汕尾中学 2022-2023 学年度高二数学期中考试卷
参考答案：
1．B
【分析】根据所给条件，确定等量关系，然后二次函数求出最值即可.
【详解】设每件售价定为 (90 x)元，则销售件数增加了 x件．
2
∴每天所获利润为： y 30 x 30 x x 900 x 0 ，
故当 x 0时，每天所获利润最大．
故售价定为每件 90元时，可获最大利润.
故选：B.
2．C
3
【分析】由题得直线 AP的方程为 y (x a)，直线PF2 的方程为 y 3(x c)，联立
4
y 3 x a
4 ，解得 P点坐标 .再根据△PF1F2为等腰三角形， F1F2P 120
，可得
y 3 x c
| PF2 | | F2F1 | 2c. 利用两点之间的距离公式即可得出 C的离心率．
3
【详解】解：由题知 A a,0 ，所以直线 AP的方程为 y (x a)，
4
因为 F1F2P 120 ，所以直线PF2 的倾斜角为60 ，
所以直线 PF2 的方程为 y 3(x c)．
3
y x a 4 x a 4c 3 a c 联立 ，解得 ， y ．
y 3
3
x c 3
a 4c 3 a c
P , .
3 3
因为△PF1F2为等腰三角形， F1F2P 120 ，
2 2
所以 PF
3 a c
2 F2F1 2c
a 4c
，即 c 4c
2，整理得：a 2c．
3 3
c 1
所以椭圆 C的离心率为 e ．
a 2
答案第 1页，共 12页
故选：C
3．A
【分析】首先表示 z
1 3i
，再化简复数.
2i
1 3i 1 3i i 3 1
【详解】 z i,
2i 2 2 2
故选： A.
4．A
1
【分析】先求出 tanA，根据 tan A B 可求答案.
3
4 3
【详解】因为在 ABC中， cosA ，所以A 2为锐角，且 sinA 1 cos A= ，
5 5
sinA 3
所以 tanA = ；
cosA 4
tan A B 1 tanA tan B 1因为 ，所以 = ，
3 1 tanA tan B 3
9
即 3 tan B 1
3
tan B，解得 tan B
1
.
4 4 3
故选：A.
5．C
【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理 PA PF2 ，利用三角
形三边关系，可得答案.
x2 y2
【详解】由双曲线 1，则 a2 4,b2 5，即 c2 a2 b2 9，且 F1 3,0 ,F2 3, 0 ，
4 5
由题意， PF2 PF1 2a
PA PF2 PA 2a PF
2 2
1 AF1 2a 3 4 4 9，
当且仅当 A,P,F1共线时，等号成立.
故选：C.
6．B
【详解】试题分析：等比数列中
a5 a6 a3 a 24 q 60
3
90
2
考点：等比数列性质
7．B
答案第 2页，共 12页
PF PP1 PP1
【分析】根据抛物线的定义可得 sin PA PA ，又 PA ，可知当直线 PA与抛物线相切
PF
时，即点 P为切点时， PA 最小.设出 PA方程，联立直线与抛物线的方程，根据
Δ 0，可
求出 k的值，进而得出切点 P的坐标.然后根据双曲线的定义，即可得出答案.
【详解】
π
根据抛物线的对称性，不妨设点 P在第一象限， PAP1 ， 0, ，
2
如图，过点 P作 PP1 l，垂足为 P1 .
PF PP1
根据抛物线的定义，可得 PP1 PF ，所以 PA PA ，
PP
在RtV PP1A中，有 sin
1
PA ，
π
因为 y sin x在 0, 2 上单调递增，
PP1 PF
所以，当 最小时， sin PA 最小，即 PA 最小，
PF
当直线PA与抛物线相切时，即点 P为切点时， 最小， PA 最小.
由已知可得， p 4， F 0,2 ， A 0, 2 ，
则可设直线PA方程为 y kx 2， k 0，
y kx 2
联立直线与抛物线的方程 2y 1 x2
可得， x 8kx 16 0 .
8
2
由直线PA与抛物线相切，可知 8k 4 1 16 64 k 2 1 0，
解得， k 1（舍去负值），所以 k 1，
答案第 3页，共 12页
1
代入 x2 8kx 16 0可得， x 4 2，此时 y x 2，
8
所以切点 P 4,2 .
y2 x2
由已知可设双曲线方程为 a 0,b 0
a2 b2
1 ，
因为点P 4,2 在双曲线上，
根据双曲线的定义可知，
2a PA PF 0 4 2 2 2 2 0 4 2 2 2 2 4 2 4，
所以，双曲线 的实轴长等于 2a 4 2 4 .
