解： ∵抛物线y＝x2-2mx+1（m为常数）的图象与y轴交于点A，
∴另x=0，则y=1
∴点A的坐标是（0，1）
（2）解：另y=0，则 x2-2mx+1=0，
∵ 抛物线的顶点恰好落在x轴的负半轴，
∴△=b2-4ac=(-2m)2-4×1×1=0，即m=±1，
又∵x= ＜0，
∴m=-1
则此抛物线所对应的二次函数的表达式为 y＝x2+2x+1，
由于该抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴ 函数值y随x的增大而增大时x的取值范围为x≥-1
（3）解： ∵ 抛物线y＝x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2
∴该抛物线的对称轴为直线x=m，顶点坐标为（m，1-m2）
当xm时，若函数y＝x2-2mx+1（m为常数）的最小值，分两种情况：
若m＞0，则1-m2=，解得m=或m=-(舍去）；
若m＜0，则当x=，y=()2-2m×+1=，解得m=（舍去）或m=-
综上可知， m的值为或-。
（4）m=-2或m=
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（4）根据Rt△EFG三个顶点的坐标及|m|<10可知，EF=|m|，EG=10-m+m=10，所以EF＜EG，则P在EF上，所以m≤1。当y=m时，m=x2-2mx+1，即x2-2mx+1-m=0，此时抛物线与直线y=m有两个交点，即△=b2-4ac>0，所以（-2m）2-4×1×（1-m）=4m2+4m-4＞0，结合m≤1，解得m<或综上可得，m=-2或m=。
【分析】（1） 抛物线的图象与y轴相交，则交点的横坐标为0.
（2）抛物线与x轴只有一个交点时，则△=b2-4ac=0，结合抛物线对称轴进行分析。
（3）通过将抛物线的一般解析式转化成顶点解析式y=(x-m)2+1-m2，其中对称轴为直线x=m，顶点坐标为（m，1-m2），注意m＞0和m＜0两种情况。
（4）首先判断Rt△EFG中两个直角边的大小（EF＜EG），从而确定P在EF上，再通过抛物线与线段EF、AB相交，得出m的取值范围及P、Q、A、B的坐标，结合AB=2PQ进行分析。
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