2022-2023 学年度第二学期
高二年级期中检测数学试卷参考答案
一、单选题(每题 5 分，共 60分)
1． B 2． B 3．A 4．B 5．C 6． B
7．A 8． A 9．B 10．B 11．D 12．B
二、填空题(每题 5 分，两个空的答对 1个 3分，全对 5分，共 45分.)
13． 4m / s 14．6 15．-6 16． ( ， 17 1 + ) ． k 3
19 3 2 1
18．4； 或 0.95 19． x ey + 2e = 0 20．720； 21． ，e +
20 5 e
三、解答题(共 45分)
22. （14 分）
解：（1）由题意可知，从这 10 名参赛选手中随机选择 4 人组成搭档参赛共有C410 = 210 种
选法，
事件 A的选法共有C2C2 + C2 22 5 3C5 = 40种，
40 4
故 P(A) = = . …………………………5 分
210 21
（2）由题意知 X的取值可能为 0,1,2,3,4，…………………………6 分
CkC4 k
由于 P(X = k) = 5 5 (k = 0,1,2,3,4)，…………………………7 分
C410
故 X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
1 5 10 5 1
P
42 21 21 21 42
…………………………12 分
1 5 10 5 1
E (x) = 0 +1 + 2 + 3 + 4 = 2 …………………………14 分
42 21 21 21 42
23. （15 分）
解：（1） f (x) = x2 ax + b …………………………2 分
f (0) =1 b = 0
由题意，得 ，解得 ; …………………………4 分
f (0) = 0 c =1
（2）由（1）得， f (x) = x2 ax = x (x a)(a 0)
由 f (x) = 0得x = 0或x = a, …………………………6 分
当 x ( ,0) (a,+ )时，f (x) 0,
当 x (0,a)时，f (x) 0; …………………………8 分
故当 a 0时，函数 f ( x)的单调增区间为 ( ,0)和(a,+ )，单调减区间为 (0,a)…10 分
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1 a
（3）函数 g (x) = x3 x2 + 2x +1, g (x) = x2 ax + 2 ，
3 2
g ( x)在区间 ( 2, 1)内存在单调递减区间，即为 g (x) 0 在区间 ( 2, 1)有
解. …………………………12 分
即 x2 ax + 2 0 在 ( 2, 1)内有解，
2
即 a x + 在 ( 2, 1)有解 …………………………13 分
x
2 2
由 x + ≤ 2 x = 2 2 (当且仅当x = 2时取等号)
x x
所以， a 2 2 . …………………………15 分
24．（16 分）
2ln x a
解：（1）因为 f (x) =1 ，
x x
所以 g (x) = xf (x) = x 2ln x a ， x (0,+ )
x 2
则 g (x) = ，…………………………1 分
x
g ( x)在区间 (0,2) , g (x) 0 ；在区间 (2,+ ) , g (x) 0，
所以 g ( x)单调递减区间为（0，2），单调递增区间为 (2,+ )，…………………3 分
极小值为 g (2) = 2 2ln 2 a ，无极大值．…………………………4 分
（2）（i） h (x) = x a ln x 有两个零点．
a x a
因为 h (x) =1 = ，
x x
①当 a 0时， h (x) 0 ， h (x)单调递增，不可能有两个零点；…………………6 分
②当 a 0时，令 h (x) 0 ，得0 x a ， h (x)单调递减；
令 h (x) 0 ，得 x a， h (x)单调递增，所以 h (x) = h (a) = a a ln a
min
要使 h (x)有两个零点，即使 h (a) 0 ， a a ln a 0,ln a 1，得 a e ，
又因为 h (1) =1 0， h (e) = e a 0，所以 h (x)在（l，e）上存在唯一一个零点，
且 a e ，由（1）可知， x 2ln x a 2 2ln 2 a ，
所以 x 2ln x 2 2ln 2 0，即有 a 2ln a 0 ea a2 0，即
h(ea ) = ea a2 0，所以 h (x)在 (e,ea )上存也唯一一个零点，符合题意．………9 分
综上，当 a e 时，函数 h (x)有两个零点． …………………………10 分
（ii） xex a (ln x + x) = xex a ln (xex ) = 0(x 0)有两个实数解，令 t = xex ，
y = t a ln t 有两个零点 t1 ， t2 ，
t1 a ln t1 = 0
t1 = x1e
x1 ； t2 = x e
x2
2 ，所以 ，
t2 a ln t2 = 0
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所以 a (ln t2 ln t ) = t t （*）， 1 2 1
a (ln t + ln t ) = t + t （**）， 2 1 2 1
要证 x x x1+ x21 2e e
2 ，只需证 (x x xe 1 ) (x e 2 ) e2 ， 1 2
即证 (x x1 ) xln 1e + ln (x2e 2 ) 2，所以只需证 ln t + ln t 2．…………………………13 分 1 2
t 2 t
+1 ln
2
t + t t
由（ ）（ ）可得 2 1 ( ) 1
t1
* ** ln t2 + ln t1 = ln t2 ln t ， 1 =
t2 t t1 2 1
t1
t 2 t2
+1 ln
t1 t只需证 1 2，
t2 1
t1
t t 1 4
设 0 t t ，令 t = 2 ，则 t 1，所以只需证 ln t 2 ，即证 ln t + 2 0 ， 1 2
t t +1 t +11
2
4 1 4 (t 1)
令 h (t ) = ln t + 2，t 1，则 h (t ) = = 0 ，h (t )在 (1,+ )上递增， 2 2
t +1 t (t +1) t (t +1)
4
所以 h (t ) h (1) = 0 ，即当 t 1时， ln t + 2 0 成立．
t +1
所以 ln t1 + ln t 2，即 (x xe 12 1 ) (x x2 2 ，即 x x1+ x2 22e ) e 1 x2e e ．……………………16 分
试卷第 3 页，共 3 页2022-2023学年度第二学期
高二年级期中检测数学试卷
满分：150分 考试时间：100分钟
注意事项：本试卷分为第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试
时间100分钟．
第 I 卷（共60分）
一、选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在每题列出的四个选项中，只有
