三角形的中位线（1[下学期]
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文档简介
三角形的中位线（一）
一、教学目的和要求
使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。
通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。
二、教学重点和难点
重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。
难点：证题中正确添加辅助线。
三、教学过程
（一）复习、引入
提问：
1、平行线等分线段定理的内容
2、叙述定理的两个推论（画图示意）
练习：见图1
AD是中BC边上的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，若AF=2，求AC的长。
A
F
E
M
B D C
图1
过D点作BF的平行线交AC于M，因为BD=DC，AE=ED，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC，所以AC=6。
如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？
已知：D、E是中AB、AC边的中点，则DE//BC。这就是我们今天将要研究的课题。
（二）新课
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
DE叫做的中位线。
注意：
1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。
2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。
每个三角形有三条中位线。
下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
已知：如图2，中，AD=DB，AE=EC
求证：
A
D 1 E F
2
B C
图2
分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。
证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF
在中
四边形DBCF是平行四边形。
DE//BC
小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？
1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。
2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3. 三角形中位线定理。
例1 已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF
C
D
F
A E B
图3
分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。
AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。
证明：
分别是AB、AC的中点
例2 求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
已知：矩形ABCD中，H、E、F、G分别是四边AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形HEFG是菱形。
A G D
H F
B E C
图4
分析：判定菱形，可以用一组邻边相等的平行四边形；四边相等的四边形……。
分析题目条件中，由于中点条件较多，联想到三角形中位线定理，利用对角线将矩形分割成三角形，则得到所证四边形各边均等于对角线的一半，而矩形的对角线相等。
证明：连结AC、BD。
此题还可以用全等三角形证明四边相等，但不如利用三角形中位线简便。
例3 已知：如图139，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，的平分线交AC于E，交DC于F。
A D
O
F
3 4 E
1 G
2
B C
图5
求证：
分析：观察图形，在中，DF是底边，O是BD的中点，如果E也是BF中点，那么可得。但是显然E不是BF中点，所以我们要做出这个三角形的中位线，再证明OE就等于中位线长。作OG//DF，那么。只需证OG=OE。
证明：过点O作OG//DC，交BF于Ｇ
在正方形ABCD中，
此题还可以把OE看成是三角形的中位线，作出三角形的底边，再证DF等于三角形的底边。即过D点作AC的平行线交BF的延长线于H，则，只需证DF=DH即可。
（三）巩固练习
1. 已知顺次连结三角形各边中点所成三角形的周长是10cm，求原三角形的周长。(20cm)
2. 求证：任意四边形一组对边中点的线段，小于两条对角线和的一半。
已知：如图140，四边形ABCD中，M，N分别为AD、BC边的中点。
A M
D
E
B N C
图6
证明：取AB的中点E，连结EM、EN
（四）小结
今天所讲的三角形中位线定理很重要，它的应用广泛且灵活。添加辅助线要根据图形具体分析，可以过三角形的一边中点作底边的平行线；若有两个或两个以上中点时，连结边的端点构造成三角形的中位线的形式。
（五）作业
1. 已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为60cm，连结三边中点，求所得三角形各边长。
2. 已知，在四边形ABCD中，对边AD=BC，P是对角线BD的中点，M、N分别是DC、AB的中点。求证：。
3. 在中，于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。求证：四边形DEFG是等腰梯形。
4. 四边形ABCD两条对角线AC、BD相等，M、N为一组对边的中点，MN交BD于E、交AC于F，两对角线交于O。
求证：是等腰三角形。
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一、教学目的和要求
使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。
通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。
二、教学重点和难点
重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。
难点：证题中正确添加辅助线。
三、教学过程
（一）复习、引入
提问：
1、平行线等分线段定理的内容
2、叙述定理的两个推论（画图示意）
练习：见图1
AD是中BC边上的中线，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于F，若AF=2，求AC的长。
A
F
E
M
B D C
图1
过D点作BF的平行线交AC于M，因为BD=DC，AE=ED，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC，所以AC=6。
如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？
已知：D、E是中AB、AC边的中点，则DE//BC。这就是我们今天将要研究的课题。
（二）新课
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
DE叫做的中位线。
注意：
1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。
2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。
每个三角形有三条中位线。
下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
已知：如图2，中，AD=DB，AE=EC
求证：
A
D 1 E F
2
B C
图2
分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。
证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF
在中
四边形DBCF是平行四边形。
DE//BC
小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？
1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。
2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3. 三角形中位线定理。
例1 已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF
C
D
F
A E B
图3
分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。
AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。
证明：
分别是AB、AC的中点
例2 求证：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
已知：矩形ABCD中，H、E、F、G分别是四边AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形HEFG是菱形。
A G D
H F
B E C
图4
分析：判定菱形，可以用一组邻边相等的平行四边形；四边相等的四边形……。
分析题目条件中，由于中点条件较多，联想到三角形中位线定理，利用对角线将矩形分割成三角形，则得到所证四边形各边均等于对角线的一半，而矩形的对角线相等。
证明：连结AC、BD。
此题还可以用全等三角形证明四边相等，但不如利用三角形中位线简便。
例3 已知：如图139，正方形ABCD中，AC、BD交于O点，的平分线交AC于E，交DC于F。
A D
O
F
3 4 E
1 G
2
B C
图5
求证：
分析：观察图形，在中，DF是底边，O是BD的中点，如果E也是BF中点，那么可得。但是显然E不是BF中点，所以我们要做出这个三角形的中位线，再证明OE就等于中位线长。作OG//DF，那么。只需证OG=OE。
证明：过点O作OG//DC，交BF于Ｇ
在正方形ABCD中，
此题还可以把OE看成是三角形的中位线，作出三角形的底边，再证DF等于三角形的底边。即过D点作AC的平行线交BF的延长线于H，则，只需证DF=DH即可。
（三）巩固练习
1. 已知顺次连结三角形各边中点所成三角形的周长是10cm，求原三角形的周长。(20cm)
2. 求证：任意四边形一组对边中点的线段，小于两条对角线和的一半。
已知：如图140，四边形ABCD中，M，N分别为AD、BC边的中点。
A M
D
E
B N C
图6
证明：取AB的中点E，连结EM、EN
（四）小结
今天所讲的三角形中位线定理很重要，它的应用广泛且灵活。添加辅助线要根据图形具体分析，可以过三角形的一边中点作底边的平行线；若有两个或两个以上中点时，连结边的端点构造成三角形的中位线的形式。
（五）作业
1. 已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为60cm，连结三边中点，求所得三角形各边长。
2. 已知，在四边形ABCD中，对边AD=BC，P是对角线BD的中点，M、N分别是DC、AB的中点。求证：。
3. 在中，于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。求证：四边形DEFG是等腰梯形。
4. 四边形ABCD两条对角线AC、BD相等，M、N为一组对边的中点，MN交BD于E、交AC于F，两对角线交于O。
求证：是等腰三角形。
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