故选：B.
8．D
【分析】根据三角函数图像的伸缩和平移变换,即可得解.
1
【详解】首先将C1 : y sin x 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍,纵坐标不变,可得 2
y sin 2x
2
;
2
再把得到的曲线向左平移 个单位长度,可得 y sin 2 x sin 2x ,即为C12 12
2 3 2
的图像
综上可知,D为正确选项
故选:D
【点睛】本题考查了三角函数图像的伸缩和平移变换,注意先伸缩再平移过程中的平移量,属
于中档题.
9．BC
【分析】通过举例判断 AB，根据含量词的命题的否定方法判断 CD.
1
【详解】当 x 0时， 2 1，A错误，x 1
1
当 x= 1时， x 1，B正确，
x
命题 p : n N,n2 2n，则 p : n N,n2 2n，C正确，
命题 p : n 4,2n n2 ，则 p : n 4,2n n2，D错误.
故选：BC.
答案第 4页，共 12页
10．ABD
【分析】根据独立 互斥事件概率计算方法计算即可.
【详解】解： 如果 B A，那么 P A B P A 0.4，P AB P B 0.2， A对；
如果A与 B互斥，那么 P A B P A P B 0.4 0.2 0.6，P AB P 0， B
对；
如果A与 B相互独立，那么 P AB P A P B 0.6 0.8 0.48， C错；
如果A与 B相互独立，那么 P AB P A P B 0.4 0.2 0.08，
P A B P A P B P AB 0.4 0.2 0.4 0.2 0.52 ， D对.
故选：ABD.
11．AB
【解析】结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得b a,c 2a且 a<0，逐项判定，
即可求解.
【详解】由题意，不等式 ax2 bx c 0的解集是(-1,2)，
b
1 2
可得 1,2是方程 ax2
a
bx c 0的两个根，所以 ，且 a<0，所以 A正确；
c 1 2
a
又由b a,c 2a，所以b 0,c 0，所以 B正确；
当 x= 1时，此时 a b c 0，所以 C不正确；
把b a,c 2a代入不等式 ax2 cx b 0，可得 ax2 2ax a 0，
因为 a<0，所以 x2 2x 1 0，即 (x 1)2 0 ，此时不等式的解集为 x | x 1 ，
所以 D不正确.
故选：AB.
12．BD
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】当a b时，如 a 2，b 2时 a2 b2成立，A错；
若 a b则一定有 a2 b2，所以 a2 b2时，一定有 a b，B正确；
2 3，但 22 ( 3)2，C错；
答案第 5页，共 12页
a b ，则 a2 b 2 b2 ，D正确．
故选：BD．
13． , 2 2 2 2,
【分析】先由题设条件求得 2 x 2，再将不等式转化为上半圆C上任意一点到直线 l的距
0 0 3
离小于或等于3，结合图像，可得 1，由此可得 k的取值范围.
k 2 1
【详解】由题意可得 4 x2 0，得 2 x 2，
kx 4 x 2 3
则原不等式可转化为 3在 x 2, 2 上恒成立，
k 2 1
设直线 l : kx y 3 0 2 2，上半圆C : x y 4 y 0 ，即 y 4 x 2 ，半径为 r 2，
kx 4 x 2 3
则由点线距离公式可知， 3表示上半圆C上任意一点到直线 l的距离小于或
k 2 1
等于3，且直线 l : kx y 3 0过定点 0, 3 ，如图，
设圆心（原点O）到直线 l的距离为d ，由于上半圆C上的点到直线 l的最大距离为
0 0 3
d r d 2，所以 d 2 3，即 d 1，即 1，解得 或
2 k 2 2 k 2 2，k 1
所以 k的取值范围为 , 2 2 2 2, .
故答案为： , 2 2 2 2, .
14． (0, 4)
【分析】二次不等式恒成立问题可以考虑判别式.
【详解】 x2 ax a 0的解集为R 则有 a2 4a 0，
解之：a 0,4 .
答案第 6页，共 12页
故答案为：a 0,4
15 5．
2
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可
【详解】解：直线 l1：2x＋y＋1＝0可化为 4x＋2y＋2＝0，
2 ( 3) 5
所以直线 l1与 l2间的距离为 ．
42 22 2
5
故答案为：
2
【点睛】此题考查两平行线间的距离公式，属于基础题.
