2022 学年第二学期钱塘联盟期中联考
高二年级数学试题
考生须知：
1．本卷共 6 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1、已知数列 an 满足 an 1 an 2,a1 5,则a4 （▲）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
2、 1 2x 2 1 x 3 1 x 4 的展开式中 x2的系数是（▲）
A.12 B.13 C.14 D.15
3、2023年 4月 5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉
馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两
个青团子都为肉馅的概率为（▲）
1 3 1 3
A． B． C． D．
4 4 10 10
4、下列导数运算正确的是（▲）
A.（x2023 e2023）' 2023x2022 2023e2022 B.（x2023 ln x）' 2023x2021
sin x sin 2 x cos2 x
C.（sin 2023x）' 2023cos 2023x D. ( ) '
cos x cos2 x
高二数学学科 试题 第 1 页 共 6 页
5、算盘起源于中国，迄今已有 2600 多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字
出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别
表示个位、十位、百位、千位……，上面的一粒珠子（简称上珠）代表 5，下面的一粒珠子（简
称下珠）代表 1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠、
两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字 17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万
位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含 3 个 5 的情况有（▲）
A.10 种 B.25 种 C.26 种 D.27 种
图一 图二
6、为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的
2
男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的 ，女生喜欢吃甜食的人数占女生人
5
4
数的 ，若有 95%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（▲）
5
A．7 B．11 C．15 D．20
2 n(ad bc)2
参考公式及数据：K a b c d a c b d ，其中n a b c d .
P K 2附： k0 0.05 0.010
k0 3.841 6.635
1
7、已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足，f 1 ，若 f x f x x，则不等式 f x 2 e 的
e
解集为（▲）
A. ,0 B. , 1 C. 1, D. 3,
a 1 n 1 aa a n8、已知数列 n 满足 ， n 1 n N* 8 11 2 n na 1 ，若不等式 2 an 0 对任意的n n n
n N*都成立，则实数 的取值范围是（▲）
A. 44 , B. 15, C. 4 2 9, 3 D. 18,
高二数学学科 试题 第 2 页 共 6 页
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，不选
或有选错的得 0 分．
9、某产品的广告费用 x 与销售额 y的统计数据如下表
广告费用 x（万元） 4 2 3 5
销售额 y（万元） 49 26 39 54
若 y与 x线性相关，且线性回归方程 y b x a 中的 b为 9．4，则下列说法正确的是（▲）
A． a 9.1 B．当 x增加 1个单位时， y增加约 9.4 个单位
C． y与 x正相关 D．若广告费用为 6 万元时，销售额一定是 65.5 万元
1
10、已知函数 f x x3 ax2 x a R ，则（▲）
3
A．当 a 0时，函数 f x 的极小值为 2
3
B．若函数 f x 图象的对称中心为 1, f 1 ，则 a 1
C．若函数 f (x)在R 上单调递增，则 a 1或 a 1
D．函数 f x 必有 3 个零点
11、为了迎接杭州2022年第 19届亚运会,某高校一学生会计划从6男 4女共 10名大学生干部中，
选出 3 男 2 女共 5 名志愿者，安排到杭州奥体中心的 A,B,C,D,E 五个场馆进行志愿者活动，每名
志愿者安排去一个场馆且不重复，其中女同学甲不能安排在 A、B 两个场馆，男同学乙不能安排
在 B 场馆，并且男同学丙必须被选且必须安排在 E 场馆，则（▲）
A．甲、乙都不选的方案共有 432 种 B．选甲不选乙的方案共有 216 种
C．甲、乙都选的方案共有 96 种 D．总的安排方案共有 1440 种
ex
12、已知函数 f (x)= ax + +a ln
1 1
在 x , 2 上有三个单调区间，则实数 a的取值可以是x x 2
（▲）
e2
A. e B. 2 e C. D. 7 2 2
高二数学学科 试题 第 3 页 共 6 页
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
n
2
13、已知 2 ax 展开式的二项式系数之和为128，则 n __▲__.
x
14、某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 A,B,C的测试，如果通过两个或三个
3
项目的测试即可被录用．已知甲通过 A,B,C每个项目测试的概率都是 ．若用 X 表示甲通过测
4
试项目的个数,则D X __▲__.
