第五章 反比例函数

第五章 反比例函数
单元备课
一、教学目标
1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程,抽象出反比例函数的概念,并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义.
2.能画出反比例函数的图象,根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质.
3.逐步提高观察和归纳分析能力,体验数型结合的数学思想方法.
4.能依据已知条件确定反比例函数,领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路.
二、教具准备
三角板、投影仪、多媒体课件、电池、导线、滑动变阻器、灯泡、开关、木板、橡皮泥.
三、教材分析
反比例函数是反映现实世界变化规律的重要数学模型.学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容,对函数已有初步的认识,在此基础上讨论反比例函数及其性质,学生理解起来难度不是很大,同时可以进一步领悟函数的概念 并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,为后继学习（如二次函数等）产生积极影响.
教材一开始通过物体和木板对地面压强的变化及电流的强弱对灯泡亮度的变化等具体情境的分析,激发学生的学习兴趣,进一步探索概括出反比例函数的表达形式,明确反比例函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识,理解反比例函数的意义.
教材还结合实例安排了列表、描点作图、观察交流等活动,让学生经历并理解函数的三种表达方法,逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象直观形象,为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.通过对图象的全面观察和比较,发现函数自身的规律,在相互交流中发展从图象中获取信息的能力,提高感知水平.
教材最后按排了反比例函数在实际中的应用和在教学内部的应用.通过这些活动,逐步形成用函数观点处理问题的意识,体验数型结合的思想方法,提高解决问题的能力.
四、教学设计
树立正确的数学教学观,掌握合理的数学教学策略是进行数学教学改革,搞好数学教学的根本保证.为使数学教学顺利高效地进行,每一位教育工作者都应当努力促进自身数学教学观念与教育策略的转变.
鉴于本单元教学内容的具体特点，教师在教学时，应体现以下几个方面：
1．注重数学概念的形成过程和对概念意义的理解。
在反比例函数形成的过程中，应充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境。引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，不应只关注对其表达式、定义域、值域的讨论。教学中要提供直观背景，创设问题情景，通过举例、说理、讨论（如，这是一个函数吗？为什么是反比例函数？）等活动，力求使学生体验如何用数学的眼光来审视某些实际现象。
反比例函数概念的形成，是感性认识到理性认识的转化过程。概念建立后，反比例函数具有更丰富的数学含义（如变量和k不再局限于只取正值），此时应转向对其数学意义的理解，从而进行更深层次的研究。
在活动中，教师应注意提供思考或研究问题的方向。这里不同于解决具体的数学问题，而是一种“数学化”的进程。
2、创设学生自主探索与合作交流的环境。
函数的性质蕴涵于概念之中，在学生进行函数的列表、描点作图的活动中，就已经开始了对反比例函数性质的探索。因此在作图象的进程中，教师可以适时进行点拨与渗透（如列表时，对自变量х允许取值范围的思考，当х取正、负及大小不同值时，对确定Y值的影响；等等）。
教材首先讨论了K＝2，4，6时反比例函数的图象，它们是K>0情形的代表。要给学生留有较充分的时间和空间，让他们对图象进行观察和交流，鼓励学生用自己的语言对自己观察和概括得到的结论进行充分的表达和描述。在这一过程中，要允许学生的表达不完整、不准确，通过交流、讨论，相互补充和修正，然后取得共识。这对于讨论K>0时反比例函数的性质将产生积极影响，有助于对反比例函数及其主要性质形成较完整的认识。
3、经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程
教学时应注意分析的过程，即将实际问题置于已有知识背景之中，用数学知识重新解释（这是什么？可以看成什么？），让学生学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数型结合思想。
五、课时安排
1、 反比例函数（1课时）
2、 反比例函数的图象与性质（2课时）
3、 反比例函数的应用（1课时）
回顾与思考（1课时）
1反比例函数
教 案
一、教学目标
1、 从现实情境和已有知识的经验出发，讨论两个变量之间的函数关系，加深对函数关系的理解。
2、 经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
3、 向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点。
二、课堂教学线索
三、学生认识起点
1、 已有的生活体验
2、 对以前学过的函数、一次函数、正比例函数有关知识的初步理解。
四、学习方式
1、 通过关注日常生活中所涉及的两个变量之间的相依关系，加深对函数关系的理解。
2、通过具体问题，讨论总结反比例函数的概念。
五、学习倾向
采取调动生活积累，学生观察—探索—交流—总结等方式进行，让学生充分参与、大胆归纳。
六、教学重点和难点