16． ( , 0]
【解析】根据题意知 y f x 在 ,m 上的值域是 y f (x) 在 m, 上的值域的子
集，结合二次函数的性质可求出 N，结合一次函数的单调性可求出M ，进而可得到关于m
的不等式，进而可求出数m的取值范围.
【详解】解：，设 y f x 在 ,m 上的值域是M ，y f (x) 在 m, 上的值域是 N .
由 f (p) f (q)知，则M N .当 x m, 时， f (x) x2 4x对称轴为 x 2，
当m 2 时， N 4, 2；当m 2时， N m 4m, .
当 x ,m 时， y f x x m, ，则M m, .
m 2 m 2
所以 或 ，解得m 0 .
m
4 m m
2 4m
故答案为: , 0 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像和性质，考查了函数值域的求解，考查了数学的运算能
力.本题的关键是由题意得 y f x 在 ,m 上的值域是 y f (x) 在 m, 上的值域
的子集.
17．3
【分析】利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简求值.
tan 20 4sin 20 sin 20 4sin 20 cos 20
sin 20 2sin 40
【详解】因为
cos 20 cos 20
答案第 7页，共 12页
sin 30 10 sin 30 10 sin 40
cos 20
sin 30 cos10 cos30 sin10 sin 30 cos10 cos30 sin10 sin 40
cos 20
2sin 30 cos10 sin 40 cos10 sin 40 sin80 sin 40
cos 20 cos 20 cos 20
sin 60 20 sin 60 20
cos 20
sin 60 cos 20 cos60 sin 20 sin 60 cos 20 cos60 sin 20
cos 20
2sin 60 cos 20
3，cos 20
tan 20 4sin 20 3
3
所以 tan 30 3 .
3
π
18．(1) f (x) cos 2x
3
0, π π , π 1(2)在 上单调递增；在 上单调递减，最大值为1，最小值为 ． 6 6 2 2
1 2 f π 3 π【分析】（ ）由余弦型函数最小正周期求得 ，再由 ，求得 ，即可求
4 2 3
解；
2 f (x) cos （ ）由 2x
π
，结合余弦型函数的图象与性质，求得函数的单调区间和最值.
3
【详解】（1）解：由题意，函数 f (x) cos( x )的最小正周期为 π，
2π
可得最小正周期T π，解得 2，
f π π又由 cos 2
sin 3 ，
4 4 2
π
因为 0
π
，所以 ，
2 3
所以函数 f (x)的解析式为 f (x) cos 2x
π
．
3
π
（2）解：由（1）知， f (x) cos 2x ，
3
因为函数 y cos x在[2kπ, 2kπ π](k Z)上单调递减，在[2kπ π, 2kπ 2π](k Z)上单调递增，
答案第 8页，共 12页
2kπ 2x π 2kπ π,k Z π 2π令 ，解得 kπ x kπ ,k Z，
3 6 3
令 2kπ π
π
2x 2kπ 2π 7π 2π,k Z，解得 kπ x kπ ,k Z，
3 3 6
可得 f x π π π 在 0, 上单调递增；在 , 6 6 2 上单调递减，
f (0) 1 , f π 1, f π 1又因为
2
，
6 2 2
所以 f x 1的最大值为1，最小值为 ．
2
19．（1 2 17）证明见解析；（2） .
17
【分析】（1）利用圆的性质和圆台高的性质可以证明出 AM 平面O1O2N，再利用面面垂直
的判定定理证明出平面 AMC 平面O1O2N；
（2）求 AM M B可知：O1M AB，故分别O1M ，O1B，O1O2为 x，y，z轴建立空间直角
坐标系.利用空间向量根据已知可以求出圆台的高，最后利用空间向量夹角公式求出二面角
M AC B的余弦值.
【详解】（1）在 O1中，因为 N为 AM 中点，∴O1N AM .
在圆台O1O2中，因为O1O2 底面 O1
∴O1O2 AM ，O1O2 O1N O1，O1O2,O1N 平面O1O2N .
∴ AM 平面O1O2N .
又 AM 平面 AMC
∴平面 AMC 平面O1O2N
（2）当 AM M B时，O1M AB，故分别以O1M ，O1B，O1O2为 x，y，z轴建立空间直角
坐标系.
设O1O2 h，则 A 0, 2,0 ，M 2,0,0 ，C 0,1,h
故MC ( 2,1,h)， AC (0,3,h) .
O1所在平面的法向量为 n1 (0,0,1) .
