2023届高三下学期4月高考数学（理）考前冲刺训练（江西适用）（Word版含答案）

2023年高考考前冲刺训练（江西适用）
理科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·晋中模拟)设复数z＝1－(1－i)2，则复数z的共轭复数等于(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．3＋2i D．3－2i
2．(2022·天津模拟)设全集U＝{－2，－1,0,1,2}，A＝{－2，－1,2}，B＝{－2，－1,0,1}，则( UA)∩B等于(　　)
A．{－2，－1} B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{－2，－1,0,1}
3．(2022·贵阳模拟)设a＝30.3，b＝－1.2，c＝log0.60.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c4．(2022·汉中模拟)如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是直径为2的圆．则该几何体的表面积为(　　)
A．3π B．2π C.π D.
5．(2022·德阳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)
6．(2022·朔州模拟)2022年北京冬奥会开幕式各个代表团身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是(　　)
A．2021年中国运动鞋服消费者为父母/长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过70%
B．2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于20%
C．2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过
D．2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍
7．(2022·成都模拟)设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题，其中正确的是(　　)
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥β，a∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
8．(2022·苏州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为1，b2＋c2－a2＝4，则A等于(　　)
A. B. C. D.
9．(2022·凉山模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(2,0)的直线l交抛物线于M，N两点，若|MF|＋|NF|＝10，则|MN|等于(　　)
A．14 B．2 C．4 D．12
10．(2022·成都模拟)在△ABC中，BC边上的点D满足·＝·，||＝3，点G在三角形内，满足＋＋＝0，则·的值为(　　)
A. B．3 C．6 D．12
11．(2022·菏泽模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若f ＝0，且f(x)在上有最大值，没有最小值，则ω的值可以是(　　)
A．17 B．14 C．5 D．2
12．(2022·南昌模拟)已知函数f(x)＝(x2－1)·ln x＋λ(x－1)2(λ≠0)的三个零点分别为x1，x2，x3，其中x1>x2>x3，则λ3(x1＋x2)·(x2＋x3)(x3＋x1)的取值范围为(　　)
A．(－64，－32) B．(－32,0)
C．(－∞，－64) D．(－∞，－32)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·北京模拟)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________．(结果用数值表示)
答案　120
解析　①1男4女，CC＝45(种)；
②2男3女，CC＝60(种)；
③3男2女，CC＝15(种)；
∴一共有45＋60＋15＝120(种)．
14．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度C(t)(单位：μg/mL)随时间t(单位：h)的变化规律可近似表示为C(t)＝C0·e－kt，其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数k＝0.5(单位：h－1)，某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为4.5 μg/mL，当患者清醒时测得其血药浓度为0.9 μg/mL，则该患者的麻醉时间约为________ h．(ln 5≈1.609)
15．(2022·南昌模拟)已知P为圆(x＋1)2＋y2＝1上任意一点，A，B为直线3x＋4y－7＝0上的两个动点，且|AB|＝4，则△PAB面积的最大值是________．
16．(2022·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，等差数列的首项为1，公差为1，则S2n－Sn的最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共60分．
17．(12分)(2022·沈阳模拟)在①(sin A－sin C)a＝(b－c)(sin B＋sin C)；②(2a－c)cos B＝；③sin(B＋C)＝cos这三个条件中选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求B；
(2)若b＝，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD＝，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．(12分)(2022·成都模拟)如图1，在等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的动点，且满足DE∥BC，记＝λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B－MD－E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角B－MD－E的正弦值．
19．(12分)(2022·唐山模拟)已知函数f(x)＝.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：f(x)≥.
20．(12分)(2022·徐州模拟)某企业重视产品技术研发，组建了A，B，C三个技术研发组，每个技术研发组每年只有一个技术研发任务，A研发组每年有技术突破的概率为，B，C研发组每年有技术突破的概率均为，且每个技术研发组能否有技术突破相互独立．若该企业的三个技术研发组中至少有两个有技术突破，则该企业就能获得“快速发展企业”称号．
(1)求该企业获得“快速发展企业”称号的概率；
(2)该企业准备明年再增加D，E两个技术研发组，每个技术研发组能否有技术突破仍相互独立，这两个技术研发组实力均衡，每年有技术突破的概率均为p(021．(12分)(2022·珠海模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点T(－2，)在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABP的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程．
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分)
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．(2022·北海模拟)已知圆C的参数方程是(α为参数)．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝3，将直线l1向左平移3个单位长度得到直线l2.