重点：反比例函数的概念，一般的叫作反比例函数，自变量х的取值范围是х≠0的一切实数；在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即y与х成反比例
难点：反比例函数的概念的应用
七、教具准备
实物投影仪
八、教学方法
自主探究、合作交流
九、教学过程
教学阶段 教学步骤 教师活动 学生活动 教学方式和媒体
温故而知新 教师以提问的方式，引起学生对以前学过的函数、一次函数以及正比例函数图象和性质的回忆，然后教师板书提问学生：1 这个函数表示的变量关系是怎样的？2你能作出它的图象吗？3你知道它有怎样的特性？ 提问板书正比例函数、一次函数表达式提问设疑激发学生求知的欲望 学生先思考、回忆讨论后找一名学生回答思考、探索相互交流 用投影仪出示课题导入新课
创设问题情境 问题一：教师出示实物投影：一辆小汽车在公路上行驶…设置如下问题：1.当小汽车行驶路程一定时，随着速度的变化，汽车所用的时间有何变化？ 2.时间与速度之间满足怎样的一种函数关系式？ 3.若小汽车行驶的路程为1000千米，那么用t的代数式如何表示v？ 问题二 电流I电阻R电压U之间满足关系式：U=IR,当U=220V时，（1）你能用含有R的关系式表示I吗？（2）利用写出的关系式完成下表R/Ω20406080100I/A当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？(3)变量I是R的函数吗？为什么？问题三：一个长方形的体积是100cm ,它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm，（1）写出用高表示长的函数关系式.（2）写出自变量x的取值范围.（3）当x=3cm时，求y的值. 引导学生观察分析，从现实生活中挖掘素材，让学生体会数学知识在日常生活中的运用，激发学生的学习兴趣巡回指导引导学生书写V与t之间的关系式，I与R之间的关系式引导学生书写y与x的函数关系式 学生观察图中的景物，思考回答所提出的问题口答学生分组讨论，找出问题答案口答思考、探索学生书写 放实物投影小组合作独立完成独立完成小组交流
合作交流探索发现 通过学生得出的三个函数关系式，出示如下问题：（1）从以上三个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个合适的表达式表示它吗？试试看。 鼓励学生探索新知发展学生概括能力 相互探讨，用自己的语言叙述反比例函数的概念 出示题目小组讨论投影显示概念
拓展训练发展思维 1.生活中你还能举出与反比例函数有关的实例吗？与同伴交流。2.舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼你能说出其中的奥妙吗？ 引导学生对这节课所学知识进行实际应用 学生相互讨论，思考举出实例倾听其它同学表述 小组合作
巩固应用 P131 1.2(随堂练习) 巡 回指 导 独立完成 独立完成
课堂小结 正比例函数反比例函数表达式自变量取值范围 引导学生填写表格 学生小结 师生互动
课堂作业 习题1.2 巡回指导批阅已做完的作业 做作业 完成作业
1.反比例函数
学案
一、学习目标
1.能通过具体问题总结出反比例函数的概念。
2.会利用反比例函数的概念解决有关问题。
二、方法与规律探究
判断一个函数是否为反比例函数，需要观察函数的形式、自变量的次数、常数的取值等三个方面。比如，反比例函数须满足中x的指数等于1，而反比例函数中x的指数是-1，且两个k均不等于0。确定反比例函数的解析式，关键是确定k的值。反比例函数的解析式中只有一个常数k，确定了它的值，就确定了反比例函数，因而一般只有一个条件就可以确定。
三、分组练习
练习1
1.当路程S一定时，速度V与时间t之间的函数关系是（ ）
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.其他函数
2.若是反比例函数，则k＝ .
3.矩形的面积为2，一条边长为x，另一条边长为y，则用x表示y的函数解析式为 .
练习2
1.函数，期中与2x成正比例，成反比例，且x=1时，y=－5；x＝－1时，y＝7.求x=时，y的值.
2.如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，点E、F分别在CB和BC的延长线上,且∠EAF=120 .设BE=x，CF=y.求y与x间的函数关系式，并求自变量x的取值范围.
四.达标检测
1.有一面积为60的梯形，其上底是下底的，若下底长为
x，高为y，则y与x的函数关系式是 .
2.k为何值时，是反比例函数？
3.若y与x-2成反比例，且当x＝-1时，y＝3，则y与x之间是（ ）关系.
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.其他函数
五.收获
2.反比例函数的图象与性质
学案
一.教学目标
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。
二.教材内容
本节内容是在一次函数图象的基础上，进一步熟悉作函数图象的步骤，通过“议一议”、“做一做”、“想一想”等活动，初步探索反比例函数图象的特征。
三.课堂教学线索
四.学生认知起点
1.对一次函数图象的认识与理解。
2.作函数图象的经验与一定的识图能力。
五.学习方式
1.通过回顾一次函数，寻找探索反比例函数图象的一般方法。
2.通过列表、描点、连线，认识反比例函数。
3.通过观察、比较、交流，初步认识反比例函数图象的性质。
六、学习倾向
利用知识积累，通过动手、观察、对比、概括、交流等活动，由感性认识自然过渡到理性认识。
七、教学重点和难点
重点：画反比例函数图象并认识图象的特点.
难点：画反比例函数图象.
八、教具准备
三角板、方格纸、投影仪.
