圆的对称性(垂径定理)课件

(共48张PPT)
圆对称性(1)垂径定理
3.2
3.2 圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
●O
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
3.2 圆的对称性
O
A
C
B
N
M
D
圆是轴对称图形，
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
O
A
C
B
N
M
D
或： 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
任意一条直径都是圆的对称轴（ ）
练习1.判断题
(1)直径是弦 . (2)过圆心的线段是直径.
(3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧.
(5)面积不等的两圆不是等圆.
(6)长度相等的两条弧是等弧.
A
C
E
F
G
H
弧长
FE
=
3.84 cm
弧长
HG
=
3.84 cm
（√）
（×）
（√）
（×）
（√）
（×）
看一看
B
.
O
C
A
E
D
O
.
C
A
E
B
D
AE≠BE
AE＝BE
③AM=BM,
垂径定理
AB是⊙O的一条弦.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
A
B
C
D
M└
⌒
AmB
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
题设
结论
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
　AD =BD.
垂径定理
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
垂径定理三种语言
定理: 垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
E
.
A
B
O
解：连结OA. 过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
练习
课题：垂直于弦的直径(2)
垂径定理的推论
M
O
A
C
B
N
①直线MN过圆心③ AC=BC
②MN⊥AB
④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
探索一：
结论：
推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
O
A
B
M
N
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。
推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
C
D
M
O
A
C
B
N
② MN⊥AB ③ AC=BC
①直线MN过圆心O
④弧AM=弧BM
⑤弧AN=弧BN
探索二：
推论1: (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
M
O
A
C
B
N
② MN⊥AB ③ AC=BC ④弧AM=弧BM
①直线MN过圆心O
⑤弧AN=弧BN
探索三：
推论1: (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
C
D
A
B
M
T
E
F
G
H
N
P
错在哪里？
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。
●作AB的垂直平分线CD。
●作AT．BT的垂直
平分线EF．GH
你可以写出相应的命题吗
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,
就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC = BC,
⌒
⌒
⑤ AD = BD.
垂径定理的逆定理
垂径定理及逆定理
●O
A
B
C
D
M└
条件 结论 命 题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
垂径定理的推论2
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
M
M
已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：AC＝BD
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
讲解
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.
证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM－CM ＝ BM －DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
C
D
A
B
E
例：平分已知弧AB
已知：弧AB
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点。
求作：弧AB的中点
挑战自我画一画
C
D
A
B
E
F
G
变式一： 求弧AB的四等分点。
m
n
C
A
B
E
变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？
m
n
D
C
A
B
E
m
n
O
你能破镜重圆吗？
A
B
A
C
m
n
·
O
作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。
破镜重圆
A
B
C
m
n
·
O
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
作图依据：
判断
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( )
⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( )
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ( )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
×
√
×
×
√
挑战自我 填一填
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。



A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)
挑战自我 填一填
(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径.
⑽平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.
⑾弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.



A
B
C
O
(4)
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
D
O
(6)
E
挑战自我 填一填
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
挑战自我 填一填
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
挑战自我 做一做
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
M
N
挑战自我做一做
5. 已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，
（1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
（1）
（2）
挑战自我 做一做
解：（1）
OAB+ AOC=90
AC=CB
，OC 是半径（已知）
OC AB
(如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）
ADO=90
OAB=90 -35 =55
A
B
C
D
O
如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交AB于点D AOC=35 ,AD=16cm
求（1） OAB的度数（2）AB的长
挑战自我 做一做
⌒
AB
解：（2）
(如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所对的弦)
AC=CB
，CD经过圆心O（已知）
DB=AD=16cm
AB=2AD=32cm
A
B
C
D
O
如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交AB于点D AOC=35 ,AD=16cm
求（1） OAB的度数（2）AB的长
挑战自我 做一做
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
.
A
O
B
E
C
D
F
挑战自我再上新台阶
回味引伸
垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;
(2)直线MN垂直AB; (3)直线MN平分AB;
(4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB
中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个
结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作
进一步的推导,同学们课下不妨试一试.
课堂小结：
本节课探索发现了垂径定理的推论1和推
论2,并且运用推论1等分弧。
●要分清推论1的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1的关键;
●例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦
的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想
在这里的运用.
圆的相关概念
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc).
直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧 ).
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(chord)(如弦AB).
●O
经过圆心的弦叫做直径(diameter)(如直径AC).
AB
⌒
以A,B两点为端点的弧.记作 ,读作“弧AB”.
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).
AB
⌒
⌒
AmB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).
A
B
C
m
D
⌒
AmB
ABC
⌒
同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。
弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆.
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.