【2023中考二轮复习】特殊角的存在性问题专题探究（含答案）

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2023年中考数学存在性问题—— 特殊角的存在性问题专题探究
特殊角的存在性问题也是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，解题有一定的难度．因此对此类问题建立解题模型，则可以大大降低学生思维难度。
解题攻略
【基本概念】
特殊角存在性问题在坐标系中可以由以下几种方式得到：
等腰直角三角形的性质；
平行线的性质；
等边三角形的性质；
等角三角函数相等。
直角三角形性质。
2.【基本题型】
（1）30°，60°特殊角
（2）90°的特殊角
（3）45°的特殊角
（4）15°的特殊角
3.【解题思路】
（1）运用三角函数值；
（2）遇45°构造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°构造等边三角形；
（4）遇90°构造直角三角形。
典例剖析
1.遇45°构造等腰直角三角形
例1.如图，抛物线与y＝－x2＋x＋2与直线y＝x＋2交于C，D两点，点P是直线CD上方的抛物线上一点，PE⊥x轴于点E，交CD于点F，∠PCF＝45°，求点P的坐标．
例2.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是四边形OABC的面积的，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
变式训练1
1.如图，已知直线与抛物线相交于，两点，抛物线的顶点是，点在轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
2.遇30°，60°构造等边三角形
例3.如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
变式训练2
1.如图，抛物线y＝x2－12与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P在抛物线上，且∠APB＝60°，求点P坐标．
3.遇90°构造直角三角形。
例3.已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ，求点K的坐标．
变式训练3
如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
答案解析
例1.【解答】延长PC交x轴于点A，过点A作AG⊥AC，交直线CD于点G，设A（a，0），
易得G（a－2，－a），代入y＝x＋2，得a＝－ ，∴A（－，0），∴AC：y＝3x＋2．
联立，得P（，）
例2.【答案】见解析.
【解析】解：（1）OA＝2＝BC，函数的对称轴为x＝1，则x1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：yx2x③；
（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；
∵△ADR的面积是四边形OABC的面积的，
∴AD×|yR|OA×OB，则6×|yR|2，解得：yR＝±④，
联立③④，解得，
故点R的坐标为（1，4）或（1，4）或（1，﹣4）或（1，﹣4）；
（3）作△PEQ的外接圆R，
∵∠PQE＝45°，
故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，
当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，
点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），
则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，
过点R作RH⊥ME于点H，
设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，
则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），
S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，
即EM EDMD×RQED yRME RH，
∴4×35m4×m3×m，解得m＝6084，
故点P（1，120168）．
变式训练1
【解答】解：（1）将点代入直线得，
，
，
直线，
当时，代入直线得：，
解得：，
点坐标，
设抛物线表达式为，将点代入抛物线得，
，
解得：，
抛物线表达式；
（2）当以、、、为顶点的四边形是矩形时，有两种情况：
①如图，当为边时，
设点，
已知点，点
，，，
，即，
解得，
即点的坐标，
延长交轴于点，作轴于，交的延长线于点．
由，可得，
，
，
，
②如图，当为对角线时，
取线段的中点，作辅助圆，与轴交于点，，作轴于点，
点坐标，，即，
由①可得线段，
半径，
在△中，，，
，
根据垂径定理可得，，
点坐标，点坐标；
综上所述，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，点坐标为：或或或；
（3）存在点的横坐标为或，使．
理由如下：假设存在满足条件的点，如图，
当四边形为正方形，且点，分别在直线和直线上时，，
设过线段中点，且与线段垂直的直线：，
将点代入得：，
解得，
直线为，
设点点坐标，
在中，，，
，
解得，
，
解得，，
点坐标，点坐标，
设直线表达式为：，将点，点代入得，
，
解得，
直线的表达式为，
同理可得直线的表达式为，
联立直线与抛物线可得，
，
解得，，
同理联立直线与抛物线可解得，，
点的横坐标为或．
例3.【答案】见解析.
【解析】解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2﹣2x．
（2）设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．
∵yx2﹣2x（x﹣3）2﹣3，
∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），
∴OM＝3．BM＝3，
∴tan∠MOB，
∴∠MOB＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，
∴MN＝OM tam30°，
∴N（3，），
∴直线ON的解析式为yx，
由，解得或，
∴D（5，）．
变式训练2
解：A（－，0），B（，0），在y轴上取点M（0，2），设P（t，t2－12），易得∠AMB＝120°，
（1）点P在x轴上方时，以M为圆心，MA＝4为半径画圆，与抛物线交于点P，
点P即为所求，MP2＝MB2＝16，t2＋（t2－12－2）2＝16，t4－27t2＋180＝0，
（t2－12）（t2－15）＝0，t2＝12或t2＝15，∴P（±，0）（舍去），（±，3）；
（2）当点P在x轴下方时，M（0，－2），MP2＝MB2，t2＋（t2－12＋2）2＝16，
t2＝12（舍）或t2＝7，t＝±，P（±，－5）；
故点P的坐标为（±，3），P（±，－5）．
例3.【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵二次函数图象过点C（0，4），
∴4＝a（0+2）（0﹣4），
∴a，
∴二次函数的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4；
（2）存在，
理由如下：取BC中点Q，连接MQ，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC4，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：
∴直线BP的解析式为：yx，
∵∠BMC＝90°
∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M（c，c），
∵点Q是Rt△BCM的中点，
∴MQBC＝2，
∴MQ2＝8，
∴（c﹣2）2+（c2）2＝8，
∴c＝4或，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c，则点M坐标（，），
故线段PB上存在点M（，），使得∠BMC＝90°；
（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，
∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE，
∵点B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E（n，﹣n+4），
∴﹣n+4，
∴n，
∴点E（，），
在Rt△DNE中，NE.
①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），
∵NE＝BN﹣BE，
∴（4﹣m），
∴m，
∴点N（，），
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立y＝4x﹣4，x2+x+4
得：点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；
②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），
∵NE＝BE﹣BN，
∴（4﹣m），
∴m，
∴点N（，），
∴直线DK解析式为：yx，
联立yx，x2+x+4，
得点K坐标为（，）或（，），
综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．
变式训练3
【答案】见解析.
【解析】解：（1）直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
所以抛物线的表达式为：yx2x+2；
（2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，
由点A、B′的坐标得，直线AB′的表达式为：yx﹣2，
联立yx2x+2，yx﹣2，解得：x＝3或﹣2，
故点P的坐标为（3，）或（﹣2，﹣3）；
（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠MNC＝90°，
∴∠MNO+∠CNH＝90°，
∠CNH+∠NCH＝90°，
∴∠MNO＝∠NCH，
∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，
解得：mn2n；
②mn2n，
∵0，故m有最大值，当n时，m的最大值为，
而m＞0，
故0＜m时，符合条件的N点的个数有2个．
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