九、教学方法
自主探究、合作交流
十、教学过程
教学阶段 教学步骤 教师活动。 学生活动 教学方式和媒体
创设问题情境激发学习兴趣 历史上，曾有许多人试图用尺规三等分角，但均以失败告终。数学家帕普斯利用反比例函数图象成功地解决了这一问题。你想了解帕普斯是如何利用反比例函数解决“三等分角”问题吗？那就让我们先研究一下反比例函数的图象与性质吧！板书：反比例函数的图象与性质1.回忆一次函数y=kx+b的图象.2.你还记得我们是如何研究一次函数图象的吗？3.反比例函数图象到底是什么样子呢？你准备如何研究？ 出示问题背景材料，激发学生学习兴趣和探索新知识的欲望.引出课题板书课题设问引导学生回忆一次函数图象，寻找研究反比例函数图象的方法 阅读背景材料回忆、交流、补充、纠正、思考、探索相互交流达成共识 投影仪展示材料投影仪展示问题
实践探究合作交流 作反比例函数的图象列表x 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。 连线：用光滑的曲线顺次连接各点。 议一议 你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴交流。 在图5－2中作反比例函数的图象 巡回观察指导，引导学生对自变量的取值展开讨论.投影展示学生画的图象与图5－1教师巡回观察，了解学生的讨论情况，倾听学生的见解，补充、纠正组织学生展开作图竞赛看谁作的既快又准确，巡回观察，及时批阅并作出评价 小组讨论自变量的取值情况画函数图象观察投影图象，查漏补缺自主探究小组研讨班内交流达成共识画图象查漏补缺 小组合作投影展示图象个人学习小组合作师生互动个人学习
观察比较探索规律 想一想观察和的图象，找出它们的相同点和不同点.反比例函数的图象是由两支双曲线组成的：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 比较一次函数图象与反比例函数图象的区别（加深对反比例函数图象的理解） 投影展示同一坐标系内不同颜色的和的图象引导学生得出一般规律并鼓励学生用自己的语言叙述规律板书规律鼓励学生大胆发言 观察比较组内研讨班内交流口答相互补充纠正相互交流达成共识 个人学习合作小组师生互动
巩固提高 P134随堂练习P135习题5.2 教师巡回观察投影展示答案 独立完成自我评价查漏补缺 投影答案
自我总结 总结本节的收获与感想以及存在的困惑. 组织学生进行自我总结，并相互交流 自我总结班内交流补偿 相互交流
布置作业 自己写一个反比例函数解析式并画出其图象 布置作业 独立完成作业 独立完成
2.反比例函数的图象和性质
学 案
一.学习目标
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
二.方法与规律探究
1.画反比例函数图象的方法是描点法.画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限接近于坐标轴，但永远不能与坐标轴相交.
2.反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当k>0时，两支双曲线分别位于第一、三象限内，当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
三.分组练习
练习1
1.反比例函数的图象的两个分支分别在第二、四象限内，那么m的取值范围是 .
2.在同一直角坐标系内函数y=3x与 的图象大致是图1中的（ ）
练习2:若一次函数y=mx-4的图象与反比例函数的图象有两个交点、一个交点或无交点，则m的取值范围分别是什么？
四.达标训练
1.已知一次函数以y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数的图象在第 象限.
2.在同一直角坐标系中画出x<0时，函数y=x和的图象.
五.收获
2.反比例函数的图象和性质（二）
教 案
一.教学目标
1.通过观察、讨论、交流等活动，进一步探索并掌握反比例函数的主要性质，逐步提高从函数图象中获取信息的能力.
2.进一步体会数形型结合的思想和分类思想.
二.教材分析
本节内容是在前节的基础上，通过“议一议”、“想一想”等活动，进一步探索反比例函数的主要性质.在活动中渗透了数型结合思想和分类思想
三.课堂教学线索.
四.学生认知起点
1.对反比例函数图象的初步认识.
2.一定的识图能力.
五.学习方式
1.通过观察、比较、讨论交流等活动探索反比例函数的增减性，通过旋转、对折等活动探索反比例函数图象的对称性.
2.通过分析、交流、推理、论证、体会反比例函数
中k的几何意义.
3.通过“读一读”扩大视野，启迪智慧.
六.学习倾向
通过学生仔细观察、比较、充分讨论、交流，具体操作、验证，充分认识反比例函数的主要性质.
七.教学重点和难点
重点：反比例函数的性质
难点：反比例函数性质的应用.
八.教具准备
投影仪、透明纸、大头针等.
