高一 4月份阶段性检测数学试题 参考答案
1．解析：sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60° 3＝ .
2
答案：D
2 a·b 3×5＋4×12 63．解析：由题意得 cos 〈a，b〉＝ ＝ ＝ .
|a||b| 5×13 65
答案：A
3．解析：由|a＋b|＝ 7，得 7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cos θ，所
以 cos θ 1＝ .
2
答案：B
1 2
4 2．解析：由题意，知 cos2α＋ 2 ＝ .∴cos2α 1＝ .
2 4
∴cos2α＝2cos2α 1 1 1－ ＝ －1＝－ .
2 2
答案：B
5．解析：将 cos4运用倍角公式变形为 1－2sin22，从而原式化为 3－3sin22，再
开方即得结果．
答案：D
x π
－
6．解析：由题意，函数 f(x)＝tan 2 6 ，
π
令 － ＋kπ2 2 6 2
2kπ 2π解得 － 3 3
2kπ 2π 2kπ 4π－ ， ＋
即函数 f(x)的单调递增区间是 3 3 ，k∈Z.
答案：B
7 πx．解析：某港口某天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y＝4sin ( ＋φ)
6
＋k，
据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k＝2，
所以 k＝6，故这段时间水深(单位：m)的最大值为 4＋k＝10.
答案：A
8 O→C O→．解析： 为 B在O→A → a·b上的投影．故|OC|＝ ，
|a|
O→C a·b· a a·b∴ ＝ ＝ ·a.
|a| |a| |a|2
答案：A
1 / 8
9 2π π．解析：对于选项 A，周期为 T＝ ＝ ；
4 2
2π
对于选项 B，周期为 T＝ ＝π；
2
2π
对于选项 C，周期为 T＝ 1＝8π；
4
2π
对于选项 D，周期为 T＝ 1＝4π.
2
故选 BCD. 答案：BCD
10．解析：因为 f(x)＝2sin x cos x π－2sin2x＋1－1＝sin2x＋cos 2x－1＝ 2sin (2x＋ )－1，
4
对 A，因为ω＝2，所以 f(x)的最小正周期 T＝π，结论正确；
B x [π 5π] 2x π [π 3π对 ，当 ∈ ， 时， ＋ ∈ ， ]；
8 8 4 2 2
则 f(x)在[π 5π， ]上是减函数，结论正确．
8 8
π
π － ，－1
对 C，因为 f(－ )＝－1，得到函数 f(x)图象的一个对称中心为 8 ，结论不
8
正确；
对 D π，函数 f(x)的图象可由函数 y＝ 2sin 2x的图象向左平移 个单位，再向下平移
8
1个单位得到，结论不正确．
答案：AB
11．解析：因为函数 f(x)＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没
f(x) cos ωx (ω>0) 2π 2π有最小值，所以 ＝ 的周期大于等于 ，即 ≥2π，所以ω≤1.
ω
ω 1当 ＝ 时，f(x) 1＝cos x，x∈(2π，3π) x 2π时， ∈( ，π)，无最大值 1和最小值－1，
3 3 3 3
ω 1＝ 成立，A正确；
3
1 1 x 3π
当ω＝ 时，f(x)＝cos x ，x∈(2π，3π)时， ∈(π， )，无最大值 1和最小值－1，
2 2 2 2
ω 1＝ 成立，B正确；
2
3 3x 3x
当ω＝ 时，f(x)＝cos ，x∈(2π，3π)时， ∈(3π 9π， )，有最大值 1，不成立，C
4 4 4 2 4
不正确；
当ω＝1时，f(x)＝cos x，x∈(2π，3π)时，无最大值 1和最小值－1，ω＝1成立，
D正确．
故选 ABD.