一项最符合题目要求．）
1．下列函数的求导正确的是（ ）
． (
1
A x 2 ) = 2x B． (xcos x) = cos x xsin x C． (ln10) = D． (2ex ) = ex
10
2．若C7 = C11，则C16n n n =（ ）
A．17 B．153 C．306 D．969
3．从2名男生和3名女生中任选2人参加党史知识演讲比赛，则至少有一名男生被选中的
概率是（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
4．函数 f (x) = x 2lnx 的单调递增区间是（ ）
A． ( ,0)和 (0,2) B． (2,+ ) C． ( , 2) D． (0,2)
n
5．在 (a + b) 的二项展开式中，若二项式系数和为64，则 n =（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．函数 f (x) = ex + sin x 在点 (0,1)处的切线与直线 2x ay +1= 0 互相垂直，则实数a等于
（ ）
1
A． 2 B． 4 C． D．2
2
6
a
7． 2x 展开式中的常数项为 160，则 x
2 项的系数为（ ）．
x
A．240 B．120 C．180 D．-240
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1
8．若函数 f (x) = x3
1
+ (a + 2) x2 + 2ax +1在 x = 2 时取得极小值，则实数 a的取值范围
3 2
是（ ）
A． (2,+ ) B． 0,2 C． ( , 2) D．( , 2) (2,+ )
2 8
9．若离散型随机变量 X B n, ，且D (X ) = ，则 P (X 2) =（ ）
3 9
32 11 16 49
A． B． C． D．
81 27 27 81
10．函数 f ( x)的定义域为R ，它的导函数 y = f (x)的部分图像如图所示，则下列结论
正确的是（ ）
A． x =1是 f ( x)的极小值点
B． f ( 2) f ( 1)
C．函数 f ( x)在 ( 1,1)上有极大值
D．函数 f ( x)有三个极值点
11．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，
则不同的站法有（ ）
A．728种 B．848种 C．918种 D．1008种
16x2 24x + 9， x 1，
12．已知函数 f (x) = 1 则下列结论：
f (x 1)， x 1．
9
① f (n) = 91 n ,n N*；
1
② x (0,+ ) , f (x) 恒成立；
x
1
③关于 x的方程 f (x) = m(m R)有三个不同的实数解，则 m 1；
9
n
④关于 x的方程 f ( 2x) = 91 n (n N* )的所有解的和为 n + ．
3
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(本大题共 9 题，每题 5 分，两个空的，答对一个3分，全对5分，共 45 分．）
2
13．质点M按规律 s (t ) = (t 1) 做直线运动（位移单位：m，时间单位：s ），则质点M在
t = 3s时的瞬时速度为___________．
n
x 4
14．二项式 + 的展开式的第5 项为常数项，则 n = __________．
2 x
15．已知函数 f ( x)的导函数为 f (x)，且 f (x) = x3 + 2xf (1) 1，则 f (1) = ______．
16．函数 f ( x)的定义域为R ， f ( 1) = 2，对任意 x R ， f ( x) 2，则 f (x) 2x + 4的
解集为__________．
17．已知函数 f (x) = x3 + 3x2 9x +1在区间 k , 2 上的最大值为28，则实数 k 的取值范围
为__________．
4 3
18．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为 和 ，且各次射击的结果互不影响.
5 4
则甲射击5次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击1次，至少有1人
击中目标的概率为______.
19．过点 (0，2)与曲线 f (x) = ln x+ 2相切的切线方程为___________．
20．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经
过初赛，共 7 人进入决赛，其中高一年级 2 人，高二年级 3 人，高三年级 2 人，现采取
抽签方式决定演讲顺序，设事件 A为“高二年级 3 人相邻”，事件 A的排法为__________
种（用数字作答）；在事件 A “高二年级 3人相邻”的前提下，事件 B “高一年级 2人不相
邻”的概率 P (B A)为__________．
ln x
21．设函数 f (x) = x2 2ex + a（其中 e为自然对数的底数），若函数 f (x) 至少存在
x
一个零点，则实数 a的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共 3 题，共 45 分．）
22．（本小题满分14分）
某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高
二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
（1）设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A
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发生的概率；
（2）设 X 为选出的4人中男生的人数，求随机变量 X 的分布列和均值.
23．（本小题满分15分）
1 a
设函数 f (x) = x3 x2 + bx + c ，曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y =1．
3 2
（1）求b ， c 的值；
（2）若 a 0，求函数 f ( x)的单调区间；
（3）设函数 g (x) = f (x) + 2x，且 g ( x)在区间 ( 2, 1)内存在单调递减区间，求实数 a的
取值范围．
24．（本小题满分16分）
已知函数 f (x) = x 2 ln2 x a ln x (a R )．
（1）令 g (x) = xf (x)，讨论 g ( x)的单调性并求极值；
（2）令 h (x) = f (x) + 2 + ln2 x ，若 h (x)有两个零点；
（i）求a的取值范围：
（ii）若方程 xex a (ln x + x) = 0有两个实数解 x1 ， x ，2 x1 x x x e
x1+ x2 e2
2 ，证明： 1 2 ．
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