第十八章：平行四边形练习题（含解析）2021-2022学年陕西省八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，DE平分，，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
3．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2022春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（　　）
①△OGE是等边三角形；②DC=3OG；③OG=BC；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30°，则OG的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．3
7．（2022春·陕西安康·八年级统考期末）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
8．（2022春·陕西西安·八年级统考期末）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
9．（2022春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图所示，正方形中，E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于F，若，，则的长为(　　)
A． B． C．10 D．12
10．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折至△BFE，G是BE的中点，连接FG，则FG的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，且，连接．则_________．
12．（2022春·陕西西安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若OE＝6，则AD＝_____．
13．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，CE＝3，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的面积为____
14．（2022春·陕西安康·八年级统考期末）某地需要开辟一条隧道，隧道的长度无法直接测量，如图所示，在地面上取一点，使到、两点均可直接到达，测量找到和的中点、，测得的长为1800米，则隧道的长度为___米．
15．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，，垂足为点H，若，则AD的长为_______________．
16．（2022春·陕西西安·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是OC，BC的中点，连接ON、MN，则△OMN的周长为______．
17．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为_____．
18．（2022春·陕西延安·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E、F分别是线段AB和BC上的动点，则EP+FP的最小值是________．
19．（2022春·陕西西安·八年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 _____．
20．（2022春·陕西安康·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE=60°；③BG=GC；④AGCF．其中正确的结论有____________． （填序号）
三、解答题
21．（2022春·陕西商洛·八年级统考期末）已知： ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
22．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，点E是 ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，，求 ABCD的周长．
23．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，点E，F分别是 ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．
24．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，点E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若．
①线段长为____________；
②四边形的面积为_______．
25．（2022春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
26．（2022春·陕西西安·八年级统考期末）如图，在等腰中，，平分，为中点，连接，已知，求的长．
27．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
28．（2022春·陕西安康·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作，交的延长线于点，连接，若，，求的长．
29．（2022春·陕西安康·八年级统考期末）已知正方形ABCD，点E在直线AD上（不与点A、D重合），连接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G，连接BF．
(1)当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，如图1，求证：AB+AE＝BG；
(2)当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，设FG与AD交于H，如图2，试猜想AB、AE与BG的数量关系，并加以证明；
(3)当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，设FG与AD交于H，如图3，请直接写出线段AB，AE，BG之间的数量关系，不需要证明．
30．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形中，，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【详解】，，
，
ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
是的中位线，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识，得出EO是的中位线是解题关键．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质得，故，由DE平分得，即可计算．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵DE平分，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．C
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
【详解】连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝，
∴EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．C
【分析】由平行四边形的判定定理判断②正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①正确，然后由三角形三边关系判断③错误，即可得出结论．
【详解】解：，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，故②正确；
四边形为平行四边形，
，
又，
，故①正确；
和都是等边三角形，
，，，
，
，故③错误；
其中正确的有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、含直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
5．C
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得OG＝AG＝GE＝AE，再求出求出∠GOE＝60°，得△OGE是等边三角形，则①正确；设AE＝2a，由等边三角形的性质表示出OE，再由勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后由勾股定理求出AB＝3a，得②正确，③错误；最后由三角形的面积和矩形的面积得④正确即可．
【详解】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故①正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝a，
∴BC＝AC＝×a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故②正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故③错误；
∵S△AOE＝a a＝a2，S矩形ABCD＝3a a＝a2，
∴S△AOE＝S矩形ABCD，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC、AB的长是解题的关键．
6．B
【分析】根据30°直角三角形的性质和直角三角形斜边上中线的性质，利用方程思想可求出OG的长度.
【详解】解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中点，
∴OG＝AE＝AG＝GE，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∴△OGE是等边三角形，
设OG＝x＝OE，
∴AE＝2x，AO＝x，
∵O是AC的中点，
∴AC＝2AO＝x，
在Rt△ABC中，
BC＝AC＝x，
由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
∴，
解得x＝2.
∴OG＝2，
故选：B.
