圆周角教案
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文档简介
第3课时 圆周角
教学目标
1.知识与技能
(1)通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；
(2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。
2.过程与方法
通过观察、思考实验探索等活动，分情况证明圆周角定理。向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣。
教学重点难点
1.重点 圆周角的概念和圆周角性质；
2.难点 认识圆周角性质需要分三种情况逐一证明的必要性。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
如图所示，A、B两点为足球球门的两端，现有三名运动锅分别站在C、D、E的位置，且A、B、C、D、E五点在以O点为圆心的同一圆上，请问：运动员完整地看见球门的视角一样大吗？
（二）合作交流，解读探究
【思考】
观察下面两组图形：
第一组：
第二组：
让学生指出第一组图中角的两边、第二组图中角的顶点的特点，找一找哪几个图同时具备两组图形的特点。得出结论：像（2）、（6）中的两条线段所成的角叫做圆周角。
【做一做】（学生独立完成）
作⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C（除点A、B），连结AC、AB，量出∠ACB的度数，记录下来。
观察思考：
∠ACB与直径AB存在什么关系？你还能画出直径AB所对的圆周角吗？一一量出它们的度数，记录下来，你发现了什么？
学生汇报自己的发现，通过全班交流，得出结论：直径或半圆所对的圆周角都相等，都等于900.
在教师的适当指导下，学生分组完成证明过程。
【想一想】900的圆周角所对的弦是圆的直径吗？你能找到圆形零件的圆心吗？
【实验探索】对于一般的圆周角，有什么规律呢？
指导学生按下列步骤进行：
（1）观察∠ACB、∠ADB、∠AOB的位置特点，在练习本上画出符合这一位置特点的∠ACB、∠ADB、∠AOB。
（2）量一量：每个同学量出自己所画的∠ACB、∠ADB的度数，发现了什么？再把小组内各个同学所发现的综合起来。想一想 ：它们有什么共同特点吗？你发现了什么规律？再量出∠AOB的度数，你又发现了什么？试着把你的发现用文字表述出来。（圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半）
（3）如何证明这个命题的正确性呢？
教师提示：一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况。请你画出圆周角与圆心角的位置关系。
教师指导分析：①如果圆心角O在∠BAC的一边AC上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。
②如果圆心O在∠BAC内，我们如何证明这个结论成立呢？
③如果圆心O在∠BAC两边的同侧，我们又如何证明呢？
学生思考：能否把②、③转化为①的情况呢？
教师引导学生分析得出：只要作出直径AD，将∠BAC转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决。证明过程由学生完成。
（4）小组派代表讲述证明方法，全班交流，教师作出评价。
【想一想】1.把条件中“同一圆”改为“等圆”成立吗？若去掉这一条件，还成立吗？
2.阅读教材第50页和第51页的两个性质，想想情境导入题如何回答。
（三）应用迁移，巩固提高
例1 求图中∠x的度数。
例2 如图，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC＝1200，则∠BAD等于（ ）
Ａ.300 Ｂ.600 Ｃ.750 Ｄ.900
例３ 如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D。
求证：BD＝CD
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1.这节课主要学习了两个知识点：
（１）什么是圆周角？
（２）圆周角的性质及其作用。
2.方法上主要学习了圆周角性质的证明，渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想。
【拓展】1.如图所示，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠D＝130０，
则∠BAC的度数是 。
2．如图所示是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是（ ）
A．180０ B．150０ C．135０ D．120０
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.若圆周角等于40０，那么它所对的圆心角是 ；若圆心角是100０，则它所对的弧所对的圆周角是 。
2.半圆所对的圆周角是 ，直径所对的圆周角是 。
3．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．等弦所对的圆周角相等
C．等弧所对的圆周角相等 D．90度的角所对的弦是直径
4.圆的一条弦等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A.30０ B.60０ C.150０ D.30０或150０
提升能力
5.已知：如图所示，∠APC＝∠CPB＝60０，
求证：△ABC是等边三角形。
6.已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是AC上的一点，PA＝AB，连结PB分别交AD、AC于点E、F。
求证：AE＝BE
开放探究
7.如图所示，足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到点B，此时甲是直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好呢？