(1)求圆C的极坐标方程和直线l2的直角坐标方程；
(2)直线l2与圆C交于点A，B，求优弧AB和劣弧AB长度的比值．
[选修4—5：不等式选讲]
23．(2022·乐山模拟)已知f(x)＝|x－a|＋2x，不等式f(x)≥5a的解集为[2，＋∞)．
(1)求实数a的值；
(2)若m>0，n>0，＋＝2a，求＋的最小值．
参考答案
1．A　2.B　3.D　4.A　5.A　6.C
7．B　[对于A，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；
对于C，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，故C错误；
对于D，若α⊥β，a∩β＝m，n⊥m，则n不一定垂直于β，故D错误．]
8．A　[由余弦定理得，
cos A＝＝＝，
由面积公式得，bcsin A＝1，
即sin A＝，
所以sin A＝cos A，
即tan A＝1，
因为A∈(0，π)，
所以A＝ .]
9．C　[由题意知，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2，
又F(1,0)，
所以|MF|＋|NF|＝2＋1＋2＋1
＝6≠10，
所以直线l的斜率存在．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
联立方程
得k2x2－(4k2＋4)x＋4k2＝0，
所以x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，
由抛物线的定义知
|MF|＋|NF|＝x1＋1＋x2＋1
＝6＋＝10，
所以k2＝1，则x1＋x2＝8，
所以|MN|＝|x1－x2|
＝×＝4.]
10．C　[·＝· (－)·＝·＝0，
故⊥，
所以·＝2，·＝2，
由＋＋＝0 G是△ABC的重心，
所以＝(＋)，
因此·＝(＋)·＝(·＋·)
＝||2＝6.]
11．A　[由f ＝0，且f(x)在上有最大值，没有最小值，
可得＋＝2kπ，
所以ω＝6k－1(k∈Z)．
由f(x)在上有最大值，没有最小值，可得×<－≤×，
解得6<ω≤18，
又ω＝6k－1(k∈Z)，
结合选项，当k＝3时，ω＝17.]
12．C　[f(x)＝(x－1)[(x＋1)ln x＋λ(x－1)]，
显然f(1)＝0，
令(x＋1)ln x＋λ(x－1)＝0(x>0)，
即ln x＋＝0(x>0)，
令g(x)＝ln x＋(x>0)，
则g(1)＝0，g′(x)＝＋
＝(x>0)，
令h(x)＝x2＋(2λ＋2)x＋1(x>0)，
要想g(x)除1外再有两个零点，
则g(x)在(0，＋∞)上不单调，
则Δ＝(2λ＋2)2－4＝4λ2＋8λ>0，
解得λ<－2或λ>0，
当λ>0时，g′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点，舍去；
当λ<－2时，设g′(x)＝0，
即h(x)＝0的两根为a，b，且a则有
故0令g′(x)>0，解得xb，
令g′(x)<0，解得a所以g(x)在(0，a)，(b，＋∞)上单调递增，在(a，b)上单调递减，
因为x1>x2>x3，
所以0又因为g＝ln＋
＝－ln x＋＝－g(x)，
若g(x)＝0，则g＝0，
因为g(x1)＝g(x3)＝0，
所以x3＝，
所以(x1＋x2)(x2＋x3)(x3＋x1)
＝(x1＋1)·
＝
>·2＝8，
因为λ<－2，所以λ3<－8，
故λ3(x1＋x2)(x2＋x3)(x3＋x1)<－64.
检验：当λ＝－2时，
g(x)＝ln x－(x>0)，
g′(x)＝－
＝≥0，
此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，即x1＝x2＝x3＝1，
此时为临界情况，λ3(x1＋x2)(x2＋x3)(x3＋x1)＝－64，
综上，λ3(x1＋x2)(x2＋x3)(x3＋x1)的取值范围为(－∞，－64)．]
13．120　14.3.2
15．6
解析　圆心到直线的距离为＝2>1，
所以直线与圆相离，
则圆上一点P到直线3x＋4y－7＝0的距离d的最大值为2＋1＝3，
又|AB|＝4，
所以△PAB的面积的最大值为×4×3＝6.