答案：ABD
2 / 8
12．解析：由 a·(b－a)＝2，得 a·b－a2＝2，
则 a·b＝3，设向量 a 与向量 b 的夹角为α，
则 a·b＝|a|·|b|cos α＝3，
则 cos α 1 π＝ ，那么α＝ ，则 A正确；
2 3
由 a2＋a·b 3 1 1＝ ，得 a·b＝ ，设向量 a 与向量 b 的夹角为α，则 a·b＝|a|·|b|cos α＝ ，
2 2 2
cos α 1 π则 ＝ ，那么α＝ ，则 B正确；
2 3
由 a＝( 3，－1)，b＝(2 3，2)，
则|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4，则 cos α 1＝ ，
2
π
那么α＝ ，则 C正确；
3
由 a＝(2，2 3)，b＝(－3，0)，则|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则 cos α 1＝－ ，那
2
2π
么α＝ ，则 D不正确．
3
答案：ABC
x π－
π 3 8 π13 ＋．解析：图象向右平移 个单位，解析式应变为 y＝sin 4 ，即 y＝sin8
3x π π－ x－
8 ，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3倍，得 y＝sin 8 .
x π－
答案：y＝sin 8
14．解析：设扇形半径为 r cm，弧长为 l cm，
则 l＝2r, 16＝2r＋2r，所以 r＝4，则扇形面积为
S 1＝ ×2×r2＝16(cm2).
2
答案：16
15 π 3．解析：设β＝α＋ ，所以 sin β＝ ，
6 5
sin 2β＝2sin βcos β 24＝ ，
25
cos 2β＝2cos2β 7－1＝ ，
25
π π π
所以 sin(2α＋ )＝sin (2α＋ － )
12 3 4
＝sin (2β π) π π－ ＝sin 2βcos －cos 2βsin
4 4 4
17 2 17 2
＝ . 答案：
50 50
3 / 8
16．解析：要使函数 f(x)＝sin x 1＋ 有意义，则有 sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴
sin x
定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
sin x 1＋
又∵f(－x)＝sin ( 1 1－x)＋ ＝－sin x－ ＝－ sin x ＝－f(x)，
sin （－x） sin x
∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
π
π －x
π
＋x
对于③，要证 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称，只需证 f 2 ＝f 2 .
2
π π
－x －x 1
∵f 2 ＝sin 2 ＋ π ＝cos x
1
＋ ，
－x
sin cos x2
π
＋x π＋x 1
f 2 ＝sin 2 ＋ π ＝cos x
1
＋ ，
＋x
sin cos x2
π π
－x ＋x
∴f 2 ＝f 2 ，∴③是真命题．
sin x t 1 t 1 t 0 g(t) t 1令 ＝ ，－ ≤ ≤ 且 ≠ ，∴ ＝ ＋ ，－1≤t≤1且 t≠0，此函数图象如
t
图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为 2，即 f(x)的最小值不为 2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
2 2
17. 4 3 【解答】解：（1）由题意可得 A点到原点O的距离 1，
5 5
4
由三角函数的定义知 sin ，
5
角 的终边所在射线经过点Q m,m (m 0)，
则 tan 1，
所以 sin tan 4 .
5
4
2 1 tan 5
4
（ ）由（ ）及三角函数的定义知 3 ，
3
5
原式
cos cos 2 1 1 1 1 7
sin sin 2 2sin cos tan tan 2 2tan 4 1 2 1 4 .
3
4 / 8
18.解：（1）由题可得：向量 a 1,1 ,b 3, 1 .
a
则 2b 1,1 2 3, 1 5,3 , a b 1,1 3, 1 3, 1 ，
因为 a 2b a b ，所以有 a 2b a b 0，
所以 5 15 3 3 0，解得 9，
则有 a b 1,1 3, 1 3, 1 6, 10 ；
故 ( a b )2 136
（2） a 2b 1,1 2 3, 1 5,3 ，
若向量 a 2b 与 c的夹角为钝角，
首先满足 a 2b c 0，得：3m 10 0，所以m 10 ，
3
其次当 a 2b 6与 c 反向时，有6 5m 0，所以m ；5
10 6 10 6
所以m 且m ，即m的取值范围是 m∣m 且m
.
3 5 3 5
1 19.解：（1） BE BD BA BO BA BC2
1
1
BA BA BC 2 BA BC 2
3 BA 1
BC BA BC4 4
3 1
BA2 BC 2 BA BC
4 4
3
16 1 1 16 4 4
4 4 2
12 4 8 24;
（2） 四边形 ABCD是边长为 4 的菱形， ABC ，
3
CE 3,CF 3 ，
2
CF 3
故 .
