2021 级高二下学期学情检测调研试题（1）
数学试卷 2023.4
一、单项选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知直线 l : 2x y 3 0与 l : x ay 1 0平行，则 l1, l1 2 2之间的距离为（ ）
4 5
A. 1 B. 2 C. D. 5
5
2
2.已知圆O1：x y
2 4x 8y 5 0与圆O2：(x 2)
2 y2 r2(r 0) 只有一个公共点，
则 r （ ）
A．1 B．4 C．9 D．1 或 9
3.在 54 张扑克牌中取出 13 张红桃，按大小排好，现取出梅花Q,K 插入红桃牌中，则 15 张
扑克牌的排法种数是（ ）
A. 12 B. 182 C. 210 D. 364
4.能源是一个国家发展的基础，火力发电是现今社会能源来源的主要途径，但火力发电影响
全球气候变暖等有关问题．为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续
发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是
旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其
虚轴旋转所形成的曲面（如图 1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为1: 20（图
2 2 1
纸上的尺寸单位：m），图纸中单叶双曲面的方程为 x y z 4 0( 3 z 2)（如
6
图 2），则该冷却塔占地面积为（ ）
A．70 m2 B．1400 m2 C．200 m2 D．140 m2
5.已知 (x 1)
10 a0 a1(1 x) a2 (1 x)
2 a10(1 x)
10
，则（ ）
A. a0 a1 a2 a10 1024 B. a10 1
a a a 1
C. a1 5120 D. a
1
0
2 10
2 22 210 1024
6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的
三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第 10 行所有数字的平方和等于（ ）
C10 11 10 11A. 20 B. C20 C. A20 D. A20
2
7.已知抛物线 y ax 的焦点为 F，直线 y (1 3)x 2与抛物线交于两个不同的点 A，
B．如果 AF ，2， BF 成等差数列，那么a等于（ ）
A． 1 B．2 C．4 D．8
8.已知关于 x的方程ex sin x x 1在 x (0, )上解的个数为（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.已知数列 an 前n项和为 Sn ，a1 1,a2 2,an 2 3an 1 2an 0 ，则下列正确的是（ ）
100
A. 数列 an 1 an 为等比数列 B. a100 2
n n 1
S 2n
2 2 2
C. n 1 D.数列 的前n项和为
S S n 1 n n 1 2 1
1
10.在（ x ）7 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
x
A. 展开式的二项式系数和是 128 B. 只有第 4 项的二项式系数最大
C. x 2 的系数是 7 D. 展开式中的有理项共有 3 项
11.在三棱柱 ABC - A1B C 中，M , N1 1 分别是 A1B, B1C1上的点，
且 BM 2A1M ,C1N 2B1N .设 AB a, AC b, AA1 c ，若
BAC 90 , BAA1 CAA1 60 , AB AC AA1 1，则下
列说法中正确的是（ ）
1 1 2 5
A．MN a b c B．∣MN∣
3 3 3 3
1
C． A1B A1C1 D．直线 AB1与BC1所成的角为30
2
x2 y2
12.已知椭圆C : 1(a b 0)一个焦点是F (2,0)，过点F 且垂直 x轴的直线 l0 交椭圆
a2 b2
第一象限于点T (2, 2) . 直线 l1平行于OT （O为原点），且与椭圆C 交于M , N 两点，与
直线 l0 交于点 P （ P 介于M , N 两点之间）.则下列正确的是（ ）
x2 y2
A.椭圆C 的方程为 1 B. kTM kTN 4
8 4
C.△TMN 面积最大值是2 2 D. | TM | | PN | | TN | | PM |
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知数列 an 的前n项和为 Sn ，a 2，SnSn 1 an 0(n 2,n N)，则 Sn 1 .
14.已知直线 l1：ax y 4 0与 l1：x ay 4 0(a R)相交于点M ，过点M 作圆
C：(x 1)2 (y 1)2 1的切线，切点为 N ，则|MN|的最大值为 .
15.直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面为正方形，E，F 分别是上底面 A1B1C1D1、下底面 ABCD
的中心，F 在平面BCE内的射影恰好为 BCE的重心, AB mAA m 1，则 .
已知直线 y kx b是曲线 f (x) ex 3 g x ex 202216. 与 2022的公切线，则 k .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）某学校高二 1 班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有“记者在线”、“机
器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
(1)求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
(2)已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.
18. （12 分）如图，在四棱锥P ABCD中， PAD为等边
三角形，M 为 PA的中点，AD∥BC，AD 2BC ，AB 2 ，
BC 1, AB AD，平面PAD 平面 ABCD．
(1)证明：DM 平面PAB；
(2)求平面PAB与平面PCM所成锐二面角的余弦值.
19. （12 分）正项数列 an 的前n和为 Sn ，
且 2Sn a
2
n an (n N )．
(1)求数列 an 的通项公式；
a a a a a
(2)设b 1 2n
3 n 1 n ，求数列 bn 的前n项和T .
3n 3n 1 3n 2 32
n
3
x
20．（12 分）已知函数 f (x) e mx3 （m为非零常数）.