九.教学方法
自主探究、合作交流
十.教学过程
教学阶段 教 学 步 骤 教师活动 学生活动 教学方式和媒体
自主探究合作交流 观察反比例函数，，的图象，你能发现它们的共同特征吗？ （1）函数图象分别位于哪几个象限内？ （2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ （3）反比例函数的图象可能与鱼x轴相交吗？可能与鱼y轴相交吗？为什么？ 概括总结k>0时反比例函数图象的性质：在每一个象限内，y的值随x值的增大而减小. 观察当k=-2,-4,-6时，反比例函数的图象，找出它们的共同特征.概括、总结k<0时反比例函数图象的性质：在每一象限内，y随x的增大而增大. 投影展示图象和问题教师巡回观察、指导补充、纠正引导学生概括总结k>0时反比例函数图象的性质，并鼓励学生用自己的语言叙述.板书性质投影展示图象引导学生概括总结并用自己的语言叙述k<0时反比例函数的性质板书性质 观察、比较自主探究组内研讨班内交流达成共识归纳、概括相互交流、补充、纠正观察、比较自主探究交流、补偿概括、归纳相互交流、补充、纠正 投影展示图象和问题师生互动投影展示图象师生互动
实践探究合作交流 想一想：（1）在一个反比例函数图象上任取两点P,Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积为，与有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180 后，能与原来的图象重合吗？你能得出什么结论？（3）你能通过对折使反比例函数图象重合吗？有几种情况？（4）填表、总结反比例函数的主要性质反比例函数K的符号k>0k<0图象性质区别联系 组织、引导学生画图、分析、探究、体会反比例函数中k的几何意义.巡回观察指导学生动手实践、探究出示图表巡回观察指导展示答案 画图、分析、自主探究组内讨论班内交流达成共识实践探究相互交流达成共识学生填表相互交流查漏补缺达成共识 投影展示问题小组合作投影表格投影答案
巩固提高 随堂练习1.2习题5.3 ，1.2试一试补充练习：如图，点A，B在反比例函数的图象上且A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，且△AOC的面积为2.（1）求该反比例函数的解析式；（2）若点（-a,），(-2a,)在该图象上，比较与的大小；（3）求△AOB的面积. 布置练习展示补充练习巡回观察、指导出示答案 独立完成相互交流查漏补缺 投影展示补充练习个人练习投影答案
自我总结 总结本节的收获及存在的困惑 引导、释疑 总结、交流 师生互动
课外阅读 读一读：反比例函数图象与三等分角 布置课外阅读 课下阅读、思考 个人学习
2.反比例函数的图象和性质（二）
学 案
一.学习目标
1.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
2.通过学习，体会事物是有规律地变化着这一观点.
二.方法与规律探索
1.学习反比例函数的增减性时可在每一象限的图象上任意取两点A（，），B（，）观察当>时，与的 关系；也可用代数法证明：当k>0时，>时,=k（）<0,即<.
2.学习反比例函数的对称性时可利用旋转、对折等方式进行验证.
3.利用反比例函数的图象和三角形的面积解答问题是本节的重点题型.解题时可先设出反比例函数图象上的一点的坐标，再结合已知条件与三角形的面积进行解答.
三.分组练习
1.已知函数，当x<0时，在函数
图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，
那么k的取值范围 .
2.如图1所示,P是反比例函数的图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴引垂线，若S阴影＝3，则解析式为 .
练习2
1.函数（a为常数）的图象上有三点（-4，），（-1，），（2，）则函数值，，的大小关系是 .
2.如图2， A,B是函数的图象上
关于原点对称的任意两点，AC平行于y轴，
BC平行于x轴，求△ABC的面积.
四.达标检测
已知反比例函数的图象与直线y=2x与y=x+1的图象过同一点，则当x>0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填增大或减小）.
五.收获：
3.反比例函数的应用
教 案
一.教学目标
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决实际问题的过程.
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高应用代数方法解决问题的能力.
二.课堂教学线索
三.学生认识起点
1.已有的生活体验.
2.对反比例函数概念、图象与性质的理解.
3.具有一定的识图能力.
四.学习方式
1.通过关注日常生活中的常见事例，体会反比例函数在实际生活中的具体应用。
2.通过自己识图、作图体会反比例函数图象的性质，形成对反比例函数比较完整的认识.
五.学习倾向
采取学生观察、交流、自由探索等方式，让学生充分参与，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一.
六.教学重点、难点
重点：反比例函数的应用.
难点：反比例函数中变量的取值范围的判断及相应函数图象的画法.
七.教具准备
实物投影仪、自制投影片
八.教学方法
自主探索与合作交流
九.教学过程
教学阶段 教 学 步 骤 教师活动 学生活动 教学方式和媒体
激疑起思 出示投影：学生在一片烂泥地行走的情景教师讲解导入：这是某校科技小组去野外考察，途中他们遇到了一片十几米宽的烂泥湿地为了安全迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.同学们，你们知道他们为什么要铺设木板呢？你能解释他们这样作的道理吗？ 教师解释画面巧设问题引起学生思考讨论 观察画面思考老师提出的问题 放实物投影小组讨论
设置问题引导探究拓展思维综合运用 如题一（接上题）：1.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（）的变化，人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化？2.如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么（1）用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为0.2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过600 Pa，求木板面积至少要多大？（4）在直角坐标系中，作出相应的函数图象引导探究：（1）为什么只需在第一象限作函数的图象？（2）利用图象，你能对（2）、（3）作出直观解释吗？问题二：蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图（图见课本5－8）1.蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？2.完成下表，并回答问题R/Ω345678910I/A4如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？引导探究：①（2）中问题电流有何限制？你能用不等式准确表示它吗？②利用以上获得知识，如何完成从电流到电阻的转化？③通过你转化的结果，能否求出可变电阻的取值范围.问题三如图1，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（）.（1）分别写出这两个函数的表达式;（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴交流. 提出问题与学生共同分析，引导学生完成所出示的问题巡回指导引导学生观察图象。体会数与形的统一帮助学生搞清图象上的点所表示的含义引导学生观察图象猜测该图象为反比例函数图象.启发学生思考验证猜测是否准确的方法.引导学生找出不等关系求出电阻的取值范围引导学生观察图象搞清1.两个图象交点所表示的含义.2.正比例函数图象特点3.交点实际是由两个函数解析式组成方程组的解 自由讨论合作交流自己根据题意动手画函数图象观察图象思考、探究 交流学生自由探索相互讨论相互交流达成共识通过教师引导，尝试求解过程学生独立完成解题过程找一生上黑板板演解题过程 小组交流小黑板出示事先准备的反比例函数图象小组合作交流探索放自制投影片师生互动
巩固应用 随堂练习1 习题2 巡回指导 独立完成 独立完成
课堂小结 规范小结 学生小结填写小结 师生互动
课堂作业 习题1 巡回指导批阅已做完的作业 做作业 完成作业
课外延伸 如图2所示,已知A、B两点是反比例函数(X>0)的图象上任意两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D,连结AB,AO,BO,探索梯形ABDC的面积与△ABO的面积的比值是多少？
3.反比例函数的应用
教 案
一、学习目标
1.分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决实际问题.