16.
解析　由题意知＝n，
则an＝－，
则Sn＝20－，
S2n＝20－n，
令Mn＝S2n－Sn
＝20－，
则Mn＋1－Mn
＝
－
＝20－
＝20－
＝－.
由n∈N*，
易得当n≤2时，
Mn＋1－Mn≥－>0，
所以M3>M2>M1；
当n≥3时，
Mn＋1－Mn≤－<0，
所以M3>M4>M5>…，
故Mn的最大值为
M3＝20×－＝，
即当n＝3时，
S2n－Sn取得最大值为.
17．解　(1)选择条件①：
根据正弦定理，
可得(a－c)a＝(b－c)(b＋c)，
即a2＋c2－b2＝ac，
根据余弦定理，
可得cos B＝＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
选择条件②：
根据余弦定理，
可得(2a－c)cos B＝
＝bcos C，
根据正弦定理，
可得(2sin A－sin C)cos B
＝sin Bcos C，
整理可得
2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，
∵sin A≠0，∴cos B＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
选择条件③：
易知A＋B＋C＝π，
可得bsin A＝acos，
根据正弦定理，可得
sin Asin B＝sin Acos，
∵sin A≠0，
∴sin B＝cos
＝cos B＋sin B，
整理可得tan B＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)根据题意，
可得S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
可得acsin ＝×csin ＋×asin ，
整理可得a＋c＝ac，
根据余弦定理，
可得b2＝a2＋c2－2accos ∠ABC，
可得13＝a2＋c2－ac，
即(a＋c)2－3ac＝13，
可得25(ac)2－48ac－208＝0，
解得ac＝4或ac＝－(舍)，
故S△ABC＝acsin ＝.
18．解　(1)取MB的中点P，连接DP，PN，
因为MN＝CN，
MP＝BP，
所以NP∥BC，
又DE∥BC，
所以NP∥DE，
即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面MBD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即四边形NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，
即λ＝.
(2)取DE的中点O，连接MO，
则MO⊥DE，
因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO 平面MDE，
所以MO⊥平面DECB，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设BC＝2，
则M(0,0，λ)，D(λ，0,0)，B(1，(1－λ)，0)，
所以＝(λ，0，－λ)，＝(1－λ，(1－λ)，0)，
设平面BMD的法向量为m＝(x，y，z)，
则
即
令x＝，则m＝(，－1,1)．
又平面EMD的一个法向量为n＝(0,1,0)，
所以cos〈m，n〉＝
＝＝－，
即随着λ值的变化，二面角B－MD－E的大小不变．
且sin〈m，n〉＝＝.
所以二面角B－MD－E的正弦值为.
19．(1)解　f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
f′(x)＝.
当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当－1当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故f(x)在(－∞，－1)和(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明　令g(x)＝(x＋1)2e1－x，
x≥0，
则g′(x)＝e1－x(1－x2)，
所以当0≤x<1时，g′(x)>0，
g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)的最大值为g(1)＝4，
即(x＋1)2e1－x≤4，
从而≥，
所以f(x)≥.
又－＝≥0，
所以≥，当且仅当x＝1时等号成立，
故f(x)≥.
20．解　(1)由题意得A，B，C三个研发组每年没有技术突破的概率分别为，，.
则三个技术研发组中至少有两个有技术突破，包含“A，B，C三个研发组”有两个研发组有技术突破，共有3种情况；这三个研发组都有技术突破，共1种情况．
所以该企业获得“快速发展企业”称号的概率为××＋××＋××＋××＝.
(2)①当有三个技术研发组有技术突破，且A技术研发组有技术突破时，
概率为P1＝×××p2＋×C×××Cp×(1－p)＋×××(1－p)2
＝；
②当有三个技术研发组有技术突破，且A技术研发组没有技术突破时，
概率为P2＝×C×××p2＋×××Cp×(1－p)＝；
③当有四个技术研发组有技术突破时，
概率为P3＝×××Cp×(1－p)＋×C×××p2＋×××p2＝；
④当有五个技术研发组有技术突破时，概率为
P4＝×××p2＝.