【点睛】本题主要考查30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于巧设x，利用勾股定理构建方程解决．
7．D
【分析】由菱形的性质可直接求解．
【详解】解：菱形的性质有两组对边平行，两组对边相等，对角线互相垂直平分，平行四边形的性质有，两组对边平行，两组对边相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相垂直，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；
B．菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；
C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确；
D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．
9．B
【分析】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．首先证明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根据GE2=BG2+BE2，构建方程求出x即可解决问题．
【详解】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．
∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠GHF=90°AB=AD=GH，AG=GE=x，
∵∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠FGH=90°，
∴∠BAE=∠FGH，
∴△ABE≌△GHF，
∴BE=FH=x-2，
在Rt△BGE中，∵GE2=BG2+BE2，
∴x2=42+（x-2）2，
∴x=5，
∴AB=9，BE=3，
在Rt△ABE中，AE=，
故选：B．
【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．C
【分析】根据题意先求出BE的长度，再根据翻折的性质有，得出为直角三角形的结论，再根据FG为斜边上的中线得出结论．
【详解】∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴，
∴为直角三角形，
则，
故选C．
【点睛】本题考查翻折的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握翻折的性质．
11．/
【分析】根据已知条件证明EA=EB=EC，推出∠ABC=90°，然后设，则，利用勾股定理求出，得出，再用勾股定理求出OB，进而得到BD的值即可解答．
【详解】∵，
∴CD∥AB，OB=OD，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵
∴∠DCB=120°
∵CE平分，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°
∴是等边三角形，EB=EC
又AB=2BC
∴EA=EB=EC
∴∠ABC=90°
设，则，
，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及勾股定理等知识，解题的关键时灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
12．12
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD＝2OE，
∵OE＝6，
∴AD＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，证明OE是三角形中位线是解决问题的关键．
13．
【分析】利用已知条件及直角三角形中角所对直角边是斜边的一半即可求出BC、AB的长，在中，利用勾股定理可求出BE的长，最后以DC为底、BE为高求其面积即可．
【详解】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
在中，
又
．
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形中角所对直角边是斜边的一半、勾股定理等知识点，灵活运用直角三角形的性质确定线段长度是解答本题的关键．
14．3600
【分析】根据三角形中位线定理即可作答．
【详解】∵点D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=1800米，
∴AB=1800×2=3600(米)，
即隧道的长度为3600米，
故答案为：3600．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及其应用，三角形的中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半，掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．
15．
【分析】由矩形的性质得，，求出，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据求出，然后由含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，，
∴
在中，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°的性质是解决本题的关键．
16．8
【分析】根据矩形的性质得到BC=AD=8，∠ABC=90°，AO=OC=AC，根据勾股定理得到AC=10，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质得到ON=AB=3，OM=NM=OC=，于是得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，∠ABC=90°，AO=OC=AC，
∵AB=6，
∴AC==10，
∴OC=5，
∵M，N分别是OC，BC的中点，
∴ON=AB=3，OM=NM=OC=，
∴△OMN的周长为3++=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
17．
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，根据勾股定理得到AB＝，根据矩形的性质得到EF＝OP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OP，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，
∴AB＝，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA OB＝AB OP，
∴OP＝ ＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
18．
【分析】如图（见解析），在CD上取点G，使得，连接PG、EG、FG，先根据等腰三角形的判定与性质可得AC垂直平分FG，再根据垂直平分线的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为EG的长，最后根据垂线段最短可得EG取得最小值时的位置，据此利用直角三角形的性质、勾股定理即可得．
【详解】如图，在CD上取点G，使得，连接PG、EG、FG
则是等腰三角形
四边形ABCD是菱形，
AC平分，，
垂直平分FG（等腰三角形的三线合一）
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为EG的长
又点F是BC边上的动点
点G是CD边上的动点
则由垂线段最短可知，EG的最小值为点E到CD的距离，即平行线AB与CD间的距离
过点D作于点H
在中，，，
，
则的最小值是
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质等知识点，利用两点之间线段最短得出的最小值为EG是解题关键．
19．5
【分析】如图，延长DC到P使CP＝CD，连接AP，交BC于F，利用SAS证明△ADE≌△ABF，根据垂直平分线的性质可得DF＝PF，可得AE＋DF＝AF＋PF＝AP，根据点A、F、P在一条直线上可得AP的长为AE＋DF的最小值，利用勾股定理求出AP的长即可得到答案．
