《不等式及其解集》重难点突破
湖北省咸安区双溪中学 余继红
本节课教学重点是不等式相关概念的理解和不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的解集的表示．难点是不等式的解不是一个或几个具体的数值，而是适合不等式的未知数的值的全体，具有较高的抽象性．
一、不等式的概念
突破建议：
用不等号表示不等量关系的式子叫做不等式。
1．不等量关系反映的是另一种数量关系，如谁高谁矮、谁长谁短、谁大谁小等；
2．常见的不等号“＞，＜，≥,≤ ,≠ ”，学生要掌握这些数学符号的读法和实际意义；
3．列不等式的关键是找出不等量关系，一般情况 ( http: / / www.21cnjy.com )下，紧扣关键词就一目了然，如“大于，小于，不等于，不大于，不小于，不超过，不低于…”等，把它们变为数学符号；另外，有些不等量关系是隐含的，其难度较大，在后面实际问题中也经常用到．
例题 下列式子那些是不等式？
① a+b=b+a ② -3＞-1 ③ x≠1
②x+3≤5 ⑤ 2m≥n ⑥ 2x-3
解析：鉴别不等式，加深对不等式意义的理解．显然①是等式，⑥是代数式，②③④⑤分别含有不等号“＞ 、≠、 ≤、 ≥”表示不等量的式子．
二、不等式的解
突破建议：
1．当未知数取某个数值时不等式能够成立，这个值就是不等式的解，可以类比方程的解进行理解．
2．一般地，不等式的解不止一个，甚至 ( http: / / www.21cnjy.com )有无数多个．教师可以让学生利用行程问题导入的两个不等式来自行取值进行说明这个道理．再则，与前面刚学的一元一次方程的解的唯一性作鲜明对比．
例题 下例说法正确的是
① 4是不等式x+3＞6的解 ② x+3＞6的解是4
③ 3是x+3＞6的解 ④ x＞4的数适合x+3＞6
解析：只要使不等式成立即为不等式的解，不等式的解集是一个集合．故①③④
三、不等式解集
突破建议：
①在x＞50中，它的解有无数多个，而所有解都集合在一起都满足条件x＞75，这些所有的解就组成了这个不等式的解集．
②不等式的解集通常也是一个不等式．
③因为不等式的解一般有无数多个，所以解不等式不是要我们去求不等式的解，而是去求不等式的解集．
④不等式解集在数轴上表示是数形结合思想的体现，抽象与直观地刻画数据．
a．不等号方向与解集在数轴表示的方向为大于向右延伸，小于向左延伸．
b．实心点和空心圆圈的正确理解和使用，实心包括这一点，空心不包括这一点．
c．一方面学生掌握解集在数轴上表示出来，另一方面在数轴上表示的解集用不等式表示出来，体现由数到形的转化和由形到数转化．
例题1 用不等式表示：x的一半与1的差是正数应为（ ）
A． x-＞0 B． -1＞0 C． 1-＞0 D． -1＜0
解析：“x的一半与1的差”表示先求一半再相减，再抓住关键词“正数”用数学符号表示出不等式．故B．
例题2 用数轴表示不等式的解集
（1）x＞-4 （2）x＜3
解析：此类题应分为三步：画数轴、定界点、定方向．《不等式及其解集》教学设计
湖北省咸宁市咸安区实验中学 章福枝
一、内容和内容解析
（一）内容
概念：不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式以及能在数轴上表示简单不等式的解集．
（二）内容解析
现实生活中存在大量的相等关系，也存在大 ( http: / / www.21cnjy.com )量的不等关系．本节课从生活实际出发导入常见行程问题的不等关系，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望．再通过对实例的进一步深入分析与探索，引出不等式、不等式的解、不等式的解集以及解不等式几个概念．前面学过方程、方程的解、解方程的概念．通过类比教学、不等式、不等式的解、解不等式几个概念不难理解．但是对于初学者而言，不等式的解集的理解就有一定的难度．因此教材又进行数形结合，用数轴来表示不等式的解集，这样直观形象的表示不等式的解集，对理解不等式的解集有很大的帮助．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．理解不等式的概念
2．理解不等式的解与解集的意义，理解它们的区别与联系
3．了解解不等式的概念
4． 用数轴来表示简单不等式的解集
（二）目标解析
1．达成目标1的标志是：能正确区别不等式、等式以及代数式．
2．达成目标2的标志是：能理解不等式的解是解集中的某一个元素，而解集是所有解组成的一个集合．
3．达成目标3的标志是：理解解不等式是求不等式解集的一个过程．