CD 8
20.解：（1）由已知得， f x cosx sinx 6 3cosx 5sinxcosx 3 3
cosx sinx 6 3cos2x 5sinx cosx 3 3
6cosx sinx 6 3cos2x 3 3
5 / 8
3sin2x 6 3 1 cos2x 3 3
2
3sin2x 3 3cos2x
6sin 2x
3
将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度，得到 g x 的图象，
3
所以 g x 6sin 2 x
3 3
6sin 2x ，
3
所以 g x 2 的最小正周期T ；
2
（2）由（1）得 g x 6sin 2x
，
3
2 4
当 x , 时， 2x , ， 2 2 3 3 3
令 2x 5 ，解得 x ，
2 3 2 12 12
5
所以函数 g x 的单调增区间为 , ， 12 12
g x 所以 的最大值为 6，此时 2x , x ；
3 2 12
g x 5的最小值为-6，此时 2x , x .
3 2 12
3 4 2
21.解：（1）函数的周期T 2 2 ，即T ，
8 8
8
则 2, f x Acos 2x
由五点对应法得 2 ，即 ，
8 2 4
此时 f x Acos 2x ，
4
A
1
2
f 0 Acos 1，即 2 ，4
2
f x 2cos 2x
.
4
6 / 8
f （2） 2
2cos ，
4
, cos 5 ,sin 22 5为锐角， ，
5 65
2
sin 1 5 20 2 5 ，
5
25 5
sin 2 5 26 5 22 5 sin ，
5 65 65
是钝角，
19 5
则 cos
65
cos cos cos cos sin sin
19 5 5 2 5 22 5 5
，
65 5 5 65 13
sin 12则 ，
13
f 则 2cos
cos sin 5 12 7
2
.
4 13 13 13
22.解：（1）
f x sin 2x
2 3cos
2x 3 sin2xcos sin cos2x 2 3 1 cos2x 3
3 3 3 2
1
sin2x 3 cos2x 3 3cos2x 1 3 3 sin2x cos2x sin 2x ，
2 2 2 2 3
由于 y sin
的单调增区间为 2k ,
2k ,k Z ， 2 2
令 2x
2k ,
2k ，3 2 2
5
解得： x k , k
12 12
，
f x 5 单调增区间为 k , k ,k Z . 12 12
（2）：当 p 0时，不等式恒成立，
当 p 0时，令 t sinx cosx 2sin x
1, 2 ，则 2sinxcosx t 2 1，
4
7 / 8
2
p sin2x t
2 1 2 t 1 2 t 1 4
故有 2 1 sinx 1 cosx t21 1 t (t 1)
2 t 1 t 1，
2
即 p 2 4 恒成立， t 1, 2 .t 1
令 g t 2 4 ，则 g t 在 1, 2 上单调递减，故 g t 的最小值为 g 2 6 4 2 ，t 1
故 p 6 4 2，即 0 p 6 4 2 .
p ,6 4 2
综上， .