2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高解决问题的能力.
二.方法与规律探索
解有关反比例函数的应用题，关键是通过分析实际问题中变量间的关系，建立反比例函数模型，进而解决实际问题.但在解题过程中，应注意自变量的取值范围及其实际意义.
三.分组练习
A：1.甲乙两地相距1000千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y（小时）表示为汽车平均速度x（千米/时）的函数，则这个函数的图象大致是（ ）
2.一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/）是它的体积V（）的反比例函数，当V=10时，ρ＝1.43kg/.(1)求ρ与V的函数关系式.（2）当V=2时，求氧气的密度ρ.
B：1.高30厘米的圆柱形蒸气锅，它的底面直径是20厘米，如果蒸气锅内每平方厘米所受的蒸气压力是15牛顿，那么这个蒸气锅内部表面所受的蒸气压力是 牛顿.
2.反比例函数，当时，y=-6.（1）求这个函数解析式.（2）若一次函数y=mx－4的图象与（1）中的反比例函数有两个交点，求m的取值范围.
四.达标检测
1.如图2，P是反比例函数图象上的一点，
过点P作x轴的垂线，连结OP，得图中阴影
部分的面积为6，则这个反比例函数解析式为 .
2.已知正比例函数y=kx+b与反比例函数的图象都经过A（m，1）求（1）正比例函数解析式；（2）正比例函数与反比例函数的另一个交点坐标.
五.收获
回 顾 与 思 考
教 案
一.教学目标
1.能说出本章的主要知识以及它们之间的联系，形成整体性认识，培养学生归纳总结能力.
2.通过一定的问题关注向学生强调利用图象了解函数的性质，进一步发展从图象中获取信息的能力.
3.通过具体问题关注学生利用函数的知识分析问题和解决问题，体验数型结合的思想方法，培养学生综合应用知识的能力.
二.学习任务分析
三.学习方式
1.利用生活中的实例，加深对反比例函数意义的理解.
2.通过具体问题，讨论总结K>0和K<0时反比例函数的图象的联系和区别.
3.从函数的观点出发，利用数形结合思想解决问题，体会知识之间的联系以及知识的综合运用.
四、教学重点和难点
重点：反比例函数的图象和性质及反比例函数的应用.
难点：数形结合思想及知识的综合运用.
五、教具准备
实物投影仪
六、教学方法
自学辅导法
七、思想方法
数形结合、函数观点、分类、待定系数法等.
八、教学过程
（一）引入课题本章开篇创设的问题情境是：当压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面压强的变化规律.在第三节反比例函数的应用中探讨了这一问题，所用知识都是第五章所学内容.（二）讲授新课看复习思考题1.你能举出现实生活中有关反比例函数的几个实例吗？在学生给出答案后，接着提问：（1）你能写出反比例函数的一般表达式吗？在表达式中k的取值怎样？自变量x的取值呢？（2）在你所举实例中，自变量的取值又是怎样？2.说说函数的图象的联系和区别.3.你能总结一下反比例函数的图象特征吗？学生给出答案后，填写下表：反比例函数K的符号k>0k<0图象性质4.你能用反比例函数的知识解决问题吗？请举例说明.学生给出例子后，归纳应用：（1）反比例函数解析式的确定问题一：已知反比例函数的图象过点（3，5），那么点（5，3）是否在该反比例函数的图象上？为什么？问题二：一定质量的二氧化碳，它的体积V＝5m 时，它的密度ρ＝1.98kg/ m ,求ρ与V的函数关系式.（2）图象和性质的应用问题三：已知函数若常数异号，且>，则它们在同一坐标系的图象大致是图1中的（ ）问题四：已知一次函数y=3x＋m与反比例函数的图象有两个交点.（1）当m为何值时，有一个交点的纵坐标为6？（2）在（1）的条件下，求两个交点的坐标.问题五：如图2，在反比例函数（x<0）的图象上任取一点P，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为N、M，求四边形ONPM的面积.问题六：为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例.如图3所示，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题：1.药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 .药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .2.研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室？3.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀死空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（三）课堂练习课本P145复习题A组1.3.5. B组1.（四）课堂小结 谈谈收获与困惑（五）课后作业1.课本P145复习题A组2.4.6. B组2.2.完成一份本章小结，回顾自己在本章学习中的获取、困惑或需要改进的地方. 学生思考并回答，再次经历由具体情境建立函数模型的意义.学生讨论归纳，加深对反比例函数的理解.学生动手画图，观察思考，交流归纳，体验从图象中获取信息的能力.学生根据回答填表并相互补充.学生思考，小组交流并归纳.学生板演后总结，体会待定系数法和建立数学模型的意义学生独立完成并相互交流总结，体会反比例函数与一次函数图象之间的联系与区别.学生板演，总结归纳，体会反比例函数与一次函数、一元二次方程之间的联系.学生做完讨论，并归纳反比例函数中的比例系数k的几何意义.小组内展开讨论，相互交流，加深用函数观点、数形结合思想解决实际问题.学生板演，补偿纠正学生归纳，适时补偿
回 顾 与 思 考
学 案
一.学习目标
1.通过具体问题加深反比例函数的概念、图象的画法与性质的理解，并能熟练利用反比例函数的图象与性质分析问题和解决问题.
