2022-2023年华师大版数学八年级下册 分式 单元测试卷
一、单选题
1．（2023八下·宜宾月考）式子中，分式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解： ， 的分母中含有字母，是分式，共有2个.
故答案为：A.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．（2023八下·宜宾月考）当x＝4时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、当x＝4时，分式有意义，故此选项不符合题意；
B、当x＝4时，分母4-x＝0，分式无意义，故此选项符合题意；
C、当x＝4时，分母2x-4＝4，分式无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝4时，分母x+4＝8，分式有意义，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分式没有意义，即分母为0，据此判断.
3．（2023八下·威远月考）若分式的值为0，则的值为（ ）
A．3 B．3 C．3或3 D．0或3
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则 ，即 ，
由平方根解方程得： ，
分式的分母不能为0，
，
解得 或 ，
∴ 的值为3，
故答案为：A.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
4．（2023八下·宜宾月考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. ，故此选项不合题意；
B. ， 故此选项不合题意；
C. ， 故此选项不合题意；
D. ， 是最简分式， 故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分，如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，据此判断.
5．（2023八下·威远月考）若分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小9倍 D．缩小3倍
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
分式的值缩小3倍，
故答案为：D.
【分析】将分式中的x、y分别用3x、3y代入，再化简即可判断.
6．（2022·港北模拟）将数化为小数是（ ）
A．0.000025 B．0.0000025 C．0.00025 D．0.00000025
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】将2.5的小数点向左移动6位可得结果.
7．（2023·盐田模拟）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．-1 D．1
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x＝3代入关于x的分式方程＝3得：，
解得：m＝-3，
故答案为：B．
【分析】把x＝3代入方程中即可求出m值.
8．（2022八下·射洪月考）下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即.
故答案为：C.
【分析】将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，据此判断.
9．（2023八下·威远月考）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．-7
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母，得 ，
∵关于x的方程 有增根 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】求出增根 ，再将分式方程化为整式方程，然后将增根代入整式方程即可求出m值.
10．（2023·苏州模拟）上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达.已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可列出方程为；
故答案为：D.
【分析】由题意可得：乘坐高铁列车所用的时间为，乘坐普通列车所用的时间为，然后根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达就可列出方程.
二、填空题
11．（2022八下·射洪月考）＝ .
【答案】4
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式＝2＋2
＝4.
故答案为：4.
【分析】根据一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数得“”，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后根据整数的加法法则算出答案.
12．（2020八下·哈尔滨月考）将230700000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：230700000= ，
故答案为： .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
13．（2020八下·禅城期末）计算： ．
【答案】-1-x
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：-1-x．
【分析】利用分式的减法求解，再约分即可。
14．（2021八下·重庆月考）已知x﹣ ＝1，则 的值为 .
【答案】2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x﹣ ＝1
∴x2﹣1＝x，
∴x2＝x+1，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2.
【分析】由等式的性质可将已知方程变形为x2＝x+1，然后整体代入分式，降次约分即可.
15．（2023八下·威远月考）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
【答案】m＜4且m≠3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
合并同类项得： ，
解得： ，
，
，
，即 ，
，
，
的取值范围： 且 .
故答案为：m＜4且m≠3
【分析】解分式方程得，根据分式方程的解为负数，可得x＜0且x≠-1，据此解答即可.
三、计算题
16．（2023八下·宜宾月考）
（1）计算：（）-1-（π-3）0-|-3|+（-1）2020；
（2）化简：.
【答案】（1）解：原式＝4-1-3+1
＝1；
（2）解：原式＝
＝
＝4.
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及有理数的乘方法则可得原式=4-1-3+1，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号外分式的分子、分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可.
17．（2023八下·宜宾月考）
（1）解方程：；
（2）解方程：.
【答案】（1）解：方程两边都乘x（x-3），得3x＝4（x-3），
解这个方程得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
∴x＝12；
（2）解：方程两边都乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-3＝（x-1）（x+2），
解这个方程得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边都乘x(x-3)，得3x＝4(x-3)，求出x的值，然后进行检验即可；
（2）方程两边都乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-3＝(x-1)(x+2)，求出x的值，然后进行检验即可.
