-高中数学北师大版（2019）必修第二册5.1.1复数的概念（教学课件）（共51张）

(共51张PPT)
1.1　复数的概念　
必备知识·自主学习
1.虚数单位
为了使得像方程x2=-1有解,我们引进一个新数i,叫作_________,并规定:
(1)它的平方等于-1,即i2=-1;
(2)实数与它进行四则运算时,原有的_________________仍然成立.
导思 1.实数集与复数集之间的关系是什么
2.两个复数相等的条件是什么
虚数单位
加法、乘法运算律
2.复数的概念及表示
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作_____,通常用字母z表示,即z= a+bi(a,b∈R),
其中a称为复数z的_____,记作Re z,b称为复数z的_____,记作Im z.
3.复数的分类
复数a+bi(a,b∈R)
4.复数集
全体复数构成的集合称为复数集,记作C.
显然R C.
复数
实部
虚部

【思考】
　(1)两个复数一定能比较大小吗
提示:不一定,只有当这两个复数都是实数时,才能比较大小.
　(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗
提示:不一定,对于复数z= a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.
　(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系
提示:
5.两个复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
【思考】
　若复数z1,z2为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a-b的值为多少
提示:因为z1=z2,所以a=1,b=3,故a-b=-2.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. (　　)
(2) 若a为实数,则z=a一定不是虚数. (　　)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. (　　)
提示:(1)×.当b=0时, z=a+bi为实数.
(2)√.
(3)√.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则这两个复数的实部和虚数分别相等,则这两个复数相等.
2.复数z=a+i(a∈R)的虚部为 (　　)
A.1 B.i C.-1 D.-i
【解析】选A.根据定义可得z的虚部b=1.
3.(教材二次开发:例题改编)已知x,y∈R,若x+y+(x-2y)i=-x-3+(y-19)i,则
x+yi= (　　)
A.3+5i B.-4+5i
C.4-5i　 D.-4-5i
【解析】选B.因为x,y∈R,所以利用两复数相等的充要条件可得
解得 所以x+yi=-4+5i.
4.若复数z= 为纯虚数,则实数a的值等于________.
【解析】由纯虚数的定义可知
由①可解得a=0,或a=2,
但a=2与a2-a-2≠0矛盾.
答案:0
关键能力·合作学习
类型一　复数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.已知下列命题:
(1)复数a+bi不是实数;(2)当z∈C时,z2≥0;(3)若复数z=a+bi,当且仅当b≠0时,z为虚数;(4)若a,b,c,d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是________.
【思路导引】根据复数的有关概念判断命题的真假.
【解析】(1)是假命题,因为当a∈R且b=0时, a+bi是实数.(2)是假命题,如当z=i时,则z2=-1<0.(3)是假命题,因为没有说明a,b∈R.(4)是假命题,只有当a,b,c,d∈R时,结论才成立.
答案:0
2.请说出下列复数的实部和虚部.
(1)2+3i;(2)-3+ i;(3) +i;(4)π;(5)- i;(6)0.
【解析】(1)的实部为2,虚部为3;(2)的实部为-3,虚部为 ;(3)的实部为 ,
虚部为1;(4)的实部为π,虚部为0;(5)的实部为0, 虚部为- ;(6)的实部为0,
虚部为0.
【解题策略】
　复数a+bi(a,b∈R)中,实数a,b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,虚部是b,而不是bi.
类型二　复数的分类(数学抽象)
【典例】实数x分别取什么值时,复数z= +(x2-2x-15)i是(1)实数
(2)虚数
【思路导引】(1) 若复数z是实数, 则虚部为0,同时注意分式的分母不等于
0;(2)若复数z是虚数,则虚部不等于0,同时注意使分式有意义.
【解析】(1)当x满足
即x=5时,z是实数.
(2)当x满足 即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
【解题策略】
　解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数 b=0;
②z为虚数 b≠0;
③z为纯虚数 a=0且b≠0.
【跟踪训练】
　已知m∈R,复数z= +(m2+2m-3)i,当m为何值时,
(1)z为实数 (2)z为虚数 (3)z为纯虚数
【解析】(1)要使z为实数,m需满足m2+2m-3=0,且 有意义即m-1≠0,解得
m=-3.
(2)要使z为虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且 有意义,即m-1≠0,解得m≠1
且m≠-3.
(3)要使z为纯虚数,m需满足 =0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
类型三　复数相等的条件及应用(数学运算)
【典例】1.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于__________.
2.已知实数x满足x2+x-2xi=-3m+i,求实数m的值.
【思路导引】1.等价转化为虚部为零,且实部小于零;
2.根据复数相等的充要条件求解.
【解析】1.因为z<0,所以 所以m=-3.
答案:-3
2.
所以x=- 且 +3m=0,所以m= .