2.通过自己的学习进一步体会数形结合思想、函数思想及待定系数法，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.
二.方法与规律探究
1.考查反比例函数的概念，要么符合，要么符合.在解答时要保证K不等于零，且中x的指数为1，的指数为-1，两个条件缺一不可.
2.求反比例函数的解析式，只要得出反比例函数上任意一个点的坐标，把该点坐标代入反比例函数解析式即可.
3.对于反比例函数与一次函数有关的图象问题，若是选择题，多以排除法解答；若是交点问题，往往把两个函数的解析式联立成方程组求解.
4.利用反比例函数的图象和三角形的面积解答问题，可先设出反比例函数图象上的一点的坐标，再结合已知条件与三角形的面积进行解答.
5.数形结合思想与函数思想是本章最主要的思想方法.本章自始至终都是运用数形结合的思想方法研究问题的，数形结合直观形象，为解决函数问题提供了一种新的思路和方法.在利用函数观点解决问题时，应仔细分析题意，抓住与所学知识相关的信息，并运用已知信息与反比例函数的知识点相对应，将问题转化为反比例函数问题.
三.分组练习
练习1.
1.请你写出一个反比例函数，使它的图象在第一、三象限，则这个函数的解析式是 .
2.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 .。
3.一个长方体盒子的体积是100，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm.
（1）试写出用高表示长的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）画出函数的图象
（3）当x＝3cm时，求y的值.
4.如图1，正比例函数y＝kx（k>0）
与反比例函数的图象相交于A、C两点，
过A作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x
轴的垂线，交x轴于D.
求证：当K取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数.
练习2
1.满足函数y＝k（x＋1）和函数的图象大致是图2中的 .
2.反比例函数图象上到原点O的距离等于的点有几个？说明理由.
四.达标检测
1.已知反比例函数的图象上的两点A（），B(), 当<0<时，有，则m的取值范围是 .
2.某气球内充满了一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的气压 P(KPa)是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图3所示.
(1)写出这一函数的表达式；
（2）当气球体积为2时，
气压是多少？
（3）当气球内的气压大于160KPａ
时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应不少于多少？
五.收获
省 料 的 漆 桶
某油漆厂要加工一种容积时3000的圆柱形漆桶的底面直径是多少时，所用金属材料最省？（精确到1cm）
要探求材料最省问题，对r分别取值，求出s，通过对数据的分析，确定如何最省？
不妨设漆桶底面半径为r，全面积为s，高为h，由题意知
πr h＝3000
所以，
S＝2πr ＋2
＝2πr ＋2πr ×
＝2（πr +）
利用计算器分别计算出r和s的对应值，如下表所示：
r（cm） 5 6 7 7.5 8 8.5 9
S（） 1357.1 1226.2 1165.0 1153.4 1152.1 1159.8 1175.6
由表看出，当漆桶的底面直径为16cm时，所用金属材料的面积为1152cm ，此时材料最省.
当然，上面的计算，我们并没有考虑裁剪圆片时的余料，因此，实际用的材料比以上计算的结果要多.
在现实生活中，我们经常遇到类似的问题.掌握比例解答的方式，具有很重要的现实意义.
关于材料最省的问题，其解答方法是：
（1）根据题意建立关于待求量和另一个未知量的关系式；
（2）在某一范围内对另一未知量合理取值，并分别计算待求量的值；
（3）由计算结果，选择最优方案.
课题学习 猜想、证明与拓广（一）
教 案
一.教学目标
1.初步经历猜想、证明与拓广的过程，增强问题意识和主动探索意识，获得探索和发现的体验.
2.在解决“倍增”问题的过程中综合运用所学的知识，初步体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.
3.在探究“倍增”问题的过程中，初步感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
4.在合作交流中扩展思路，培养学生的合作意识，发展学生的推理能力.
二.教材分析
本节课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积相同的若干倍.探究活动从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又具挑战性的问题，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组等知识的过程，在做中学，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验.
三.课堂教学线索
四.学生认识起点
1.已有的活动经验
2.用二次方程、方程组解决问题经验和能力.
五.学习方式
1.通过引例，引起对猜想、证明、拓展过程的关注.
2.通过“倍增”问题的探究，体会猜想、证明、拓广的重要作用，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验.