8 / 8高一 4月份阶段性检测数学试题 2023.04
一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．sin 480°等于( )
A 1 1 3 3．－ B． C．－ D．
2 2 2 2
2．若 a＝(3，4)，b＝(5，12)，则 a 与 b 的夹角的余弦值为( )
A 63． B 33 C 33 D 63． ．－ ．－
65 65 65 65
3．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝ 7，则 a 与 b 的夹角θ的余弦值为( )
A 1 B 1 C 1 1．－ ． ． D．－
2 2 3 3
4．设向量 a＝(cosα 1 2， ) 的模为 ，则 cos 2α等于( )
2 2
A 1 B 1 C 1 D 3．－ ．－ ． ．
4 2 2 2
5．化简式子 2－sin22＋cos4的值是( )
A．sin 2 B．－cos 2 C． 3cos 2 D．－ 3cos 2
6．函数 f(x)＝tan (x π－ )的单调递增区间是( )
2 6
A．[2kπ 2π－ ，2kπ 4π＋ ]，k∈Z B．(2kπ 2π－ ，2k 4ππ＋ )，k∈Z
3 3 3 3
C．[4kπ 2π 4π 2π 4π－ ，4kπ＋ ]，k∈Z D．(4kπ－ ，4kπ＋ )，k∈Z
3 3 3 3
7.如图，某港口某天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足
函数 y＝4sin (πx＋φ)＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：
6
m)的最大值为( )
A．10 B．8
C．6 D．5
8. → → → →如图，向量OA＝a，OB＝b，且BC⊥OA，C为垂足，设向量
O→C＝λa(λ>0)，则λ的值为( )
A a·b B a·b C a·b |a||b|． ． ． D．
|a|2 |a||b| |b| a·b
二、选择题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．)
9 π．下列函数中，周期不为 的是( )
2
A．y＝cos 4x B．y＝sin 2x
C．y＝cos x D x．y＝sin
4 2
1 / 4
10．已知函数 f(x)＝2sin x cos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有( )
A．函数 f(x)的最小正周期是π
B π 5π．函数 f(x)在区间[ ， ]上是减函数
8 8
C π．函数 f(x)的图象关于点(－ ，0)对称
8
D π．函数 f(x)的图象可由函数 y＝ 2sin2x的图象向右平移 个单位，再向下平移 1个单
8
位得到
11．若函数 f(x)＝cos ωx(ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值 1，也没有最小值－1，
则下列ω的取值中，可能的有( )
A 1 1 3． B． C． D．1
3 2 4
12 π．已知向量 a 与向量 b 满足如下条件，其中 a 与 b 的夹角是 的有( )
3
A．|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2 B．|a|＝|b| 3＝1，a2＋a·b＝
2
C．a＝( 3，－1)，b＝(2 3，2) D．a＝(2，2 3)，b＝(－3，0)
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．将答案填在题中横线上．)
13．将函数 y＝sin (3x ) π的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标扩大
4 8
到原来的 3倍(纵坐标不变)，则所得的函数的解析式是________．
14．若扇形的周长是 16 cm，圆心角是 2 rad，则扇形的面积是________cm2.
15．设α为锐角，若 cos (α π 4＋ )＝ ，则 sin (2α π＋ )的值为________.
6 5 12
16 1．关于函数 f(x)＝sin x＋ 有如下四个命题：
sin x
①f(x)的图象关于 y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
π
③f(x)的图象关于直线 x＝ 对称．
2
④f(x)的最小值为 2.
其中所有真命题的序号是________．
2 / 4
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．)
17．(10分) 在平面直角坐标系中，以 x轴的非负半轴为角的始边，如果角 的终边与单
3 4
位圆交于点 P , 5 5
，角 的终边所在射线经过点Q m,m (m 0) .
（1）求 sin tan 的值；
sin sin 2 3
（2）求 2 2 .
sin sin 2 2sin cos
18.已知向量 a 1,1 ,b 3, 1 .
（1）若有 a 2b a b ( a ，求 b)2值；
（2）若 c 2,m ，向量a 2b 与 c的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
19.如图：四边形 ABCD是边长为 4 的菱形， ABC ,E为 AO的中点，
3
CF CD 0 1 .
（1）求 BE ； B D
（2）求当 EF 取最小值时， 的值.
20.已知m cosx,5sinx ,n sinx 6 3cosx, cosx , f x m n 3 3 .
（1）将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度，得到 g x 的图象，求 g x 的解析式
3
及最小正周期；
（2）当 x ,
时，求函数 g x 的单调递增区间 最值及 g x 取得最值时 x的值. 2 2
3 / 4
21.已知函数 f x Acos x A 0, 0,
的部分图象如图所示.
2
（1）求 f x 的解析式；
5
（2）设 , 为锐角， cos ,sin 22 5 ，求 f 的值.
5 65 2
22. f x sin 2已知函数 2x 2 3cos x 3 ，
3
（1）求函数 f x 的单调区间
（2）将函数 f x 的图象先向左平移 个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的 2
6
倍，得到 h x 的图象.若对任意的 x 0, ，不等式
2
p h x
1 h
x 1
2
h 2x 成立，求实数 p的取值范围.
4 / 4
