弧长和扇形的面积[上学期]
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文档简介
第23.3章 圆中的计算问题
第１课时 弧长和扇形的面积
教学目标
1.知识与技能
(1)理解弧长公式；
(2)在圆面积公式基础上，推导扇形面积公式。
2.过程与方法
从实际问题出发，按照从特殊到一般的过程，探索出弧长和扇形面积公式，再加以运用，巩固提高。
3.情感、态度与价值观
经历探索弧长和扇形面积公式的过程，让学生体验成功的喜悦，养成良好的学习习惯。
教学重点难点
1.重点 弧长、扇形面积公式；
2.难点 正确理解弧长公式。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
１．已知⊙O的半径为2，⊙O的周长C等于多少？
2．已知⊙O的半径为４cm，半圆长等于多少？圆长等于多少？所对的圆心角分别等于多少度？
（二）合作交流，解读探究
1.如图所示，是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90０。你能求出这段铁轨的长度吗？
安排学生讨论分析，最后请一名同学分析说明。
容易分析出这段铁轨是圆周长的，所以，铁轨的长度（米）
2.如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？
学生独立完成以下问题：
图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
⑴圆心角是180０，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑵圆心角是90０，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑶圆心角是45０，占整个周角 的，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑷圆心角是10，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑸圆心角是n0，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，则圆周长为 ，你能试着写出弧长公式吗？
⑹已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60０，此圆弧的长度为 。
3.如图所示，阴影部分上什么图形？对这一图形你有什么认识？鼓励学生大胆发言。
当有学生说到可以求扇形面积时，问学生：扇形面积大小和什么有关？怎么计算扇形面积呢？
4.分组探索：请你用推导弧长公式相类似的方法，推导扇形面积公式。
每组派一名代表说明是怎样推导扇形面积公式的。
5.可能大多数同学会推出这一公式，让学生思考：你能将扇形面积公式与弧长公式相联系吗？推导出。
6.例题：圆心角为60０的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长。
此题可让学生独立思考完成。应注意的是，扇形周长应为两条半径与弧长之和。
（三）应用迁移，巩固提高
例1 钟面上的分针的长是5厘米，经过20分钟时间，分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？
例2 火车机车上的主动轮直径为1.2米，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？
【备选例题】正方形的边长为a，以各边长为直径，在正方形内画半圆，求围成的图形的面积为 。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】这节课在圆周长公式、面积公式的基础上，学习了弧长、扇形面积公式。
【拓展】假设在地球赤道上缠一道大箍，大箍为半径为R的圆；同样在一个足球上缠一道小箍，小箍为半径为r的圆。现给大箍与小箍都加长1米，那么大箍同地面与小箍同足球面都有了空隙。如果空隙到处都是均匀的，试问哪个空隙较大？并说明你的理由。
【点拨】抓住一元二次方程的二次项系数不为0去解。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.若圆的半径为４cm，那么60０的圆心角所对的弧长为 。
2.已知⊙O的半径为6，n０的圆心角所对的弧长为2，则圆心角的度数n0＝ 。
3.半径为6cm，圆心角为45０的扇形面积等于 。
4.半径为2cm的扇形面积为2.5cm2，则此扇形的弧长为 。
5.已知扇形的圆心角为120０，弧长为8cm，则这个扇形面积为 。
6.如图所示，OD⊥AB，O为圆心，CD＝＝2cm，则弧AB的长为 。
提升能力
７.用配方法解下列方程：
（1）；（2）
【答案】（１），；（２），
开放探究
8.若关于x的方程不是一元二次方程，一元二次方程只有两个相等的实数根，解关于x的一元二次方程：
【点拨】根据和只有两个相等的实数解求出a和b的值，再将a、b代入所给方程求出x的值。
【答案】。
第１课时 弧长和扇形的面积
教学目标
1.知识与技能
(1)理解弧长公式；
(2)在圆面积公式基础上，推导扇形面积公式。
2.过程与方法
从实际问题出发，按照从特殊到一般的过程，探索出弧长和扇形面积公式，再加以运用，巩固提高。
3.情感、态度与价值观
经历探索弧长和扇形面积公式的过程，让学生体验成功的喜悦，养成良好的学习习惯。
教学重点难点
1.重点 弧长、扇形面积公式；
2.难点 正确理解弧长公式。
教与学互动设计
（一）创设情景，导入新课
１．已知⊙O的半径为2，⊙O的周长C等于多少？
2．已知⊙O的半径为４cm，半圆长等于多少？圆长等于多少？所对的圆心角分别等于多少度？
（二）合作交流，解读探究
1.如图所示，是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90０。你能求出这段铁轨的长度吗？
安排学生讨论分析，最后请一名同学分析说明。
容易分析出这段铁轨是圆周长的，所以，铁轨的长度（米）
2.如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？
学生独立完成以下问题：
图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
⑴圆心角是180０，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑵圆心角是90０，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑶圆心角是45０，占整个周角 的，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑷圆心角是10，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
⑸圆心角是n0，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，则圆周长为 ，你能试着写出弧长公式吗？
⑹已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60０，此圆弧的长度为 。
3.如图所示，阴影部分上什么图形？对这一图形你有什么认识？鼓励学生大胆发言。
当有学生说到可以求扇形面积时，问学生：扇形面积大小和什么有关？怎么计算扇形面积呢？
4.分组探索：请你用推导弧长公式相类似的方法，推导扇形面积公式。
每组派一名代表说明是怎样推导扇形面积公式的。
5.可能大多数同学会推出这一公式，让学生思考：你能将扇形面积公式与弧长公式相联系吗？推导出。
6.例题：圆心角为60０的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长。
此题可让学生独立思考完成。应注意的是，扇形周长应为两条半径与弧长之和。
（三）应用迁移，巩固提高
例1 钟面上的分针的长是5厘米，经过20分钟时间，分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？
例2 火车机车上的主动轮直径为1.2米，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？
【备选例题】正方形的边长为a，以各边长为直径，在正方形内画半圆，求围成的图形的面积为 。
（四）总结反思，拓展升华
【小结】这节课在圆周长公式、面积公式的基础上，学习了弧长、扇形面积公式。
【拓展】假设在地球赤道上缠一道大箍，大箍为半径为R的圆；同样在一个足球上缠一道小箍，小箍为半径为r的圆。现给大箍与小箍都加长1米，那么大箍同地面与小箍同足球面都有了空隙。如果空隙到处都是均匀的，试问哪个空隙较大？并说明你的理由。
【点拨】抓住一元二次方程的二次项系数不为0去解。
课堂跟踪反馈
夯实基础
1.若圆的半径为４cm，那么60０的圆心角所对的弧长为 。
2.已知⊙O的半径为6，n０的圆心角所对的弧长为2，则圆心角的度数n0＝ 。
3.半径为6cm，圆心角为45０的扇形面积等于 。
4.半径为2cm的扇形面积为2.5cm2，则此扇形的弧长为 。
5.已知扇形的圆心角为120０，弧长为8cm，则这个扇形面积为 。
6.如图所示，OD⊥AB，O为圆心，CD＝＝2cm，则弧AB的长为 。
提升能力
７.用配方法解下列方程：
（1）；（2）
【答案】（１），；（２），
开放探究
8.若关于x的方程不是一元二次方程，一元二次方程只有两个相等的实数根，解关于x的一元二次方程：
【点拨】根据和只有两个相等的实数解求出a和b的值，再将a、b代入所给方程求出x的值。
【答案】。