六.学习倾向
通过自主探究、合作交流、充分参与，加深对猜想、证明、拓广重要性的认识，积累数学活动经验.
七.教学重点和难点
重点：综合运用所学的知识解决“倍增”问题.
难点：感受处理问题的策略和方法，积累数学活动经验.
八.教具准备
投影仪等
九.教学方法
自主探究、合作交流
十.教学过程
教学阶段 教学步骤 教师活动 学生活动 教学方式和媒体
创设问题情境，激发学习兴趣 如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H.（1）观察、猜想中点四边形EFGH的形状？并设法验证你的结论.（2）如果四边形ABCD是矩形，菱形，正方形呢？（3）当四边形ABCD的对角线互相垂直时，中点四边形的形状是什么？（4）若对角线相等呢？（5）若对角线既垂直又相等呢？（6）验证以上结论时，你经历了哪些过程？引出课题：猜想、证明与拓广 出示问题巡回指导引导学生进行观察、猜想、验证鼓励学生用自己的语言总结探索的过程引出本节课题板书课题 观察、猜想验证思考、探索自主探究组内研讨班内交流达成共识 投影展示问题小组合作
出示问题：（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎么做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？（2）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？对该问题你认为应该怎样解决呢？（3）如果已知矩形的长和宽分别为2和1，结论会怎样呢？你是怎么做的？与同伴进行交流.引导学生从两方面思考：（1）先固定所求矩形的周长，将问题转化为方程x（6-x）=4是否有解的问题.（2）先固定所求矩形的面积，将问题转化为方程是否有解的问题. 也可以设所求矩形的长和宽分别为x和y，列方程组解决. 当已知矩形的长和宽分别为3和1时，是否还有相同的结论？已知矩形的长和宽分别为4和1，5和1 ，…，n和1呢？由此你能得出什么结论？怎样验证你的结论？ 更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？ 出示问题（1）巡回观察、指导、纠正、引导学生提出新问题，培养学生问题意识.启发学生提出问题（2）出示问题（2）启发、引导学生对问题（2）的研究应从一些简单的、特殊的情形入手，发现规律后再讨论一般情形.出示问题（3）观察、指导启发、引导巡回观察、指导、纠正指导学生分组验证启发学生猜想验证、证明引导学生得出一般规律 自主探究组内研讨班内交流达成共识思考、探索提出问题（2）探究问题（2）解决方法自主探究，组内研讨，班内交流，达成共识思考、探索实践探索相互交流达成共识分组验证相互交流猜想、验证、证明思考、讨论、探索、验证 投影展示问题（1）小组合作投影问题（2）小组合作投影问题（3）师生互动投影问题，小组合作
归纳总结 处理“倍增”问题时，应用了哪些知识和方法？经历了怎样的过程？积累了哪些经验？ 引导学生总结、交流补充、纠正 概括总结、相互交流、达成共识 师生互动
课外探索 任意给定一个圆，是否存在另一个圆，它的周长和面积分别是已知圆的2倍. 布置课外作业 课外思考、探索 自主学习
课题学习 猜想、证明与拓广（一）
学 案
一.学习目标
1.经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.
2.在解决“倍增”问题中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性性认识.
3.在探究过程中，感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
4.在合作交流中扩展思路，发展推理能力.
二.方法与规律探究
在探究“倍增”问题时要经历猜想、证明与拓广的过程.在探究过程中我们一般先研究一些简单的、特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情形.解题思路是：可先固定所求矩形的周长或面积将问题转化为方程是否有解的问题，也可列方程组来解决.
三.分组练习
练习1.
1.任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？
2.任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的3倍.
练习2
已知：如图，P是边长为1的等边三角形
△ABC内任意一点，试证P点到到三边的
距离和为定长.
四.达标检测
求解下列问题
（1）在1－10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？
（2）在1-100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？你还能提出什么问题？
（3）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有几个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？
五.收获
课题学习 猜想、证明与拓广（二）
教 案
一.教学目标
1.再次经历猜想、证明、拓广的过程，进一步增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.
2.在处理“减半”问题中综合运用所学的知识，进一步体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.
3.在探究“减半”问题的过程中，再次感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
4.在合作交流中拓展思路，进一步培养学生的合作意识，发展学生的推力能力.
二.课堂教学线索
三.教材分析
在探究“倍增”问题的基础上，本节主要研究了“减半”问题.教材仍然从简单情形出发，引导学生不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识的过程，进一步感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验.
四.学生认知起点
1.对“倍增”问题的探究经验.
2. 综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识处理问题的能力.
五.学习方式
通过对“减半”问题的探究，再次经历猜想、证明、拓广的过程进一步感悟由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性，积累数学活动经验.
六.学习倾向
通过自主探究、合作交流、综合运用所学知识解决问题，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识；通过对“减半”问题的探究，进一步感受处理问题的策略和方法，积累数学活动经验.
七.教学重点与难点
重点：综合运用所学的知识解决问题.
难点：感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验.
