九年级第二学期圆综合题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 九年级第二学期圆综合题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 201.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-25 18:12:19 | ||
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文档简介
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圆综合题训练
一、解答题(共150分)
1．(本题30分)如图，点在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
2．(本题30分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
3．(本题30分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．
4．(本题30分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．
5．(本题30分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
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参考答案
1．（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）连接OB，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，分别求出的面积和扇形的面积，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接，交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．
2．（1）证明见解析（2） （3）
【分析】
（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题．
【详解】
（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3) =(2x) ＋3 ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△B0F∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
3．（1）证明见解析；（2）MC=.
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=，
即MC=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.
4．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC2=AD DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD DE，
期（2x）2﹣AD2=AD x，
整理得：AD2+AD x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．
5．（1）2（2）见解析
【解析】
解：（1）连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°．∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∵OC =2，∴BC=OC=2．
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP．
∴∠CBP=∠CPB．
∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°．∴∠CBP=30°．
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°．∴OB⊥BP．
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
（1）连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长．
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，从而证得PB是⊙O的切线．
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圆综合题训练
一、解答题(共150分)
1．(本题30分)如图，点在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
2．(本题30分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
3．(本题30分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．
4．(本题30分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．
5．(本题30分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
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参考答案
1．（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）连接OB，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，分别求出的面积和扇形的面积，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接，交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．
2．（1）证明见解析（2） （3）
【分析】
（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题．
【详解】
（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3) =(2x) ＋3 ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△B0F∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z
即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=
考点：圆的综合题．
3．（1）证明见解析；（2）MC=.
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=，
即MC=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.
4．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】
（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】
解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC2=AD DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD DE，
期（2x）2﹣AD2=AD x，
整理得：AD2+AD x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．
5．（1）2（2）见解析
【解析】
解：（1）连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°．∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∵OC =2，∴BC=OC=2．
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP．
∴∠CBP=∠CPB．
∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°．∴∠CBP=30°．
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°．∴OB⊥BP．
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
（1）连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长．
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，从而证得PB是⊙O的切线．
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