S a n *15、已知 n是数列 n 的前 项和， a1 11, Sn 1 Sn an 2n 1 n N ,
若存在m N *,使得Sm Sm 1 66，则m __▲__.
16、已知函数 f x t x3 4 3x2 ，若 f x 存在唯一的零点 x0，则实数 t的取值范围是
__▲__.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤．
17、等比数列 an 的公比为 2，且 a2 ,a3 2,a4成等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn log2 (an an 1 ) an，求数列 bn 的前 n项和Tn .
18、已知函数 f x x 1 3 12x a 1．
(1)求 f x 的单调区间；
(2)若 f x 在区间 2,2 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
高二数学学科 试题 第 4 页 共 6 页
19、2022 年 11 月 30 日美国 OpenAI 研发的聊天机器人程序 ChatGPT（全名：Chat Generative
Pre-trained Transformer）发布，再次引发了人类是否会被人工智能（AI）取代的热议。目前
为止，要机器人或人工智能系统完全达到人类的水平，有自发的情感和创造性是很难实现的。但
在某些理性思维的领域机器人有着明显的优势，比如国际象棋方面。某国际象棋协会组织棋手与
机器人进行国际象棋比赛，比赛规则如下：两位棋手组队挑战，两人各与机器人比赛一次为一轮
比赛，每一轮比赛中两人的比赛结果相互独立，互不影响。在一轮比赛中两人都赢小组积分 1
分，两人都输小组积分-1 分，两人一赢一输小组积分 0 分，两轮比赛后计算每组得分。现甲、
乙两位棋手组队向机器人发起了挑战，甲赢机器人的概率为 0.6，乙赢机器人的概率为 0.5，记
该小组在一轮比赛中的得分记为 X，在两轮比赛中的得分为 Y。
（1）求 P X 0 的概率；
（2）求 Y 的均值。
20、已知函数 f x ln x ax,a 0,1 .
1
（1）若 a 时，求 f x 的单调区间和极值；
2
（2）求 f x 在 1,2 上的最小值。
高二数学学科 试题 第 5 页 共 6 页
21、在等差数列{an}中， a3 a4 a5 84,a9 73.
（1）求数列{an}的通项公式；
m 2m
（2）对任意m N ，将数列{an}中落入区间 (9 ,9 )内的项的个数记为bm，求数列{bm}的
前m项和 Sm .
ax
22、已知函数 f x e x（a R， e为自然对数的底数）， g x ln x mx 1.
（1）若 f x 有两个零点，求实数 a的取值范围；
（2）当 a 1时， x f x x g x 对任意的 x 0, 恒成立，求实数m的取值范围.
高二数学学科 试题 第 6 页 共 6 页2022学年第二学期钱塘联盟期中联考
高二年级数学参考答案
1 5：CBACC 6 8 :CBA 9 : ABC 10 : BD 11: ABC 12 : BD
9
13：7 14 : 15 :11 16 : t ,0 1,
16
5、至多含 3 个 5，有以下四种情况：
0 1 2
不含 5，有C5 1种；含 1 个 5，有C5 5种；含 2个 5，有C5 10种；
3 0 1 2 3
含 3 个 5，有C5 10种，所以，所有的可能情况共有C5 C5 C5 C5 26种
另解：所有可能的情况有 25 32种，其中不符合条件有
4 5
含有 4 个 5，有C5 5种；含有 5 个 5，有C5 1种；
5 4 5
所以，所有的可能情况共有所以， 2 -C5 -C5 32 -5 -1 26种
m N *
6、由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5m， ，由题意可
列出 2 2列联表：
男生 女生 合计
喜欢吃甜食 2m 4m 6m
不喜欢吃甜食 3m m 4m
合计 5m 5m 10m
K 2 n(ad bc)
2 10m (2m m 4m 3m)2 5m
．
(a b)(c d)(a c)(b d) 6m 4m 5m 5m 3
由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，
5m
所以3.841 6.635；解得：11.523 5m 19.905，因为m N *，
3
故5m的可能取值为：12，13，14，15，16，17，18，19，
即男生的人数可以是：12，13，14，15，16，17，18，19，
所以选项 ABD 错误，选项 C 正确故选：C.