18．（2023八下·鄱阳月考）先化简，再求值：，其中a=
【答案】解：
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将a值代入计算即可.
四、解答题
19．（2022八下·隆昌月考）若分式方程＝的解是正数，求m的取值范围.
【答案】解：去分母得2（x-1）+3（x+1）＝m，
解得x＝，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x≠1，
即＞0且≠1，
∴m＞1且m≠6.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式方程表示出x，由分式方程的解为正数可得x>0且x≠1，联立求解可得m的范围.
20．（2023八下·威远月考）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
【答案】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价为 元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合实际意义，
（元），
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元.
（2）解：设购进A种商品a件，则购进B种商品为 件，
由题意可得，
，
解得： ，
∵a取整数，
∴a可为14、15、16、17、18，
答：该商店有5种进货方案，方案如下：购进A商品14件，购进B商品26件；购进A商品15件，购进B商品25件；购进A商品16件，购进B商品24件；购进A商品17件，购进B商品23件；购进A商品18件，购进B商品22件.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价为 ，根据“ 用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同 ”列出方程，解之并检验即可；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品为 件，根据“ 总资金不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半 ”列出不等式组，并求出其正整数解即可.
21．（2020八上·迁安期末）老师在黑板上写出了一个分式的计算题，随后用手捂住了一部分，如下图所示：
（1）求所捂部分表示的代数式；
（2）所捂部分代数式的值能等于-1吗？为什么？
【答案】（1）解：原式=
=
=
= ，
∴所捂部分的代数式是 ．
（2）解：由题意得： =－1
经检验 是原分式方程的解．
当 时，分式 没有意义，所以原代数式的值不能等于-1．
【知识点】分式的混合运算；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式运算的逆运算，表达出所捂部分，再化简即可；（2）令 =－1，解分式方程即可，再检验所得的x的值是否使原代数式有意义．
22．（2023八下·宜宾月考）为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校.
（1）求王老师骑自行车的平均速度；
（2）王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时？
【答案】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时，
依题意得：
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
答：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，
（2）解：王老师达到每天锻炼1小时的标准，理由如下：
由（1）可知，王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，
则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为 （小时），
∴王老师骑自行车上下班共需要的时间为 + ＝ （小时），
∵ ＞1，
∴王老师达到每天锻炼1小时的标准.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时，由题意可得骑自行车所用的时间为，开车所用的时间为，然后根据王老师每天上班要比开车早出发小时建立方程，求解即可；
（2）由（1）可知：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为小时，然后求出上下班共所需的时间，再与1进行比较即可判断.
23．（2023八下·宜宾月考）阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x+＝2+的解是x1＝2，；
x-＝3+的解是x1＝3，x2＝；
x的解是x1＝4，x2＝；
（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x的解是 .
（2）试用“求出关于x的方程x的解”的方法证明你的猜想；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程.
【答案】（1）x1＝a， ；
（2）解：∵x+ ＝a+ （a≠0），
∴ ，
∴ax2+a＝（a2+1）x，
∴ax2-（a2+1）x+a＝0，
∴（ax-1）（x-a）＝0，
∴ax-1＝0或x-a＝0，
解得x1＝a， ；
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴x-1＝a-1或x-1＝ ，
解得x1＝a， .
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：关于x的方程x+ ＝a+ （a≠0）的解是x1＝a，
故答案是：x1＝a， ；
【分析】（1）观察各个方程可得方程的解分别为等号右边的两个数，据此解答；
（2）对原方程进行通分，然后化简可得(ax-1)(x-a)＝0，据此不难得到方程的解；
（3）对原方程进行变形可得 ，则x-1＝a-1或x-1＝ ，求解即可.