【解题策略】
　复数相等问题的解题技巧
1.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
2.根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【跟踪训练】
　已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x,y的取值分别为________.
【解析】因为x2-y2+2xyi=2i,
所以 解得 或
答案:1,1或-1,-1
1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,则b的值为 (　　)
A.2 　　　B. 　　　C.- 　　　D.-2
【解析】选A.由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,得2-b=0,即b=2.
课堂检测·素养达标
2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数z的虚部为(　　)
A.1 B.2i C.±1 D.2
【解析】选D.由已知 解得a=1,故z=2i,其虚部为2.
3.(教材二次开发:练习改编)以 i- 的虚部为实部,以8i2+ i的实部为虚
部的复数是________.
【解析】 i- 的虚部为 ,8i2+ i=-8+ i的实部为-8.
答案: -8i
4.若实数x,y满足x+yi=-1+ i(i是虚数单位),则xy=________.
【解析】因为x+yi=-1+ i,所以 解得
因此,xy= .
答案:
三十五　复数的概念
【基础通关--水平一】 (15分钟　30分)
1.(2020·武威高一检测)i2+i是 (　　)
A.实数 B.虚数 C.0 D.1
【解析】选B.因为i2=-1所以i2+i=-1+i,-1+i为虚数.
课时素养评价
2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为 (　　)
A.-2 B.3 C.-3 D.±3
【解析】选B.由题知 解得m=3.
3.设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a,b∈R.a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数.复数a+bi是纯虚数,则a=0一定成立.所以a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
【补偿训练】
　　设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=　　　　.
【解析】 m=-2.
答案:-2
4.z1=m2-3m+m2i,z2=4+ i,m为实数,若z1=z2,则m的值为 (　　)
A.4 B.-1 C.6 D.0
【解析】选B.由题意 解得m=-1.
5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1则实数m的值为　　　　.
【解析】由题意得
解得m=2.
答案:2
6.(2020·沈阳高一检测)若a+bi=i2,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a+b=　　　　.
【解析】由a+bi=i2 a+bi=-1
a=-1,b=0 a+b=-1.
答案:-1
【基础通关--水平二】 (20分钟　40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·南宁高一检测)若复数z满足z=1-2i,i为虚数单位,则z的虚部为(　　)
A.-2i B.2 C.-2 D.2i
【解析】选C.因为z=1-2i,所以z的虚部为-2.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
(　　)
A. ,1　 B. ,5
C.± ,5　 D.± ,1
【解析】选C.令 得a=± ,b=5.
3.(2020·济南高一检测)若4-3a-a2i=a2+4ai ,则实数a= (　　)
A.2　 B.-2　 C.4 　 D.-4
【解析】选D.由题意 解得a=-4.
　【补偿训练】
　(2020·哈尔滨高一检测)已知复数z=sin θ- 为纯虚数,则
tan θ=(　　)
A.-2 　 　B.- 　 　C. 　 　D.2
【解析】选A.因为z=sin θ- 为纯虚数,
所以 解得sin θ= ,根据sin2θ+cos2θ=1,cos θ≠ ,
可得cos θ=- .则tan θ= =-2 .
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下列命题错误的是 (　　)
A.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
B.-i2=-1
C.若a>b,则a+i>b+i
D.若z∈C,则z2>0
【解析】选BCD. a∈R,a2+1>0恒成立,所以A正确;-i2=- =1,B错误;
虚数无法比较大小,C错误;
若z=i,则z2=-1<0,D错误.
【补偿训练】
　　(多选题)(2020·潍坊高一检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
(　　)
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为- 的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【解析】选BCD.对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部
为- 的虚数可以表示为m- i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,
判断C正确;
两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不
出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·巴楚高一检测)如果 其中x,y为实
数,则2x+y=　　　　.
【解析】因为 x,y∈R,所以
解得 所以2x+y=6.
答案:6
6.复数z=cos +isin ,且θ∈ ,若z是实数,则θ的值
为　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　.
【解析】若z为实数,则sin =cos θ=0,
又因为θ∈ ,所以θ=± .若z为纯虚数,则有
所以θ=0.
答案:± 　0
四、解答题
7.(10分)(2020·阳江高一检测)设复数z= 其中a∈R,当
a取何值时:(1)z∈R;
(2)z是纯虚数;(3)z是零.
【解析】(1)当a2-7a+6=0,即a=1或a=6时,z∈R;
(2)当 即a=-2时z是纯虚数;
(3)当 即a=1时,z是零.
【补偿训练】
　　(2020·上海高一检测)设z= (m∈R),若Re z≥
Im z,求实数m的取值范围.
【解析】由题意可知Re z=m2-2m-2,Im z=2m2+3m+4,
因为Re z≥Im z,所以m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0解得-3≤m≤-2.