第 1 页 共 9 页
7、 f x 是定义在 R 上的奇函数，
f x f x ，则 f x f x ，即 f x 是偶函数，
由 f (x ) f ( x ) f x ，可得 f (x ) f x 0，
'
构造 g x f (x ) f (x) f (x)x ，则 g x 0 所以函数 g xx 单调递增，e e
f (x 2) 1 f (1)
不等式 f (x 2) e x 可化简为 x 2 2 ，即 g x 2 g 1 ，e e e
所以 x 2 1，解得 x 1.故选：B
8、由数列 1 n 1 aa n * 1n 满足 a1 ， a2 n n 1
n N a
na 1 ，可得 2 ，可知 an 0，n 6
n 1a an n nan 1 1 1因为 n 1 1n na 1，所以n (n 1)a a
，所以
n 1 n n 1 a na
，
n 1 n
1 1 1 1
因为 a1 ，所以 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 n 1 n 1na ，所以2 nan n a1
a 1n n n 1 且 an 0，
8 1 8 n
a 0 n 1 因为不等式 2 n 恒成立，所以 恒成立，n n n
8 n n 1f (n) 8 8 因为 n 9 2 n 9n n n
4 2 9，当且仅当n 2 2时取等号，
舍去。
当 n = 3时， f (3)
44
= - ，当 n = 4时, f (4)= -15
3
44
44
所以
，即实数 的取值范围是 , ，3 3
故选：A.
9、由于线性回归直线过样本中心点，所以求出 x, y，代入回归方程中可求出 a ，样本中心点是（3.5，
42），则 a y b x 42 9.4 3.5 9.1 .所以线性回归方程为 y 9.4x 9.1，所以 A正确，
对于 B，由 y 9.4x 9.1，可知当 x增加 1个单位时， y增加约 9.4个单位，所以 B正确，
对于 C，因为 0.1 0，所以 y与 x正相关，所以 C正确，
对于 D，若广告费用为 6万元时，销售额大约是 65.5万元
第 2 页 共 9 页
10、根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.
1 3
【详解】A项：当 a 0时， f (x) x x，则 f (x) x2 1，所以 f (x)在 ( , 1)单调递增，在 ( 1,1)
3
单调递减，在 (1, )单调递增，所以 f (x) f (1)
1 2
极小值为 -1 - ，故错误；
3 3
B 项：因为函数 f (x)图象的对称中心为 (1, f (1))，
所以有 f 1 x f 1 x 2 f 1 a-1 x 2 0 a 1，故正确；
C项： f (x) x2 2ax 1 0恒成立，显然 f x 0必有两根 x1, x2 x1 x2 , x1 x2 1 0，则 f (x)在
x1, x2 递减，故错误；
1
D 2
1 1
项： f x x ax 1
x 0 x 0或 x
2 ax 1 0，x 2 ax 1 0 必有 2相异根，且非零，故
3 3 3
f x 必有 3个零点，故正确．
故选择：BD
2 2 4
11、甲乙都不选的方案共有C4C3A4 432种，A 正确
1
选甲不选乙的方案共有C2C
2C1 34 3A3 216种，B正确
甲乙都选，则分两种情况：乙排 A 或乙不排 A
1 1 1 2
乙排 A 的方案共有C2C4C3A2 48
2 1 1 2
种 乙不排 A 的方案共有A2C4C3A2 48种
∴甲乙都选的方案共有 48 48 96 种，C 正确
总的安排为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选
1 2 1 3
选乙不选甲的方案共有C4C3C3A3 216种
总方案共有 432+216+216+96=960 种，D错误 故选：ABC．
1 ' 1
12、由题意可知函数在 x ,2 上有三个单调区间，等价 f (x) = 0在 x ,2 有两个不同的
2 2
x -1
f ' (x) = ( )(ax + e