所以该企业增加技术研发组之后获得“快速发展企业”称号的概率为
P＝P1＋P2＋P3＋P4
＝＋＋＋
＝.
因为该企业增加技术研发组之后获得“快速发展企业”称号的概率比未增加时大，
所以>，
又0所以p的取值范围为(5－2，1)．
21．解　(1)由T(－2，)在双曲线C上，
得－＝1，
由TP垂直x轴于点P，
得P(－2，0)，
则由P(－2，0)到双曲线C的渐近线y＝±x的距离为2，
得＝2，得a2＝2b2，
联立a2＝2b2和－＝1，
解得b2＝3，a2＝6，
即双曲线C的标准方程为
－＝1.
(2)由题意，F2(3,0)，
当直线l斜率不存在时，直线方程为x＝3，
则A，B，
则△ABP为等腰三角形，若△ABP的外接圆的圆心Q在y轴上，
则Q(0,0)，
而|QA|＝＝，
|QP|＝2，|QA|≠|QP|，
不符合题意(舍)；
当直线l斜率存在时，
设直线方程为y＝k(x－3)，
联立
得x2－2k2(x－3)2－6＝0，
即(2k2－1)x2－12k2x＋18k2＋6
＝0.
设直线l与双曲线C的右支相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得k2>，即k>或k<－，
由x1＋x2＝，
x1x2＝，
得y1＋y2＝k(x1＋x2－6)
＝，
则线段AB的中点M，
且|AB|＝|x1－x2|
＝
＝.
由题意，设Q(0，y0)，
易知Q在线段AB的垂直平分线上，
因此＝－，
得y0＝，即Q，
连接QP，QA，QM(图略)，
因此|QP|2＝2＋12.
由勾股定理可得，
|QA|2＝|QM|2＋|AB|2，
又|QA|＝|QP|，
则2＋12＝2＋2＋，
化简得2k4－5k2＋2＝0，
得k＝±，
因此直线l的方程为
y＝±(x－3)，
即x－y－3＝0或x＋y－3＝0.
22．解　(1)圆C的参数方程为
(α为参数)，
化为普通方程为(x－5)2＋(y－)2＝4，
即x2＋y2－10x－2y＋24＝0，
把代入方程，
化简可得圆C的极坐标方程为
ρ2－10ρcos θ－2ρsin θ＋24＝0；
由直线l1的极坐标方程为
ρcos θ－ρsin θ＝3，
可得直线l1的直角坐标方程为x－y－3＝0，
即y＝(x－3)，
∴直线l2的直角坐标方程为y＝x.
(2)∵直线l2的直角坐标方程为y＝x，
∴直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
代入圆C的极坐标方程
ρ2－10ρcos θ－2ρsin θ＋24＝0，
可得ρ2－6ρ＋24＝0，
设A，B对应的极径分别为ρA，ρB，
则ρA＋ρB＝6，ρAρB＝24，
∴|AB|＝|ρA－ρB|
＝
＝＝2，
又圆C的半径为2，
∴∠ACB＝，
∴劣弧AB所对的圆心角为，优弧AB所对的圆心角为，
∴优弧AB和劣弧AB长度的比值为2.
23．解　(1)因为不等式f(x)≥5a的解集为[2，＋∞)，
所以x＝2是f(x)＝5a的解，
所以|2－a|＋4＝5a，
当a≤2时，2－a＋4＝5a，解得a＝1；
当a>2时，a－2＋4＝5a，
解得a＝，舍去，
所以a＝1.
当a＝1时，|x－1|＋2x≥5，
可得当x≥1时，x－1＋2x≥5，解得x≥2；
当x<1时，1－x＋2x≥5，无解，
此时|x－1|＋2x≥5的解集为[2，＋∞)，符合题意，
综上，a＝1.
(2)由(1)得，a＝1，
则＋＝2，即m＋n＝2mn，
由m>0，n>0，可得m＋n＝2mn≥2，
即mn≥1，当且仅当m＝n＝1时等号成立，
＋
＝
＝＝
＝－≥3，
当且仅当m＝n＝1时等号成立，
所以＋的最小值为3.