八.教具准备
投影仪
九.教学方法
自主探究，合作交流
十.教学过程
教学阶段 教学步骤 教师活动 学生活动 教学方式和媒体
创设问题情境，激发学习兴趣 上节课我们探索了任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.你还记得是怎样研究的吗？任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？你是怎样认为的？小明认为，这个结论是肯定的，理由是：既然任意给定一个矩形，都存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么，原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.例如，长和宽分别是和的矩形（记为A，其周长和面积分别为2和），是由长和宽分别为2和1的矩形（记为B）“加倍”而来的，因而矩形B的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的一半. 你同一小明的观点吗？ 根据你的经验，你认为应怎样处理这个问题？ 设置问题激发兴趣启发、引导巡回观察、指导，倾听学生的见解出示小明的观点，组织学生进行研讨.启发、引导学生质疑、探索 温故知新自主探究相互交流组内研讨自主探究相互交流组内研讨质疑、探索 投影问题师生互动投影展示小明的观点小组合作师生互动
实践探究合作交流 如果已知矩形的长和宽仍为2和1，那么是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？分组验证：如果已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，5和1的情形.小结：当已知矩形的长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1时，都不存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.难道不存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？当已知矩形的长和宽为6和1时，是否存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？由此，你受到了什么启发？议一议当矩形满足什么条件时，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？你能再找一个这样的例子吗？ 引导学生先从简单的、特殊的情形研究巡回观察、指导观察、指导组织学生将验证结果进行归纳、总结设疑，引起学生的思考.组织学生探索、验证观察、指导设疑，让学生体会证明的必要性.启发、引导学生得出一般规律 实践探究验证相互交流、补偿分组验证相互交流归纳、总结验证的结果猜想探索、验证相互交流达成共识思考、讨论相互交流体会证明的必要性.探索规律举例说明 投影问题小组合作师生互动小组合作师生互动投影问题
归纳总结 在处理“减半”问题时，你运用了哪些知识方法？经历了怎样的过程？积累了哪些经验？ 引导学生总结、交流补充、纠正 归纳、总结相互交流查漏补缺 师生互动
读一读 猜想，是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维.牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”数学中的许多重要定理是由数学家们通过实验、归纳，大胆提出猜想，再对猜想或证明其结论的正确性，或通过反例推翻它，如历史上的费尔马猜想、哥德巴赫猜想等.这些猜想，有的已经获得了圆满的解决，有的至今仍吸引着数学家们为寻求答案而进行着艰苦的攀登.在探求这些猜想的过程中。推动了数学科学的发展.可以说，没有猜想，就没有科学的进步.
课题学习 猜想、证明与拓广（二）
学 案
一、学习目标
1.再次经历猜想、证明、拓广的过程，进一步增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.
2.在解决“减半”问题中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.
3.在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
4.在合作交流中扩展思路，发展推理能力.
二.方法与规律探究
在探究“减半”问题时仍然要经历猜想、证明与拓广的过程.在探究过程中也是从简单的、特殊的情形入手.解题思路是：设已知矩形的长和宽分别为m和n，所求矩形的长为x，则有x＝mn.判别式△＝.因此当时，这样的矩形才存在，也可以用数形结合的方法来解决.
三.分组练习
练习1
1.任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的一半？
2.任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的三分之一.
练习2
已知：如图，点P是矩形ABCD内任意一点.猜想并证明与的关系.当点P运动到不同位置时结论是否仍然成立？
四.达标检测
1.对于面积为1的矩形来说，它的周长最小是多少？
2.对于周长为3的矩形来说，它的面积最大是多少？
五.收获
(反比例函数的经验来源和直观背景)
现实世界、其他学科和数学中的问题情境
函数概念
（成为数学对象，比原型更丰富，具有一般性）
反比例函数概念
E
A
B
C
F
图1
一次函数图象
反比例函数图象
画图象
观察图象，获取信息
A
x
y
o
B
x
y
o
C
x
y
o
D
x
y
o
图1
函数图象
观察、比较、讨论、交流
反比例函数的增减性
旋转、对折
图象的对称性
主要性质
x
y
o
A
B
C
D
x
y
o
P
图1
y
o
A
图2
B
C
设置问题情境
反比例函数的应用
概念的应用
图象的应用
x
y
o
B
A
图1
反比例函数的应用
图2
x
y
o
B
C
D
A
A
x
y
o
B
x
y
o
C
x
y
o
D
x
y
o
图1
x
y
o
P
图2
函数概念
现实世界，其他学科
和数学中的问题情境
反比例函数概念
图象与性质
应用
D
x
y
o
B
x
y
o
A
x
y
o
C
x
y
o
图1
PCA
x
y
o
MPCA
N
图2
6
x(分钟)
y（毫克）
o
86DC
图3
A
x
y
o
B
C
D
图1
Do
CA
x
y
o
AB
x
y
o
DC
x
y
o
BD
x
y
o
图2
y
·
2
·
1.5
·
1
·
0.5
200 ·
50 ·
100 ·
150 ·
·A（0.64，150）
图3
V/m
o
问题情境
猜想
验证
发现规律
证明
拓广
A
EA
BEA
FBEA
CFBEA
GCFBEA
DGCFBEA
HDGCFBEA
·
A
BA
CA
PCA
问题情境
猜想
验证
发现规律
证明
拓广
A
B
C
D
PDCBA
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