2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
数学试题参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D B C D A A C BCD AD ABD ACD
1.D
2.D ，
故
3.B ，，切线，即，则点到直线的距离为
4.C ，得，则
5.D 法1：
法2：
6.A 有，得
由，得，，即，故
7.A ，，
当时，
当时
8.C
设，则，得在上单增
则
设，则，得在上单增，在
上单减，则，故
9.BCD
A错
B对，
C对，
D对，，由，得
10.AD
A对，设动点，则，即
B错，直线过定点，点在圆内
C错，圆心在上，代入得.
D对，
11.ABD
A对，，在上单减，在上单增
B对，设，，在上单减，
又，则在上有且只有一个零点.
C错，，设，则
，在上单减.当时，，
则无最小值，故不恒成立.
D对，设由得，即，
即
设则在上单
减，，故
12. ACD
A对，设点，则有，得，
，又，得
则点，即，故点在准线上
B错，点在以为直径的圆上，则，即
C对，设点在准线上得射影分别是，则，得，即
D对，由，得，，则，
得
三、填空题：
13. 3 14. 35 15. 0.07 16.（1） 1 （2） 88
13. 3
，，得，
14. 35
15. 0.07
，
16.（1） 1 （2） 88
（1），
，
所以，所以；
（2）当时，，解得，因为，所以，
当时，，所以，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，因为，所以，所以，
当时，，即，
所以，
令，
则，
因为，，，
所以，
，
因为，，，
所以，
所以，即
四、解答题
17.（1），当时， ………………………………1分
由，得
当时，，在上单增
当时，，在上单减 ………………………………………………3分
故当时，有极大值，无极小值. ……………………………………………………5分
（2）在上恒成立
即在上恒成立， ………………………………………………7分
又 …………………………………………………………………………………8分
则. …………………………………………………………………………………10分
（说明：结果不带等号的只扣1分）
18.（1）的可能取值为、、
…………………………………………………………………4分
的分布列为
0 1 2
0.874 0.122 0.04
故次数的数学期望为0.13. ……………………………………………………………………6分
（2）依题意，可知、款手机发生屏幕意外损坏分别有24000×0.05＝1200部，10000×0.08＝800部 ………………………………………………………………………………………………8分
屏幕更换总成本为1200×400+800×600＝960000元
碎屏险总收入为24000+10000×50
业务收入为24000+10000×50－960000＝24000－460000 …………………………………10分
则24000+10000×50－960000≥500000，得，
故款手机的碎屏险费最低应定为40元.………………………………………………………12分
19.（1）由四边形是平行四边形，，得四边形是矩形，则
………………………………………………………………………………………………………1分
由，，，、面，得面，又面，则 ……………………………………………………………3分
由四边形是菱形，得
由，，，、面，得面
………………………………………………………………………………………………………5分
（2）由（1）可知，面，又面，得面面
由四边形是菱形，，得是正三角形.
取、的中点分别为、，连，，则，.
由面面，，＝
得面…………………………………………………………………………………6分
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示
则
，， ……………………………………7分
面的一个法向量为 ………………………………………………………8分
设面的一个法向量为
由，令，得…………………………10分
设二面角的大小为
则 …………………………………………11分
故二面角的正弦值为.…………………………………………………………12分
20.（1）当时，，又
得，即 ……………………………2分
当时，， ……………………………………………………………3分
又，得，
当时，
当时，符合上式
综上，得………………………………………………………………………………6分
（2）…………………………………………………………………8分
……………10分
由，得，，即.………………………………12分
21.（1）依题意，得，解得
则椭圆.………………………………………………………………………………4分
（2）设直线，点，
由，消，得
得，且…………………………………………6分
由，得，即，
即
则
即，
即，或 ………………………………………………9分
当时，直线过定点，不合题意，故舍去.
当时，直线过定点 ……………………11分
又，故直线与的交点在以和所连线段为直径的定圆上 .…12分
22.（1）当时，，…………………………1分
得当时，，在上单增
当时，，在上单减
则当时，有最大值 ……………………………………………………………4分
（2）当时，，
①，，在上单减……………………6分
由，得，，则
又，
（说明：也可以）
由零点存在性定理可知，存在唯一使，即………………7分
得当时，，，在上单增
当时，，，在上单减
则在处取得极大值，即存在唯一的极值点.…………………………………8分
②由①可知，，即
由，且，得
由，得，
两式相除，得 ………………………………………………………………………9分
由（1）可知，，即，则，
则，， ……………10分
法一
设，则
得在上单减，则，
得，则………………11分
又
得
故成立. 证毕………………………………………………………12分
法二
（同上）………………………………………………………………………………………………10分
设，则
得在上单减，则，
得，则
故成立. 证毕………………………………………………………12分2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高二期中联考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数，则（ ）
A．-1 B．5 C．4 D．3
2.若随机事件，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线为曲线在点处的切线，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．10
0 1 2 3
4.已知随机变量的分布列如右表，
则的均值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
5.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.设（是自然对数的底数），，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7.已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8.若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．四面体是鳖臑
B．阳马的体积为
C．若，则
D．到平面的距离为
10.在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．直线与曲线的位置关系无法确定
C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D．的最大值为3
11.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
12.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（ ）
A．点在抛物线的准线上 B．
C． D．若，则的值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在等比数列中，，则______________.
14.的展开式中的系数是______（用数字作答）.
15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为__________________.
16.黎曼猜想由数学家波恩哈德 黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题
（1）_____；（其中表示不超过的最大整数，如）
（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则
_________.（参考数据：）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知函数（，是自然对数的底数）.
（1）若，求的极值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围.
18.（12分）手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：
碎屏险费/元 50
屏幕意外损坏概率 0.05 0.08
（1）某人分别为款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为，求的分布列和数学期望.
（2）已知在该手机厂商在售出的两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求款手机的碎屏险费最低应定为多少？（业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本）
19.（12分）如图，已知三棱柱中，，四边形是菱形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角
的正弦值.
20.（12分）已知数列的前项和为，.
（1）求的值，并求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：.
21.（12分）已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，，证明：直线和直线的交点在一个定圆上.
22.（12分）已知函数（是常数，是自然对数的底数）.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当时
①证明：函数存在唯一的极值点.
②若，且，证明：.
