甘肃省临夏州临夏县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

临夏县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题(共40分)
1．已知某生产厂家的年利润y与年投入广告费x满足的函数关系式为，则当x由1增长到3时，y的平均变化率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ）
A．30° B．135° C．45° D．120°
3．函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数有3个极值点
B．函数在区间上是增加的
C．函数在区间上是增加的
D．当时，函数取得极大值
4．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知没有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．空间两点A，B的坐标分别为，则A，B两点的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于平面对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称
7．已知在平行六面体中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共20分)
9．下列求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调增区间为
D．曲线在点处的切线方程为
11．如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是
A． B．
C． D．
三、填空题(共20分)
13．设函数，若，则________．
14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________．
15．年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为______．
16．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为___________.
四、解答题(共70分)
17．(10分)在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．
(1)求与的坐标； (2)求向量在平面上的投影向量的坐标
18．（12分）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的最值.
19．（12分）已知函数．
（1）若函数在和处取得极值，求，的值；
（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．
20．（12分）已知函数.点是函数图象上一点.
(1)求过点作函数图像的切线方程；
(2)求函数的单调递减区间.
21．（12分）某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.
（1）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；
（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；
（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.
22．（12分）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若在上恒成立，求a的取值范围．
高二数学期中考试答案
一、选择题
1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D
9．AD 10．AD 11．AB 12．BCD
二、填空题
13．1 14．
15． 16．
三、解答题
17．(1)；；
(2).
【详解】（1）在长方体中，已知，
依题意，，
所以，.
（2）在长方体中，平面，连接AC，因此线段是线段在平面上射影，如图，
即向量在平面上的投影向量为，而，，
所以向量在平面上的投影向量的坐标为.
18．(1)的单调递增区间为，；
(2).
【详解】（1）因为．
所以，
由，可得或，
，的变化情况如下：
2
+ 0 0 +
递增 递减 递增
所以函数的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以为极大值点，为极小值点，又，，，，
所以在上的值域为.
19．（1）；（2）．
【详解】（1）由题可得，，
∵函数在和处取得极值，
∴，2是方程的两根，
∴，∴；
（2）由（1）知，，
当变化时，，随的变化如下表：
2 3
0 0
增 减 增
∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，
∴，∴的取值范围为．
20．(1) (2)
【详解】（1）解：因为，所以，，
所以，即切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
（2）解：定义域为，且，
令，解得，
所以的单调递减区间为.
21．（1）；（2），（）.
（3）销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.
（1）
，（）.
（2）由（1）可得，
令，解得或，
令，解得或，
令，解得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
所以当，（元）
故销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.
22．(1)分类讨论，答案见解析.
(2)
【详解】（1）已知，则函数的定义域为，且，
当时，，在单调递增；
当，且时，，此时在上是增函数；
时，，此时在上是减函数．
综上所述，当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
，则，
a的取值范围为.