x) f ' (x) = 0 x =1 ax +ex根. 2 令 ，则 1 ，即 =0在 x 1 ,2 有唯一根，则有x 2
e x a e
2
,即 a , 2 ex
,故选：BD
2
第 3 页 共 9 页
15、方法一： an 1 an 2n 1 n N * a， n 2 an 2，逐个计算
a1 11,a2 10,a3 13,a4 8,a5 15,a6 6 m 11
a7 17,a8 4,a9 19,a10 2,a11 21,a12 0
方法二： an 1 a
*
n 2n 1 n N
n S n(n 1) ,n S n
2 n 22
为偶数时， n 为奇数时， 2 n 2
S m
2 m 22
m 66
m为奇数时， 2 ,解得m 11
S (m 1)mm 1 66 2
m为偶数时不成立。
16、法一：（1） t 0时，f (x) 3x2 ,零点x0 0，成立
2 t 0 x , 2 0 2时， 和 ， ，f (x) 单调递减，x ,0 , f (x）单调递增
t t
2 0
t ,解得t 0
f (0) 0
3 t 0时，x ,0 2 和 ， ，f (x) 2单调递增，x 0, , f (x）单调递减
t t
2
0t , t 1 2 即 t 2
0，解得t 1
f ( ) 0
t
t （ ，0] （1， ）
第 4 页 共 9 页
2 3x2 24x 3x4
法二： f (x) 3x 0即t （x 3 4) 令g(x) (x 3 4), g (x)
x3 4 x3 4 (x3 4)2
x ( , 3 4)（, 3 4,0）, 2, ，g(x)单调递减； t （ ，0] （1， ）
x 0,2 , g(x)单调递增
17、（本题总分 10 分）
（1）已知等比数列 an 的公比为 2，且 a2 ,a3 2,a4成等差数列，
2(a3 2) a2 a4 ， …………1分
2 4a1 2 2a1 8a1 ， …………1 分
解得 a1 2， …………1分
a 2 2n 1 2n ,n N*n ；…………1分
n
（2）bn log（2 2 2
n 1) 2n 2n 1 2n， …………2分
Tn 2(1 2 n) n 2 22 2n . …………2 分
n2 2n 2n 1 2；…………2分
第 5 页 共 9 页
18、（本题总分 12 分）
（1）函数 f x x3 3x2 9x a的定义域为 R，
' 2
求导得： f x 3x 6x 9 3 x 1 x 3 …………2分
由 f (x) 0得 x 1或 x 3，由 f (x) 0得 1 x 3，
因此函数 f (x)在 ( , 1), (3, )上单调递减，在 ( 1,3)上单调递增， …………2 分
所以函数 f (x)的递减区间是 ( , 1), (3, )，递增区间是 ( 1,3) . …………1 分
（2）由（1）知，函数 f (x)在[ 2, 1]上单调递减，在[ 1,2]上单调递增， …………2分
f ( 2) 2 a, f (2) 22 a， …………1 分
因此 f (x)max f (2) 22 a 20，解得 a 2， …………2分
f (x)min f ( 1) 5 a 7，
所以函数 f (x)在 2,2 上的最小值是 7 .…………2 分
19、（本题总分 12 分）
（1）
X -1 0 1
P 0.2 0.5 0.3
P X 0 P X 1 P X 0 0.2 0.5 0.7…………4 分
（2）
Y -2 -1 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
E(Y)=(-2)×0.04+(-1)×0.2+0×0.37+1×0.3+2×0.09=0.2
评分标准：Y的取值 1分，每个概率 1 分，均值 2分，共 8分。
第 6 页 共 9 页
20、（本题总分 12 分）
f x 1 1 x 2（1）
x 2 2x …………………………………………………1分
f x 在 0，2 上单调递增，在 2, 上单调递减………………………………2 分
f x =f 2 ln 2 1极大值 ，无极小值；…………………………………………1 分
a x 1
（2） 1 a