【详解】解：如图，延长DC到P使CP＝CD，连接AP，交BC于F，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，
∵∠BCD＝90°，CD＝CP，
∴CF垂直平分DP，
∴DF＝PF，
∴AE＋DF＝AF＋PF，
∵点A、F、P在一条直线上，
∴AP的长为AE＋DF的最小值，
∵AB＝，
∴AD＝CD＝，DP＝2AC＝2，
∴AP＝＝5，即AE＋DF的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质以及定理是解题关键．
20．①③④
【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识逐项进行判断即可．
【详解】解：由翻折变换可知，AD=AF=6，∠DAE=∠FAE，DE=FE=2，∠D=∠AFE，
∴∠AFG=180°-∠AFE=90°=∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
由Rt△ABG≌Rt△AFG可得∠BAG=∠FAG，
又∵∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE=90°，
∴∠FAG+∠FAE=×90°=45°，即∠GAE=45°，故②错误；
由翻折变换可知，DE=EF=2，
由全等三角形可知BG=GF，
设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2，EC=6-2=4，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EC2+GC2=EG2，
即42+（6-x）2=（x+2）2，
解得x=3，
即BG=3，CG=6-3=3=BG，故③正确；
由上述可知，BG=CG=FG=3，
∴∠GCF=∠GFC，
由三角形全等可得，∠AGB=∠AGF，
又∵∠AGB+∠AGF+∠FGC=180°=∠FGC+∠GCF+∠GFC，
∴∠AGB=∠FCG，
∴AGFC，故④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，理解和掌握正方形的性质，翻折变换的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是正确判断的前提．
21．证明见解析
【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论．
【详解】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．14
【分析】先证明，得到，从而可求平行四边形的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又，
．
∴平行四边形ABCD的周长为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化相等线段．
23．证明过程见解析
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得ED=FB，AE=CF，可得BE=DF，则可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB=DC，
又∵∠1＝∠2，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝BF，
∴AE+BE＝CF+DF，
∴BE＝DF，且DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的判定和性质．
24．(1)证明见解析
(2)①2；②．
【分析】（1）利用平行四边形性质证明，进而可得， ，由一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可得出结论．
（2）①由勾股定理可求，根据即可计算出EF长；②由，可得，求出，由四边形的面积为的两倍即可解题．
（1）
证明：∵，
∴，即，
∵在中，，，
∴，
在和中
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）
解：①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质和勾股定理的应用，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
25．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
26．DE的长为
【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，平分，，
，，
，
为中点，
，
故DE的长为．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）24
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中，
∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
28．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）通过平行线的性质和角平分线的性质证明即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理计算即可；
【详解】（1）证明：∵，
，
平分，
，
，
，
∵，
，
∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
∵，
，
∵，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、勾股定理、角平分线的性质、菱形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)AB﹣AE＝BG，证明见解析
(3)AE＝AB+BG
【分析】（1）延长AD交GF的延长线于M，根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△ABE≌△MEF，得到AB＝EM，证明结论；
（2）证明△ABE≌△HEF，得到AB＝EH，即可得出结论；
（3）证明△ABE≌△NEF，得到AB＝EN，即可得出结论．
（1）
证明：延长AD交GF的延长线于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，∠ABC＝90°，又FG⊥BC，
∴四边形ABGM是矩形，
∴AM＝BG，
∵∠A＝90°，EF⊥BE，∠M＝90°，
∴∠AEB＝∠MFE，
在△ABE和△MEF中，
，
∴△ABE≌△MEF（AAS），
∴AB＝EM，
∵AM＝AE+EM＝AE+AB，
∴AB+AE＝BG；
（2）
解：AB﹣AE＝BG．
证明：∵∠FEH+∠BEA＝90°，∠BEA+∠ABE＝90°，
∴∠FEH＝∠ABE，
在△ABE和△HEF中，
，
∴△ABE≌△HEF（AAS），
∴EH＝AB，
∴EH﹣AE＝AB﹣AE＝AH，
∵四边形ABGH是矩形，
∴AH＝BG，
∴AB﹣AE＝BG；
（3）
AE＝AB+BG．
证明：由（2）得，△ABE≌△HEF，
∴HE＝AB，
∵AH+HE＝AH+AB＝AE，BG＝AH，
∴AE＝AB+BG．
【点睛】本题是四边形综合题，考查的是正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意类比思想在解题中的灵活运用．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由正方形及等边三角形的性质易证明，则有，再由即可得；
（2）由（1）的结论得是等腰直角三角形，再由正方形的性质可得，由等边三角形的性质及直角三角形性质得，由勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
在和中，，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
∴为等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴平分，
∴点为的中点，，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明全等是本题的关键．