24.1.4圆周角课件(两课时)

(共34张PPT)
圆的认识
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义，
给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
圆外角
圆内角
探究活动 :
1、分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发
现其中有什么规律吗？
2、分别量出图 中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
结论 (1)同弧所对的圆周角都相等, (2)同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
如图AB所对的圆周角有
所对的圆心角有___________________
∠ADB,∠ACB,
∠AOB
为了验证这个 发现 ， 可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，
这时可能出现三种情况:
（1） 折痕是圆周角的一条边，
（2） 折痕在圆周角的内部,
（3） 折痕在圆周角的外部。
证明你的猜想:
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A
O
B
C
由于OA=OC
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
所以∠BAC= ∠BOC
1
2
O
A
B
C
（2）圆心在∠BAC的内部.
D
作直径AD.
由于∠BAD= ∠BOD
1
2
∠DAC= ∠DOC，
1
2
所以∠BAD+∠DAC=
（∠BOD+∠DOC）
1
2
即∠BAC= ∠BOC
1
2
O
A
B
C
（3）圆心在∠BAC的外部.
D
作直径AD.
由于∠DAB= ∠DOB
1
2
∠DAC= ∠DOC，
1
2
所以∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB）
1
2
即∠BAC= ∠BOC
1
2
结论1：
在同圆或等圆中
,同弧或等弧
所对的圆周角相等，
都等于该弧或等弧所对的
圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧也相等。
∠ACB= ； ∠ADB= ；
∠ =∠ .
如图：则有
ACB
ADB
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
如图23.1.9，
线段AB是⊙O的直径，
点C是⊙O上任意一点（除点A、B），
那么，
∠ACB就是直径AB所对的圆周角.
想想看，∠ACB会是怎么样的角？
我们可以看到，
OA＝OB＝OC，
所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，
因而
∠OAC＝∠OCA，
∠OBC＝∠OCB.
又
∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以　
∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
＝90°.
如图：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
结论2:
归纳：
归纳：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两个圆周角③两条弧, ④两条弦, ⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆内接多边形:所有顶点都在同一圆上的多边形。
结论3:圆内接四边形对角互补
·
O
B
C
D
A
圆内接四边形的对角有何数量关系？
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．四边形 ACBD的面积.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
∴AD=BD.
⌒
⌒
例题讲解:
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
3如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
利用同弧所对的圆周角的相等练习
(1)一个概念（圆周角）
内容小结：
(2)一个定理：
等于该 弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的
圆周角相等
1. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______；
25°
3、右图是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？
2、在圆中，一条弧所对的圆心角和
圆周角分别为（2x＋100）°和
（5x－30）°，求这条弧所对的
圆心角和圆周角的度数.
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
圆的认识
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
90°的圆周角所对的弦是圆的直径
复习旧知
4.圆内接四边形对角互补
例题讲解:
例 1: 如图，P是 圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形。
·
·
A
P
B
C
O
证明：∵∠ABC和∠APC
都是 ⌒ 所对的圆周角。
AC
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等）
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对的圆周角，
BC
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
例2:
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒　⌒
BD=DE
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒ ⌒
BD= DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。
A
B
C
D
E
　 如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
⌒
⌒
例3:
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=90°.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴ △ABC 为直角三角形.
例4:
1：已知⊙O中弦AB等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
O
A
B
圆心角为60度
圆周角为 30 度
或 150 度。
练 习
2:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
B
O
C
D
40°
4.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O
A
B
C
B
A
O
.
70°
x
3.求圆中角X的度数。
A
O
.
X
120°
5、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠CAD=260，则∠COD=_________
35°
120°
130°
52°
6.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ，
求∠BOC的度数。
⌒
⌒
7、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
求∠ A的度数。
∠BOC =140°
∠A=21°
8如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC
⌒
9如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,
求证：AC=AE
⌒ ⌒
(1)一个概念（圆周角）
内容小结：
(2)一个定理：
等于该 弧所对的圆心角的一半；
(3)二个推论：同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
同圆或等圆中 ，同弧或等弧所对的
圆周角相等