1 / 12022-2023年华师大版数学八年级下册 分式 单元测试卷
一、单选题
1．（2023八下·宜宾月考）式子中，分式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023八下·宜宾月考）当x＝4时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·威远月考）若分式的值为0，则的值为（ ）
A．3 B．3 C．3或3 D．0或3
4．（2023八下·宜宾月考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·威远月考）若分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小9倍 D．缩小3倍
6．（2022·港北模拟）将数化为小数是（ ）
A．0.000025 B．0.0000025 C．0.00025 D．0.00000025
7．（2023·盐田模拟）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．-1 D．1
8．（2022八下·射洪月考）下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．（2023八下·威远月考）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．-7
10．（2023·苏州模拟）上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达.已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022八下·射洪月考）＝ .
12．（2020八下·哈尔滨月考）将230700000用科学记数法表示为 ．
13．（2020八下·禅城期末）计算： ．
14．（2021八下·重庆月考）已知x﹣ ＝1，则 的值为 .
15．（2023八下·威远月考）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
三、计算题
16．（2023八下·宜宾月考）
（1）计算：（）-1-（π-3）0-|-3|+（-1）2020；
（2）化简：.
17．（2023八下·宜宾月考）
（1）解方程：；
（2）解方程：.
18．（2023八下·鄱阳月考）先化简，再求值：，其中a=
四、解答题
19．（2022八下·隆昌月考）若分式方程＝的解是正数，求m的取值范围.
20．（2023八下·威远月考）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
21．（2020八上·迁安期末）老师在黑板上写出了一个分式的计算题，随后用手捂住了一部分，如下图所示：
（1）求所捂部分表示的代数式；
（2）所捂部分代数式的值能等于-1吗？为什么？
22．（2023八下·宜宾月考）为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校.
（1）求王老师骑自行车的平均速度；
（2）王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时？
23．（2023八下·宜宾月考）阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x+＝2+的解是x1＝2，；
x-＝3+的解是x1＝3，x2＝；
x的解是x1＝4，x2＝；
（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x的解是 .
（2）试用“求出关于x的方程x的解”的方法证明你的猜想；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解： ， 的分母中含有字母，是分式，共有2个.
故答案为：A.
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
2．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、当x＝4时，分式有意义，故此选项不符合题意；
B、当x＝4时，分母4-x＝0，分式无意义，故此选项符合题意；
C、当x＝4时，分母2x-4＝4，分式无意义，故此选项不符合题意；
D、当x＝4时，分母x+4＝8，分式有意义，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分式没有意义，即分母为0，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得 ，
则 ，即 ，
由平方根解方程得： ，
分式的分母不能为0，
，
解得 或 ，
∴ 的值为3，
故答案为：A.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. ，故此选项不合题意；
B. ， 故此选项不合题意；
C. ， 故此选项不合题意；
D. ， 是最简分式， 故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分，如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，据此判断.
5．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
分式的值缩小3倍，
故答案为：D.
【分析】将分式中的x、y分别用3x、3y代入，再化简即可判断.
6．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】将2.5的小数点向左移动6位可得结果.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x＝3代入关于x的分式方程＝3得：，
解得：m＝-3，
故答案为：B．
【分析】把x＝3代入方程中即可求出m值.
8．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即.
故答案为：C.
【分析】将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，据此判断.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母，得 ，
∵关于x的方程 有增根 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】求出增根 ，再将分式方程化为整式方程，然后将增根代入整式方程即可求出m值.
10．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可列出方程为；
故答案为：D.
【分析】由题意可得：乘坐高铁列车所用的时间为，乘坐普通列车所用的时间为，然后根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达就可列出方程.
11．【答案】4
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式＝2＋2
＝4.
故答案为：4.
【分析】根据一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数得“”，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后根据整数的加法法则算出答案.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：230700000= ，
故答案为： .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
13．【答案】-1-x
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：-1-x．
【分析】利用分式的减法求解，再约分即可。
14．【答案】2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x﹣ ＝1
∴x2﹣1＝x，
∴x2＝x+1，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2.