4、达成目标4的标志是：用数轴表示 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式的解集是数形结合的又一个重要体现，也是学习不等式的一种重要工具．操作时，要掌握好“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，边界点含于解集中用实心圆点，或者用空心圆点；二是定方向，小于向左，大于向右．
三、教学问题诊断分析
本节课实质是一节概念课，对于不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )、不等式的解以及解不等式可通过类比方程、方程的解、解方程类比教学，学生不难理解，但是对不等式的解集的理解就有一定的难度．
因此，本节课的教学难点是：理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集．
四、教学支持条件分析
利用多媒体直观演示课前引入问题，激发学生的学习兴趣．
五、教学过程设计
（一）动画演示 情景激趣
多媒体演示：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏，现在换了一个大人上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，这是什么原因呢？
设计意图：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，分析能力，激发他们的学习兴趣．
（二）立足实际 引出新知
问题 一辆匀速行驶的汽车在11︰20距离A地50km，要在12︰00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
小组讨论，合作交流，然后小组反馈交流结果．
最后，老师将小组反馈意见进行整理（学生没有讨论出来的思路老师进行补充）
1．从时间方面虑：＜
2．从行程方面: ＞50
3．从速度方面考虑：x＞50÷
设计意图：培养学生合作、交流的意识习惯，使他 ( http: / / www.21cnjy.com )们积极参与问题的讨论，并敢于发表自己的见解．老师对问题解决方法的梳理与补充，发散学生思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．
（三）紧扣问题 概念辨析
1．不等式
设问1：什么是不等式？
设问2：能否举例说明？
由学生自学，老师可作适当补充．比如：＜，＞50， x＞50÷都是不等式．
2．不等式的解
设问1：什么是不等式的解？
设问2：不等式的解是唯一的吗？
由学生自学再讨论．
老师点拨：由x＞50÷ 得x ＞75
说明x任意取一个大于75的数都是不等式＜，＞50的解．
3．不等式的解集
设问1：什么是不等式的解集？
设问2：不等式的解集与不等式的解有什么区别与联系？
由学生自学后再小组合作交流．
老师点拨：不等式的解是不等式解集中的一个元素，而不等式的解集是不等式所有解组成的一个集合．
4．解不等式
设问1：什么是解不等式？
由学生回答．
老师强调：解不等式是一个过程．
设计意图：培养学生的自学能 ( http: / / www.21cnjy.com )力，进一步培养学生合作交流的意识．遵循学生的认知规律，有意识、有计划、有条理地设计一些问题，可以让学生始终处于积极的思维状态，不知不觉中接受了新知识．老师再适当点拨，加深理解．
（四）数形结合，深化认识
问题1：由上可知，x ＞75既是不等式＜的解集，也是不等式＞50的解集．那么在数轴上如何表示x ＞75呢？
问题2：如果在数轴上表示 x ≤ 75，又如何表示呢？
由老师讲解，注意规范性，准确性．
老师适当补充：“≥” 与“≤”的意义，并强调用“≥”或“≤”连接的式子也是不等式．比如x ≤ 75 就是不等式．
设计意图：通过数轴的直观让学生对不等式的解集进一步加深理解，渗透数形结合思想．
（五）归纳小结，反思提高
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答如下问题
1、什么是不等式？
2、什么是不等式的解？
3、什么是不等式的解集，它与不等式的解有什么区别与联系？
4、用数轴表示不等式的解集要注意哪些方面？
设计意图：归纳本节课的主要内容，交流心得，不断积累学习经验．
（六）布置作业，课外反馈
教科书第119页第1题，第120页第2，3题．
设计意图：通过课后作业，教师及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整．