…………………………………………2 分f x a
x x
f x 1 1 在 1， 上单调递增，在 , 上单调递减
a a
1
①当 2，即0 a 1 时，函数 f x 在 1,2 上单调递增， fmin x =f 1 aa 2
………………………………………………………………………………………2分
1 1 1 1
②当1 2 ，即 a 1时，函数 f x 在 1， 上单调递增，在 , 2 上单调递减a 2 a a
f 2 f 1 ln 2 a
1
若 a ln 2时， fmin x =f 1 a2
若 ln 2 a 1时， fmin x =f 2 ln 2 2a
∴当0 a ln 2时， fmin x =f 1 a；当 ln 2 a 1时， fmin x =f 2 ln 2 2a
……………………………………………………………………4 分
第 7 页 共 9 页
21、（本题总分 12 分）
（1）由 a3 a4 a5 84,a9 73可得3a4 84,a4 28,…………1分
而 a9 73，则5d a9 a4 45,d 9，…………1 分
a1 a4 3d 28 27 1，…………1分
于是 an 1 (n 1) 9 9n 8，即 an 9n 8 .…………1分
m 2m m 2m
（2）对任意 m∈N﹡，9 9n 8 9 ，则9 8 9n 9 8，
9m 1 8 n 92m 1 8即 ，…………1 分
9 9
m 1 2m 1
而 n N *，故9 1 n 9 ，（或9m 1 1 n 92m 1 1）…………1分
2m 1 m 1
由题意可知bm 9 9 ，…………2分
于是 Sm b b b
1 3 2m 1 0 1 m 1
1 2 m 9 9 9 (9 9 9 )
9 92m 1 1 9m 92m 1 9 9m 1 92m 1 10 9m 1 92m 1 1 9m
2 ，1 9 1 9 80 8 80 80 8
…………3 分
92m 1 1 9m
即 Sm .…………1 分80 8
第 8 页 共 9 页
22、（本题总分 12 分）
（1） f x 有两个零点 关于 x的方程 eax x有两个相异实根，由 eax 0，知 x 0 f x 有两个
a ln x零点 有两个相异实根.…………1分
x
G x ln x G x 1 ln x G x 0 0 x e G 令 ，则 2 ，由 得： ，由 x 0得： x e，x x
G x 在 0,e 单调递增，在 e, 单调递减，…………1分
G x G e 1 ，又 G 1 0， max 当 0 x 1时，G x 0，当 x 1时，G x 0e
当 x 时，G x 0，…………1分
f x 1 有两个零点时，实数 a的取值范围为 0, ；…………2 分
e
x
（2）当 a 1时， f x e x， 原命题等价于 xex ln x mx 1对一切 x 0, 恒成立
m ex ln x 1 对一切 x 0, 恒成立.…………1分
x x
2 x
令 F x ex ln x 1 x 0 m F x min， F x e x
ln x x e ln x
h x2 2 ，令 x
2ex ln x，
x x x x
x 0, h x 2xe x2ex 1，则 0，…………1 分
x
1
1
2
h x 在 0, 上单增，又 h 1 e 0， h e e 1 e0 1 0…………1分
e
x 10 ,1
2 x
，使 h x0 0即 x e 00 ln x0 0①，…………1分
e
当 x 0, x0 时， h x 0，当 x x0 , 时， h x 0，即 F x 在 0, x0 递减，在 x0 , 递增，
F x Fmin x e
x ln x 10 00 x x …………1分0 0
x2ex ln x x ex ln x
ln 1
由①知 0 ， 0 0
1
ln 1 ln 1 e x00 0 0 x0 x
0 x0 x0
1
函数 x xex在 0, 单调递增， x0 ln x 即 x0 ln x0 ，…………1分0
F x x 1 1 1 e ln x0 0 1 1min x x x x ， m 10 0 0 0
实数m的取值范围为 ,1 .…………1 分
第 9 页 共 9 页