【分析】由等式的性质可将已知方程变形为x2＝x+1，然后整体代入分式，降次约分即可.
15．【答案】m＜4且m≠3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
合并同类项得： ，
解得： ，
，
，
，即 ，
，
，
的取值范围： 且 .
故答案为：m＜4且m≠3
【分析】解分式方程得，根据分式方程的解为负数，可得x＜0且x≠-1，据此解答即可.
16．【答案】（1）解：原式＝4-1-3+1
＝1；
（2）解：原式＝
＝
＝4.
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及有理数的乘方法则可得原式=4-1-3+1，然后根据有理数的加减法法则进行计算；
（2）对括号外分式的分子、分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可.
17．【答案】（1）解：方程两边都乘x（x-3），得3x＝4（x-3），
解这个方程得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
∴x＝12；
（2）解：方程两边都乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-3＝（x-1）（x+2），
解这个方程得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边都乘x(x-3)，得3x＝4(x-3)，求出x的值，然后进行检验即可；
（2）方程两边都乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-3＝(x-1)(x+2)，求出x的值，然后进行检验即可.
18．【答案】解：
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将a值代入计算即可.
19．【答案】解：去分母得2（x-1）+3（x+1）＝m，
解得x＝，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x≠1，
即＞0且≠1，
∴m＞1且m≠6.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式方程表示出x，由分式方程的解为正数可得x>0且x≠1，联立求解可得m的范围.
20．【答案】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价为 元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解且符合实际意义，
（元），
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元.
（2）解：设购进A种商品a件，则购进B种商品为 件，
由题意可得，
，
解得： ，
∵a取整数，
∴a可为14、15、16、17、18，
答：该商店有5种进货方案，方案如下：购进A商品14件，购进B商品26件；购进A商品15件，购进B商品25件；购进A商品16件，购进B商品24件；购进A商品17件，购进B商品23件；购进A商品18件，购进B商品22件.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价为 ，根据“ 用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同 ”列出方程，解之并检验即可；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品为 件，根据“ 总资金不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半 ”列出不等式组，并求出其正整数解即可.
21．【答案】（1）解：原式=
=
=
= ，
∴所捂部分的代数式是 ．
（2）解：由题意得： =－1
经检验 是原分式方程的解．
当 时，分式 没有意义，所以原代数式的值不能等于-1．
【知识点】分式的混合运算；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据分式运算的逆运算，表达出所捂部分，再化简即可；（2）令 =－1，解分式方程即可，再检验所得的x的值是否使原代数式有意义．
22．【答案】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时，
依题意得：
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
答：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，
（2）解：王老师达到每天锻炼1小时的标准，理由如下：
由（1）可知，王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，
则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为 （小时），
∴王老师骑自行车上下班共需要的时间为 + ＝ （小时），
∵ ＞1，
∴王老师达到每天锻炼1小时的标准.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时，由题意可得骑自行车所用的时间为，开车所用的时间为，然后根据王老师每天上班要比开车早出发小时建立方程，求解即可；
（2）由（1）可知：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为小时，然后求出上下班共所需的时间，再与1进行比较即可判断.
23．【答案】（1）x1＝a， ；
（2）解：∵x+ ＝a+ （a≠0），
∴ ，
∴ax2+a＝（a2+1）x，
∴ax2-（a2+1）x+a＝0，
∴（ax-1）（x-a）＝0，
∴ax-1＝0或x-a＝0，
解得x1＝a， ；
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴x-1＝a-1或x-1＝ ，
解得x1＝a， .
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：关于x的方程x+ ＝a+ （a≠0）的解是x1＝a，
故答案是：x1＝a， ；
【分析】（1）观察各个方程可得方程的解分别为等号右边的两个数，据此解答；
（2）对原方程进行通分，然后化简可得(ax-1)(x-a)＝0，据此不难得到方程的解；
（3）对原方程进行变形可得 ，则x-1＝a-1或x-1＝ ，求解即可.
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