反证法[下学期]
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文档简介
反正法教案
教学目标
(1)深化学生对“反证法”的掌握，进一步明确反证法证明命题的思路和步骤．
(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题．
教学重点和难点
重点：对反证法证题的几个步骤的理解和掌握．
难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．
教学过程设计
(一)复习提问：
想想大家在初中学过、用过的“反证法”是一种怎样的推理方法？它的主要步骤是什么？
(二)引入新课，教师总结提问．
同学们在初中学过、用过“反证法”．“反证法”是一种间接证法，对一些从正面进行推理困难的命题，我们经常用“反证法”去进行证明．
用“反证法”证明命题的步骤是：
(1)假设命题的结论不成立，我们假设命题的反面成立；
(2)从假设命题的反面成立出发，应用已知条件及公理、定理、法则进行推理，产生矛盾．(与已知条件矛盾，与已知的公理、定理矛盾，推理过程中自相矛盾)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而推断命题的结论正确．
下面通过例题及练习带动同学们进一步掌握“反证法”
这样我们得到 a＜b，与已知条件矛盾．
例2 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．
[讲评]
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径．
求证：弦AB、CD不被P平分．
(分析：连接OP，如果AB、CD被P点平分，即P为弦AB和弦CD的中点，这样推出AB、CD都与OP垂直，出现矛盾)
证明：假设弦AB、CD被P点平分，连结OP后，由于P点一定不是圆心O，根据垂径定理．
OP⊥AB，OP⊥CD，
这样过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾．
故弦AB、CD不被P点平分．
(分析：有理数集与无理数集的并集是实数集．而有理数与无理数的根本区别在
这里m，n是互质的正整数．
∴2必为m的因数．
因而2是m，n的公因数，这与m、n是互质的正整数的假设相矛盾．∴假设
(三)课堂练习
∴x=3或x=2，这与已知条件x≠3，且x≠2矛盾．
2．课本练习2
用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，那∠B一定是锐角．
(分析：结论∠B一定是锐角的反面是∠B是直角，或∠B是钝角，从这两个假设出发推出矛盾)
证明：在△ABC中，假设∠B一定不是锐解，即∠B是直角或钝角．
假设∠B一定不是锐角不成立．
故∠B一定是锐角．
(四)小结 小结“反证法”的三个步骤
并向学生介绍，一般用反证法证明的题型有：
(1)命题的结论以原定形式出现时．
(2)命题的结论以“至多”“至少”的形式出现时．
(3)命题的结论以“无限”的形式出现时．
(4)命题的结论以“唯一”“共点”“共线”“共面”的形式出现时．
(5)命题不易直接证明的．
(五)作业，习题1.7 5.6
复习参考题－1(A组) 10.11．
教学目标
(1)深化学生对“反证法”的掌握，进一步明确反证法证明命题的思路和步骤．
(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题．
教学重点和难点
重点：对反证法证题的几个步骤的理解和掌握．
难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．
教学过程设计
(一)复习提问：
想想大家在初中学过、用过的“反证法”是一种怎样的推理方法？它的主要步骤是什么？
(二)引入新课，教师总结提问．
同学们在初中学过、用过“反证法”．“反证法”是一种间接证法，对一些从正面进行推理困难的命题，我们经常用“反证法”去进行证明．
用“反证法”证明命题的步骤是：
(1)假设命题的结论不成立，我们假设命题的反面成立；
(2)从假设命题的反面成立出发，应用已知条件及公理、定理、法则进行推理，产生矛盾．(与已知条件矛盾，与已知的公理、定理矛盾，推理过程中自相矛盾)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而推断命题的结论正确．
下面通过例题及练习带动同学们进一步掌握“反证法”
这样我们得到 a＜b，与已知条件矛盾．
例2 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．
[讲评]
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径．
求证：弦AB、CD不被P平分．
(分析：连接OP，如果AB、CD被P点平分，即P为弦AB和弦CD的中点，这样推出AB、CD都与OP垂直，出现矛盾)
证明：假设弦AB、CD被P点平分，连结OP后，由于P点一定不是圆心O，根据垂径定理．
OP⊥AB，OP⊥CD，
这样过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾．
故弦AB、CD不被P点平分．
(分析：有理数集与无理数集的并集是实数集．而有理数与无理数的根本区别在
这里m，n是互质的正整数．
∴2必为m的因数．
因而2是m，n的公因数，这与m、n是互质的正整数的假设相矛盾．∴假设
(三)课堂练习
∴x=3或x=2，这与已知条件x≠3，且x≠2矛盾．
2．课本练习2
用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，那∠B一定是锐角．
(分析：结论∠B一定是锐角的反面是∠B是直角，或∠B是钝角，从这两个假设出发推出矛盾)
证明：在△ABC中，假设∠B一定不是锐解，即∠B是直角或钝角．
假设∠B一定不是锐角不成立．
故∠B一定是锐角．
(四)小结 小结“反证法”的三个步骤
并向学生介绍，一般用反证法证明的题型有：
(1)命题的结论以原定形式出现时．
(2)命题的结论以“至多”“至少”的形式出现时．
(3)命题的结论以“无限”的形式出现时．
(4)命题的结论以“唯一”“共点”“共线”“共面”的形式出现时．
(5)命题不易直接证明的．
(五)作业，习题1.7 5.6
复习参考题－1(A组) 10.11．