(1)若函数 f (x) 在 (0, )上是增函数，求实数m的取值范围；
(2) 若 fn 1(x) （n N ）表示 fn (x)的导函数， f0 (x) f (x)，当m 1时，设
gn(x) f2(x) f3(x) f (x)(n 2,n N)，若 y gn (x)n 的最小值恒大于零，求n的
最小值．
x2 y2
21．（12 分）已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的一条渐近线方程为 3x y 0，且左
a2 b2
焦点F 到渐近线的距离为 3 , 直线 l1、l2经过F 且互相垂直（斜率都存在），与双曲线C 分
别交于点 A、B和M、N ，D 、 E 分别为 AB 、MN 的中点.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：(ⅰ) 直线DE 过定点；
(ⅱ) DOE 与 DEF 的面积之比为定值．
2
22. （12 分）已知函数 f (x) mx 1 ln x 在点 (1, f (1))处的切线过点 ( 1,2) ，关于 x的
方程 f (x) n 0有两个实数根a,b(a b) .
(1)证明： f (x) 1 x
(2) 证明：b a 1 2n2021 级高二下学期学情检测调研试题（1）
数学试卷参考答案 2023.4
一、单项选择题: DDCB CACA
二、多项选择题: 9.ACD 10. AC 11. BC 12. ACD
三、填空题：
2
7 202213. 14. 15. 16.
2n 1 2 2025
四、解答题：
17.（10分）
解：（1）“每个项目都有人报名”，则 5名学生分三组，即人数分为 3,1,1或 2,2,1；
C3A3 C
2
5C
2
3
故此时报名情况有 35 3 2 A3 150种;…………………4分A2
(2) 记事件 A为“其中一项目恰只有三名学生报名”，事件 B为“只有甲同学一人报记者在线”．
A 3 3 3 2 2事件 为“其中一项目恰只有三名学生报名”,报名情况有C5 A3 C5C3 A2 120种,
P(A) 120所以 5 ,…………………6分3
若A， B同时发生，即其中一项目恰只有三名学生报名，且只有甲同学一人报“记者在线”，
则有C34A
2
2 8种,
8
所以 P(AB) 5 …………………8分3
8
P(B A) P(AB) 3
5 1
所以 120 .…………………10分P(A) 15
35
18. （12分）
(1)证明：因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD , AB AD ,
AB 平面 ABCD
所以 AB 平面 PAD …………………2分
又DM 平面 PAD ,所以 AB DM
又因为 PAD 为等边三角形，M 为 PA的中点，所以 PA DM …………………3分
因为 AB PA A, AB,PA 平面 PAB
所以DM 平面 PAB…………………5分
（2）以 A为坐标原点，分别以 AB, AD所在直线为 x, y轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,1, 3) ,M (0, 1 , 3 ) ,…………………6分
2 2
3 3
由（1）可知, DM 平面 PAB 的一个法向量，DM （0，- , )…………………7分
2 2
设 n (x, y, z)是平面 PCM 的一个法向量， AP (0,1, 3) , AC (2,1,0)
n AP n AP 0 y 3z 0
所以 , 即 ,
n AC n AC 0 2x y 0
3 3
取 z 3，则 y 3, x ，所以 n ( ,-3, 3)…………………9分2 2
所以 cos n,DM
n DM 4 19
19 …………………n DM 11
分
4 19
平面 PAB 与平面 PCM 所成锐二面角的余弦值为 …………………12分
19
19. （12分）
解：（1 2）当 n 1时，由 2S1 a1 a1，解得 a1 1，…………………1分
由 2Sn a
2 a 2S a2n n，所以 n 1 n 1 an 1，
（2 S - S ) a2所以 n 1 n n 1 a
2 2 2
n an 1 an ，即 an 1 an - an 1 an 0
（an 1 an）（an 1 an -1） 0
数列 an 是正项数列，所以 an 1 an 1…………………3分
所以数列 an 是 a1 1，公差为 1的正项数列，
所以 an n…………………5分
b a1 a（2）由 2 a3 a an n n 1 n 2
n 1 n
3 3 3 32 3
b 1 2 3 n 1 n所以 n 3n 3n 1 3n 2 32 3
3nbn 1 2 3 3 3
2 (n 1) 3n 2 n 3n 1
3n 1b 1 3 2 32 3 33 (n 1) 3n 1n n 3
n
…………………7分
n
上面两式相减，得 - 2 3 bn 1 3 3
2 33 3n 1 - n 3n
n
- 2 3nb 1- 3 1 1 n n - n 3
n
，即bn （ n -1) …………………10分1- 3 4 3 2
1
T 1
1
3n( n) 1 n(n 1)所以 n 1 4 1 2 2
3
T 1
2
n (1
1 n
n ) …………………12分8 3 4
20．（12分）
解：（1） f (x) ex 3mx2，
因为函数 f (x)在 (0, )上是增函数，所以 f (x) ex 3mx2 0，
x
所以 ex
e
3mx2 ，即 ，
