襄阳三中高一年级四月月考试题（数学） 18、已知函数 g(x)= 3 sin(ωx+φ)，g(x)图像上每一点的横坐标缩短到原来的 ,得到 f（x)的图像，f（x)
2
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求）
的部分图像如图所示，若 AB BC | AB |2 ,则ω等于（ ）
1．已知复数 z满足 z z 2i，则 z的虚部是（ ）
A． 1 B．1 C． i D．i A. B. C. D.12 6 4 2
2．已知角θ的终边过点 1, 1 ， cos( ) （ ）
2
A 2 2． B． C． 1 D．1
2 2 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在给出的选项中，至少有一项符合要求，选
1 错得 0 分，部分选对得 2 分。）
3．已知点 D是 ABC所在平面上一点，且满足BD BC，则 AD （ ） 9．用一个平面去截正方体，则截面可能是( )2
1 1 1 1 3 1 A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
A． AB AC B． AB AC C 1 3． AB AC D． AB AC
2 2 2 2 2 2 2 2 10．已知向量OA (3, 4)，OB (6, 3)，OC (5 m, 3 m)，若 ABC为锐角，则实数m可能的
4 | a | | b |
3
．已知 3，e是与向量b 方向相同的单位向量，向量a在向量b 上的投影向量为 e，则a与2 取值是（ ）
1 1
b 的夹角为（ ） A． B． 0 C． D．2 2
1
A．30 B．60 C．120 D．150 11.在 中，已知 ，且 ，则 c的值可以是
5．已知向量 a (sin , 2),b (1,cos ) ，且 a b ，则 sin 2 cos2 的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D.
1 1
A．1 B．2 C． D．3 12． ABC中，D为边 AC上的一点，且满足 AD DC，若 P为边 BD上的一点，且满足
2 2
6、已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积 AP mAB nAC m 0,n 0 ，则下列结论正确的是（ ）
为 8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
m 2n 1 mn 1
A．12 2π B．12π C．8 2π D A． B． 的最大值为．10π 12
4 1
2 2 1
f (x) 5x 2sin x
C． 的最小值为6 4 2 D．m 9n 的最小值为 2
7、函数 x x (x∈[-π,0) ∪(0,π])
m n
的大致图象为（ ）
3 3
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
a
13．已知向量 1,2 ,b 2,m ， a b与 a b 垂直，则m __________．
14．已知扇形的周长为6，圆心角为 2，则扇形面积的值是___________.
15．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1的各条棱长均为 2，D为棱 B1C1上任意一点，
则三棱锥 D－A1BC的体积是________．
试卷第 1页，总 2页
16．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，
成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．
如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个
小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD，
若直角三角形中 AF a，BF b，较小的锐角 FAB ．
a b若
2 196
，正方形 ABCD的面积为 100，
20、在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 b＋c＝2acos B.
sin cos
则cos2 ________， 2 2 ________． (1)证明：A＝2B；
2
(2) a若△ABC的面积 S＝ ，求角 A的大小．
4
四、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分）
17．已知向量 a (3,1)， b 5， a a b 15 .
21.已知函数 f x 2sin x t 0
,且 f x 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ,
（1）求向量 a与b夹角的正切值； （2）若 a b a 2b ，求 的值. 6 2
图象过点 0,1 .
π
，π
18．已知α∈ 2 ，且 sin α cos α 6＋ ＝ . （1）求 f x 的表达式和 f x 的单调增区间；
2 2 2
π π g x f x k , 5 ， + 取值范围
(1)求 cos α的值； (2)若 sin(α β) 3－ ＝－ ，β∈ 2 ，求 cos β
（2）若函数 在区间 上有且只有一个零点,求实数 k的的值． 12 125
19、在①3asinC＝4ccosA； ②2bsin ＝ asinB这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然
22．（12分）已知函数 f x sin x cos x， g x sin 2x f x ．
后解答补充完整的题．
在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知_______，a＝3 ． π（1）当 x ,0
时，求函数 g x 的值域； 2
（1）求 sinA；
x x
（2）如图，M为边 AC上一点，MC＝MB，∠ABM 9 1＝ ，求边 c． （2）设h x ，当 x 0, 时，不等式mh h x 0恒成立，设实数m的取值范围对应的集合为9x 1 2
M ，若在（1）的条件下，恒有 ag x M （其中 a 0），求实数 a的取值范
试卷第 2页，总 2页
试卷第 3页，总 1页襄阳三中高一年级四月月考试题参考答案（数学） （2）因为∠ABM＝ ，设 BM＝CM＝m，由图可得 cos∠BMC＝﹣cos∠BMA＝﹣sinA＝﹣ ，
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6. B 7. A 8. A 9．BCD 10．ABD 11．AB 12．BD 在△BMC中，由余弦定理可得 BC2＝BM2+CM2﹣2BM CM cos∠BMC，而 BC＝a＝3 ，
9 7
13． 14 15 2 3 16 10． ． ． 所以 18＝2m2﹣2m2（﹣ ），解得 m＝ ，在 Rt△ABM中，c＝AB＝ ＝ ＝ ．………6分4 3 25 5
四．解答题 若选②，则答案为：（1）因为 2bsin ＝ asinB，所以 2bsin ＝ asinB，
r
17 1 a 3,1 2 2．解：（ ）因为 ，所以 a 3 1 10 .