六、目标检测设计
1．填空
下列式子中属于不等式的有___________________________
① x +7＞ ② x ≥ y
② + 2 = 0 ④ 5x + 7
设计意图：让学生正确区分不等式、等式与代数式，进一步巩固不等式的概念．
2．用不等式表示
① a与5的和小于7
② a的与b的3倍 的和是非负数
③ 正方形的边长为xcm，它的周长不超过160cm，求x满足的条件
设计意图：培养学生审题能 ( http: / / www.21cnjy.com )力，既要正确抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、非负数（正数或负数）、不超过（不低于）”等等，正确选择不等号，又要注意实际问题中的数量的实际意义．
3．填空
下列说法正确的有_____________
①x=5是不等式 x -2 ＞0 的解
②不等式 x - 2＞0 的解为 x =5
③不等式 x - 2 ＞ 0 的解集为 x =5
④不等式 x - 2 ＞ 0 的解集为 x ＞ 2
设计意图：进一步让学生正确理解不等式的解与解集的区别与联系,并且理解数学中的从属关系与包涵关系．
4．选择
下列不等式的解集在数轴上表示正确的是：（ ）
A． x＞-3
B． x≥2
C． x≤5
D． 0≤x≤10
设计意图：进一步培养学生数形结合能力，理解空心圆圈与实心圆点的意义，并且能正确确定方向．《不等式及其解集》同步测试
湖北省咸安区实验中小学 柳雄飞
一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）
1．当x = 3时，下列不等式成立的是（ ）
A．x＋3＞5 B．x＋3＞6 C．x＋3＞7 D．x＋3＞8
分析：把x=3代入不等式，判断不等式是否成立．
答案：A
点评：本题主要考查代入值判断不等式是否成立．
2．下列说法中，正确的个数有（ ）
①4是不等式x＋3＞6的解； ②x＋3＜6的解是x＜2 ； ③3是不等式x＋3≤6的解；④x＞4是不等式x＋3≥6的解的一部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：判断每个不等式的解集．
答案：B
点评：本题主要考查判断不等式的解集．
3．图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ）
A．x≥－2 B．x＜1
C．x≠0 D．x＜0
分析：通过数轴判断不等式的解集．
答案：D
点评：本题主要考查通过数轴观察不等的解集．
二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）
4． 在下列式子中：①x-1＞3x；②x+1＞y；③；④4＜7；⑤x≠2；⑥x=0；⑦2x-1≥y；⑧x≠y 是不等式的是 ．（填序号）
分析：不等符号来判断不等式．
答案：①②④⑤⑦⑧
点评：本题主要考查通过不等符号来判断不等式．
5．在下列各题中的空白处填上适当的不等号：
（1） -3 -2 （2） （3） -2；
分析：用“＞，＜，=”来比较有理数的大小。
答案：（1）＜ （2）＜ （3）＞
点评：本题主要考查用“＞，＜，=”来比较有理数的大小．
6．用适当的符号表示下列关系：
（1）a－b是负数 ，（2）a比1大 ，（3）x是非负数 ，
（4）m不大于-5 ，（5）x的4倍大于3 ；
（6）正方形边长是xcm，它的周长不超过160cm，则用不等式来表示为 ；
分析：用不等式表示实际问题。
答案：（1） a－b < 0 ； （2 ( http: / / www.21cnjy.com )） a > 1 ；（3）x ≥ 0；（4） m ≤-5； （5） 4x > 3；（6）4x ≤160 ．
点评：本题主要考察学生用不等式表示实际问题．
三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
7．根据下列数量关系列出不等式：
①x的 与 x的3倍之和是负数；
②m除以4的商减去3小于2 ；
③m 与n 两数的平方差大于6 ．
分析：用不等式表示实际问题。
答案：x +3x ＜0；- 3＜2 ； ＞6．
点评：本题主要考察学生用不等式表示实际问题。
8．将下列不等式的解集在数轴上表示出来
①x < - 2 ②x < 3
③x > -1 ④x ≥ 0
分析：在数轴上表示不等式的解集．
答案：略
点评：本题主要考查在数轴上表示不等式的解集．