x2
3m
h(x) e
x
x (0, ) h (x) e
x (x 2)
设 ， ，
x2 x3
x
令 h (x) e (x 2) 3 0，得 x 2，…………………2分x
当 x （0,2）时， h (x) 0，函数 h(x)是减函数
当 x （2， ）时， h (x) 0，函数 h(x)是增函数
x 2 h(x) e
x e2
所以当 时， 的最小值为 ，…………………2 4分x 4
e2 2
所以3m ，即m e …………………6分
4 12
（2） f0 (x) f (x) ex x3 ， f1(x) f0 (x) e
x 3x2， f2 (x) f1 (x) e
x 6x ，
f3(x) f2 (x) e
x 6, f4 (x) f3 (x) e
x
x
当n 4时， fn x e ，
x
因为 gn (x) f2 (x) f3(x) fn (x)，所以 gn (x) (n 1)e 6x 6，………8分
gn (x) (n 1)e
x 6，
g (x) 6令 n (n 1)e
x 6 0，得 x ln ，
n 1
当 x 6 ln 时， gn (x) 0函数 gn (x)是减函数，n 1
x ln 6当 时， gn (x) 0函数 gn (x)是增函数，n 1
所以当 x ln 6 时， gn (x)
n 1
的最小值为6ln ，…………………10分
n 1 6
6ln n 1 0 n 1若 ，则 1，所以 n 7，所以 n的最小值为 8……………12 分
6 6
21．（12分）
b
解（1）渐近线方程为 3x y 0，所以 3，
a
3c
左焦点 F 到渐近线的距离为 3 ,所以 3， c2 a2 b2，
( 3)2 1
由以上得 a 1,b 3 ，…………………2分
2
所以双曲线C的方程为 x2 y 1；…………………3分
3
y k(x 2)
（2）设直线 l
2
1的方程为 y k(x 2)，联立 x2 y ， 1 3
得3x2 k 2 (x 2)2 3，即 (3 - k 2 )x2 4k 2x 4k 2 3 0，
4k 2
所以 x1 x2 ，…………………5分3 k 2
x x 2k 2 y 2
所以 1 2 ， 1
y2 6k 2k 6k
2 3 k 2
，D(
2 3 k 2 3 k 2
， ) ,
3 k 2
E ( 2 - 6k同理得 2 ， ) ,…………………7分3 k - 1 3k 2 -1
2k 2 2
当 ，即 k 1，直线DE的方程为 x 1，直线DE过点Q(1,0)，
3 k 2 3k 2 -1
6k - 6k
3 3 k 2 3k 2 -1 2k当 k 1， k ， k 3时，直线DE的斜率为 ，
3 2k 2 - 2 k
2 1
3 k 2 3k 2 -1
DE y 6k 2k (x 2k
2
直线 的方程为 )，
3 k 2 k 2 1 3 k 2
令 y 0，得 x 1，
所以直线DE过点Q(1,0)，
综上，直线DE过定点Q(1,0)，…………………10分
1 yD yE OQ 1
所以 DOE与 DEF 的面积之比为 21 …………………12分y y 3
2 D E
FQ
22. （12分）
解： f (x) 2mx 1 ， f (1) m 1， f (1) 2m 1，
x
函数 f (x) mx2 1 ln x在点 (1, f (1))处的切线为 y (m 1) (2m 1)(x 1)，
把点 ( 1,2)代入得：m 1，…………………2分
（1）证明： f (x) 1 x，即证 ln x x2 x 0
令 F (x) ln x x2 x(x 0)，
1 2x 1 1 x
则 F x 2x 1 x 0 …………………3分
x x
∵ x 0，则 2x 1 0，
令 F x 0，则 0 x 1；令 F x 0，则 x 1；
则 F x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，可得 F x F 1 0，
故 ln x x2 x 0，即 f (x) 1 x；…………………5分
（2）由题意可得： f x ln x x 2 1 x 0 ，则
1 1 2x 1 2x f x 2 x x 0 ，
x x
∵ x 0，则1 2x 0 ，
令 f (x) 0，解得0 2 x ；令 f x 0，解得 x 2 ；
2 2
2 2
则 f x 在 0, 上单调递增，在2 , 上单调递减，可得 2
f x f 2 1 ln 2 2 ，…………………7分 2
关于 x的方程 f (x) n有两个实数根 a,b(a b)，得
n 1 ln 2 ,0 2 a b, f (a) f (b) n，
2 2
由（1）可得： f (x) x 1 0对 x 0, 恒成立，
得 f (b) b 1 0，…………………8分
G x f x x lnx x 2
2
设 x 1 x 0, ，
2
1 2x x 1
则G x 1 2x 1 2 x x x 0, ， 2
∵ x 0,
2
2
，则 x 1 0，
令G x 0 1 1 2，解得0 x ；令G x 0，解得 x ，
2 2 2
G x
0, 1 1 , 2 G x G 1 1 2 ln 2则 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 0， 2 2 2 2 4
G x 0 x 0, 2
故 对 恒成立，可得G(a) f (a) a 0，…………………10分
2
所以b a (1 2n) b a 1 2n b a 1 f (a) f (b)
[ f (a) a] [ f (b) b 1] 0，
所以b a 1 2n…………………12分