教学目标
1.知识与技能
(1)通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；
(2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。
2.过程与方法
通过观察、思考实验探索等活动，分情况证明圆周角定理。向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣。
教学重点难点
1.重点 圆周角的概念和圆周角性质；
2.难点 认识圆周角性质需要分三种情况逐一证明的必要性。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
如图所示，A、B两点为足球球门的两端，现有三名运动锅分别站在C、D、E的位置，且A、B、C、D、E五点在以O点为圆心的同一圆上，请问：运动员完整地看见球门的视角一样大吗？
（二）合作交流，解读探究
【思考】
观察下面两组图形：
第一组：
第二组：
让学生指出第一组图中角的两边、第二组图中角的顶点的特点，找一找哪几个图同时具备两组图形的特点。得出结论：像（2）、（6）中的两条线段所成的角叫做圆周角。
【做一做】（学生独立完成）
作⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C（除点A、B），连结AC、AB，量出∠ACB的度数，记录下来。
观察思考：
∠ACB与直径AB存在什么关系？你还能画出直径AB所对的圆周角吗？一一量出它们的度数，记录下来，你发现了什么？
学生汇报自己的发现，通过全班交流，得出结论：直径或半圆所对的圆周角都相等，都等于900.
在教师的适当指导下，学生分组完成证明过程。
【想一想】900的圆周角所对的弦是圆的直径吗？你能找到圆形零件的圆心吗？
【实验探索】对于一般的圆周角，有什么规律呢？
指导学生按下列步骤进行：
（1）观察∠ACB、∠ADB、∠AOB的位置特点，在练习本上画出符合这一位置特点的∠ACB、∠ADB、∠AOB。
（2）量一量：每个同学量出自己所画的∠ACB、∠ADB的度数，发现了什么？再把小组内各个同学所发现的综合起来。想一想 ：它们有什么共同特点吗？你发现了什么规律？再量出∠AOB的度数，你又发现了什么？试着把你的发现用文字表述出来。（圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半）
（3）如何证明这个命题的正确性呢？
教师提示：一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况。请你画出圆周角与圆心角的位置关系。
教师指导分析：①如果圆心角O在∠BAC的一边AC上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。
②如果圆心O在∠BAC内，我们如何证明这个结论成立呢？
③如果圆心O在∠BAC两边的同侧，我们又如何证明呢？
学生思考：能否把②、③转化为①的情况呢？
教师引导学生分析得出：只要作出直径AD，将∠BAC转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决。证明过程由学生完成。
（4）小组派代表讲述证明方法，全班交流，教师作出评价。
【想一想】1.把条件中“同一圆”改为“等圆”成立吗？若去掉这一条件，还成立吗？
2.阅读教材第50页和第51页的两个性质，想想情境导入题如何回答。
（三）应用迁移，巩固提高
例1 求图中∠x的度数。
例2 如图，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC＝1200，则∠BAD等于（ ）
Ａ.300 Ｂ.600 Ｃ.750 Ｄ.900
例３ 如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D。
求证：BD＝CD
（四）总结反思，拓展升华
【小结】1.这节课主要学习了两个知识点：
（１）什么是圆周角？
（２）圆周角的性质及其作用。
2.方法上主要学习了圆周角性质的证明，渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想。
【拓展】1.如图所示，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠D＝130０，
则∠BAC的度数是 。
2．如图所示是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是（ ）
A．180０ B．150０ C．135０ D．120０
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.若圆周角等于40０，那么它所对的圆心角是 ；若圆心角是100０，则它所对的弧所对的圆周角是 。
2.半圆所对的圆周角是 ，直径所对的圆周角是 。
3．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．等弦所对的圆周角相等
C．等弧所对的圆周角相等 D．90度的角所对的弦是直径
4.圆的一条弦等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）
A.30０ B.60０ C.150０ D.30０或150０
提升能力
5.已知：如图所示，∠APC＝∠CPB＝60０，
求证：△ABC是等边三角形。
6.已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是AC上的一点，PA＝AB，连结PB分别交AD、AC于点E、F。
求证：AE＝BE
开放探究
7.如图所示，足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到点B，此时甲是直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好呢？