记CM 与底面 O1，所成角为
答案第 9页，共 12页
sin | M C n 1 | | h | 2则 ，解得： h 2 .
|MC | | n1 | 5 h2 3
∴MC ( 2,1,2), AC (0,3,2)
设平面 AMC的法向量为 n2 (x, y, z)
n 2 M C 0
由 得： n2 (2, 2,3) n2 AC 0
平面 ABC的法向量为n3 (1,0,0)，记二面角M AC B的大小为 ，
cos | n 2 n 3 | 2 17则 .
| n2 | | n3 | 17
2 17
∴二面角M AC B的余弦值为 .
17
【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直的证明，考查了线面角、二面角的求法，考查了推
理论证能力和数学运算能力.
3
20．(1) m＞ ；(2)见解析
4
【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数 m的取值范围；
（2）讨论 0＜a＜1、a＝0和 a＜0，分别求出对应不等式的解集．
【详解】（1）不等式 m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化为（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，
由 m2+1＞0知，△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，
答案第 10页，共 12页
3
化简得﹣4m﹣3＜0，解得 m＞ ，
4
3
所以实数 m的取值范围是 m＞ ；
4
1 1
（2）0＜a＜1时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x ）＞0，且 ＞1，
a a
1
解得 x＜1或 x＞ ，
a
1
所以不等式的解集为{x|x＜1或 x＞ }；
a
a＝0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为﹣（x﹣1）＞0，
解得 x＜1，
所以不等式的解集为{x|x＜1}；
1 1
a＜0时，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化为（x﹣1）（x ）＜0，且 ＜1，
a a
1
解得 ＜ x＜1，
a
1
所以不等式的解集为{x| ＜x＜1}．
a
1
综上知，0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1或 x＞ }；
a
a＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
1
a＜0时，不等式的解集为{x| ＜ x＜1}．
a
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．
21．(1)[k ,k ](k Z )；(2)[ 1,2] .
6 3
【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数 f x 的表达式，借助正弦函数的性质列
不等式求解即得；
(2)由已知条件并结合(1)的结论求出 f x 相位的范围，再用正弦函数性质即可作答.
2
【详解】(1)依题意， f x 2 3 sin xcos x 2cos x 1 3 sin 2x cos2x 2sin(2x )，
6
由 2k
2x 2k ,k Z 得： k x k ,k Z，
2 6 2 6 3
所以函数 f x 的单调递增区间是[k ,k ](k Z )；
6 3
5
(2)由(1)及 x [0, ]得， 2x [ , ]，
2 6 6 6
答案第 11页，共 12页
2x 1 π π 当 ，即 x 0时，sin(2x )取最小值 ，当 2x ，即 x 时，sin(2x )
6 6 6 2 6 2 3 6
取最大值1，
1
于是得 sin(2x
) 1，从而有 1 f (x) 2，
2 6
所以函数 f x 的值域是[ 1,2] .
22．（1）见解析；（2）乙.
【分析】（1）依照给出的数据绘制茎叶图即可.
（2）根据公式计算甲乙的均数和标准差，根据标准差越大，波动越大进行比较即可
【详解】解：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字．
1
（2）解：（3） x甲 9.4 8.7 7.5 8.4 10.1 10.5 10.7 7.2 7.8 10.8 9.11,
10
s 1甲 9.4 9.11
2 8.7 9.11 2 10.8 9.11 2 1.3 ,10
x 1乙 9.1 8.7 7.1 9.8 9.7 8.5 10.1 9.2 10.1 9.1 9.14
10
s 1乙 9.1 9.14
2 8.7 9.14 2 9.1 9.14 2 0.9，10
因为 s甲 s乙，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，
所以乙运动员比较稳定.
答案第 12页，共 12页汕尾中学 2022-2023 学年度高二数学期中考试卷
第 I卷（选择题）
一、单选题(共 40 分)
1．(本题 5分)某商店进了一批服装，每件进价为 60元.每件售价为 90元时，每天售出
30件.在一定的范围内这批服装的售价每降低 1元，每天就多售出 1件.当售价是（ ）
元时，每天的利润最大.