由正弦定理可得 2sinBcos ＝ sinAsinB＝2 sin cos sinB，
2 2 设向量 a与b的夹角 ，则 a a b a a b a a b cos 10 5 10 cos 15，解得 cos 10 . 因为 sinB≠0，cos ≠0，所以 sin ＝ ，cos ＝ ，
10
sin 所以 sinA＝2sin cos ＝2 ＝ ，………………6分
又 0, ，所以 sin 1 cos2 3 10 ，故 tan 3 .
10 cos （2）答案同选①．………………6分
2 2 20.解：(1)证明 由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B，（2）因为 a b a 2b ，所以 a b a 2b a 2 1 a b 2b 0，
故 2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
即10 5 2 1 50 0 11 ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，，解得 .
4 于是 sin B＝sin(A－B)．
又 A，B∈(0，π)，故 0
所以 B＝π－(A－B)或 B＝A－B，
(1) sin α18．解 因为 ＋cos α 6 1 π 3＝ ，两边同时平方，得 sin α＝ .又 ＜α＜π，所以 cos α＝－ . 因此 A＝π(舍去)或 A＝2B，所以 A＝2B.
2 2 2 2 2 2
2
(2) S a 1 a
2
π π π π π 解 由 ＝ ，得 absin C＝ ，(2)因为 ＜α＜π， ＜β＜π，所以－π＜－β＜－ ，故－ ＜α－β＜ . 4 2 4
2 2 2 2 2
3 4 故有 sin Bsin C
1
＝ sin A 1＝ sin 2B＝sin Bcos B，
又 sin(α－β)＝－ ，得 cos(α－β)＝ .cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 2 2
5 5
由 sin B≠0，得 sin C＝cos B.
3
3 4 1 －5 4 3＋3＝－ × ＋ × ＝－ . B π2 5 2 10 又 ，C∈(0，π)，所以 C＝ ±B.2
当 B＋C π＝ 时，A π＝ ；
2 2
当 C－B π π＝ 时，A＝ .
2 4
π π
19、解：若选①，则答案为：（1）在①3asinC＝4ccosA， 综上，A＝ 或 A＝ .2 4
由正弦定理可得 3sinAsinC＝4sinCcosA，因为 sinC≠0，所以可得 tanA＝ ，
在△ABC中，所以 A∈（0， ），所以 sinA＝ ＝ ；………………6分
试卷第 1页，总 2页
22.【详解】（1） f x sin x cos x 2 sin x π
，当 x
π π
,0 x π π 时， , 4 2 4 4 4
，
21．（1） f x 2sin 2x 2，单调增区间 k , k (k Z ) 6 6 3 2 π 2 π sin x ， 1 2 sin x 1，即 1 f x 1，令 f x sin x cos x，
2 k 4 2 3 k 2 3 2
4 2
4
（ ） 或
f (x) 则
2
T 2 1 sin 2x， sin 2x
2 1， 1,1 ，由 g x sin 2x f x ，
解：（1）由题意，得 的最小正周期 ，则 ， 2
2
f (x)的图像过点 (0,1)， 2sin( ) t 1， t 2 得 y g x6
2 1 5 1
， 1,1 ， 当
1
时， y g x 5有最小值 ，
2 4 2 4
即 f x 2sin 2x
2 π
6 当 1时， y g x 有最大值 1， 当 x ,0 时，函数 g x
5
的值域为 ,1
．
2 4
令 2k 2x 2k ,k Z，解得 k x k ,k Z
2 6 2 6 3 3x 1 9x 1
（2）当 x 0, ，不等式m 0恒成立， x > 0时，3x 1 0，9x 1 0，
3x 1 9x 1
故 f x 的单调增区间为 k ,
k (k Z ) 6 3
3x 2 1 t 1
2
t 2 1 2t 2t 2
m 2 恒成立，令 t 3x，则 t 1
m 2 2 1 1 ，
x t 1 t 1 t
2 1 1，
（2）由（1）知 f x 2sin 2x
2， g x 2sin
2x
2 k 3 1 t
6 6 t
1
2
1 2 2
x ,
5
, 2x
,
2 1 1 又 t 1 ，当且仅当 t 即 t 1时取等号，而 t 1， 12 12 6 3 3 t 2 t tt
g x 2sin 2x 2 k6 t 1
2 5
2，即m 2， M m m 2 ．又由（1）知， g x 1，
t 2 1 4
g(x) 5 若函数 在区间
5
， 上有且只有一个零点. 当 a 0时， a ag x a， 12 12
4
k 2 要使 ag x M 恒成立，只需0 a 2， ay 的取值范围则函数 y sin(2x )的图像和直线 有且只有一个交点.
6 2
即曲线 y sin t, t
,
2 k 2
与直线 y 有且只有一个交点. 3 3 2
试卷第 2页，总 2页
试卷第 3页，总 1页