A．60 B．90 C．80 D．70
2 2
2．( x y本题 5分)已知 F1， F2分别为椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点，A是椭圆a b
C 3 的左顶点，点 P在过 A且斜率为 的直线上，△PF1F2为等腰三角形， F1F2P 120 ，4
则椭圆 C的离心率为（ ）
1 1
A B C 1
2
． ． ． D．
4 3 2 3
3．(本题 5分)若复数 z满足 2z i 1 3i(i是虚数单位 ),则 z （ ）
3 1 3 1
A． i B． i
2 2 2 2
3 1 3 1
C． i D． i
2 2 2 2
cosA 4
1
4．(本题 5分)在 ABC中， ， tan A B ，则 tanB （ ）
5 3
1 9 9 5
A． B． C． D．
3 13 5 9
2 2
5 x y．(本题 5分)已知 A 0,4 ，双曲线 1的左、右焦点分别为F1， F2，点 P是双4 5
曲线左支上一点，则 PA | PF2 |的最小值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6．(本题 5分)在等比数列{an}中，如果 a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么 a5＋a6＝
A．80 B．90 C．95 D．100
1
7．( 2本题 5分)已知抛物线 E : y x 的焦点为 F，其准线 l与坐标轴交于点 A，点 P为 E
8
PF
上一点，当 PA 取最小值时，点 P恰好在以 A，F为焦点的双曲线 上，则双曲线 的
实轴长等于（ ）
A． 2 2 2 B． 4 2 4 C． 2 3 2 D． 4 3 4
2
8．(本题 5分)已知曲线C1 : y sin x ,C2 : y sin 2x 2 3
，则下面结论正确的是
（ ）
试卷第 1页，共 4页
A．把C
1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6
个单位长度，得到曲线C2
C B．把 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12
个单位长度，得到曲线C2
C 1．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6
个单位长度，得到曲线C2
D．把C 1 1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12
个单位长度，得到曲线C2
二、多选题(共 20 分）
9．(本题 5分)下列说法正确的有（ ）
x R, 1A． 2 1x 1
B． x
1
R, x 1
x
C．若 p : n N,n2 2n，则 p : n N,n2 2n
D．若 p : n 4,2n n2 ，则 p : n 4,2n n 2
10．(本题 5分)已知事件A，B，且 P A 0.4，P B 0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果 B A，那么 P A B 0.4，P AB 0.2
B．如果A与 B互斥，那么P A B 0.6， P AB 0
C．如果A与 B相互独立，那么P AB 0.92
D．如果A与 B相互独立，那么 P AB 0.08， P A B 0.52
11．(本题 5分)若不等式 ax2 bx c 0的解集是(-1,2)，则下列选项正确的是（ ）
A． a<0 B．b 0且 c 0
C． a b c 0 D．不等式 ax2 cx b 0的解集是 R
12．(本题 5分)已知 a,b R ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 a b，则 a2 b2 B．若 a2 b2，则 a b
C．若 a b，则 a2 b2 D．若 a | b |，则 a2 b2
试卷第 2页，共 4页
第 II 卷（非选择题）
三、填空题(共 20 分
13 2 2．(本题 5分)关于 x的不等式 kx 4 x 3 3 k 1恒成立，则 k的取值范围是
__________.
14．(本题 5分)若关于 x的不等式 x2 ax a 0的解集为R ，则实数 a的取值范围是
________．
15．(本题 5分)直线 l1：2x＋y＋1＝0与直线 l2：4x＋2y﹣3＝0之间的距离为_______．
x, x m
16．(本题 5分)已知函数 f (x) p m q m
x
2 4x, x m，且对任意 ，存在 ，使得
f (p) f (q) 0，则实数m的取值范围是________.
四、解答题(共 70 分
tan 20 17 4sin 20
．(本题 12分)求 的值．tan 30
π
18．(本题 12分)设函数 f (x) cos( x ) 0, 0
的最小正周期为 π，且
2
f π 3 4
．
2
(1)求 f x 的表达式；
x 0, π(2) 当 时，求 f x2 的单调区间及最值．
19．(本题 10分)如图，在圆台O1O2中，平面 ABCD过上下底面的圆心O2，O1，点 M
在 AB上，N为 AM 的中点，O1B 2O2C 2 .
（1）求证：平面 AMC 平面O1O2N；
（2）当 AM M B时，CM 与底面 O
2
1所成角的正弦值为 3 ，求二面角M AC B的余
弦值.
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20．(本题 12分)（1）若关于 x的不等式 m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求实数 m的
取值范围．
（2）解关于 x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中 a＜1．
21．(本题 12分)已知函数 f x 2cos x 3 sin x cos x 1
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
（2）当 x [0,
]时，求函数 f x 的值域.
2
22．(本题 12分)某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如下：
甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；
乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；
（1）用茎叶图表示甲，乙两个成绩；
（2）分别计算两个样本的平均数 x和标准差 s，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩
比较稳定．
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