襄阳市第三高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
2．已知角θ的终边过点，（ ）
A． B． C． D．1
3．已知点D是所在平面上一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积
为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π C．8π D．10π
7、函数(x∈[-π,0) ∪(0,π])的大致图象为（ ）
8、已知函数g(x)=sin(ωx+φ)，g(x)图像上每一点的横坐标缩短到原来的,得到f（x)的图像，f（x)的部分图像如图所示，若,则ω等于（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在给出的选项中，至少有一项符合要求，选错得0分，部分选对得2分。）
9．用一个平面去截正方体，则截面可能是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形
10．已知向量，，，若为锐角，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．
11.在中，已知，且，则c的值可以是
A. 4 B. 8 C. 2 D.
12．中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量， 与垂直，则__________．
14．已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形面积的值是___________.
15．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，
则三棱锥D－A1BC的体积是________．
我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，
成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．
如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个
小正方形拼成的一个大正方形，
若直角三角形中，，较小的锐角．
若，正方形的面积为100，
则________，________．
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他每题12分，共70分）
17．已知向量，，.
（1）求向量与夹角的正切值； （2）若，求的值.
18．已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
19、在①3asinC＝4ccosA； ②2bsin＝asinB这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_______，a＝3．
（1）求sinA；
（2）如图，M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求边c．
20、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
21.已知函数,且的图象上相邻两条对称轴的距离为,
图象过点.
（1）求的表达式和的单调增区间；
（2）若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）设，当时，不等式恒成立，设实数的取值范围对应的集合为，若在（1）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范试卷第1页，总3页襄阳三中高一年级四月月考试题参考答案（数学） （2）因为∠ABM＝ ，设 BM＝CM＝m，由图可得 cos∠BMC＝﹣cos∠BMA＝﹣sinA＝﹣ ，
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6. B 7. A 8. A 9．BCD 10．ABD 11．AB 12．BD 在△BMC中，由余弦定理可得 BC2＝BM2+CM2﹣2BM CM cos∠BMC，而 BC＝a＝3 ，
9 7
13． 14 15 2 3 16 10． ． ． 所以 18＝2m2﹣2m2（﹣ ），解得 m＝ ，在 Rt△ABM中，c＝AB＝ ＝ ＝ ．………6分4 3 25 5
四．解答题 若选②，则答案为：（1）因为 2bsin ＝ asinB，所以 2bsin ＝ asinB，
r
17 1 a 3,1 2 2．解：（ ）因为 ，所以 a 3 1 10 .
由正弦定理可得 2sinBcos ＝ sinAsinB＝2 sin cos sinB，
2 2 设向量 a与b的夹角 ，则 a a b a a b a a b cos 10 5 10 cos 15，解得 cos 10 . 因为 sinB≠0，cos ≠0，所以 sin ＝ ，cos ＝ ，
10
sin 所以 sinA＝2sin cos ＝2 ＝ ，………………6分
又 0, ，所以 sin 1 cos2 3 10 ，故 tan 3 .
10 cos （2）答案同选①．………………6分
2 2 20.解：(1)证明 由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B，（2）因为 a b a 2b ，所以 a b a 2b a 2 1 a b 2b 0，
故 2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
即10 5 2 1 50 0 11 ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，，解得 .
4 于是 sin B＝sin(A－B)．
又 A，B∈(0，π)，故 0
所以 B＝π－(A－B)或 B＝A－B，
(1) sin α18．解 因为 ＋cos α 6 1 π 3＝ ，两边同时平方，得 sin α＝ .又 ＜α＜π，所以 cos α＝－ . 因此 A＝π(舍去)或 A＝2B，所以 A＝2B.
2 2 2 2 2 2
2
(2) S a 1 a
2
π π π π π 解 由 ＝ ，得 absin C＝ ，(2)因为 ＜α＜π， ＜β＜π，所以－π＜－β＜－ ，故－ ＜α－β＜ . 4 2 4
2 2 2 2 2
3 4 故有 sin Bsin C
1
＝ sin A 1＝ sin 2B＝sin Bcos B，
又 sin(α－β)＝－ ，得 cos(α－β)＝ .cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 2 2
5 5
由 sin B≠0，得 sin C＝cos B.
3
3 4 1 －5 4 3＋3＝－ × ＋ × ＝－ . B π2 5 2 10 又 ，C∈(0，π)，所以 C＝ ±B.2
当 B＋C π＝ 时，A π＝ ；
2 2
当 C－B π π＝ 时，A＝ .
2 4
π π
19、解：若选①，则答案为：（1）在①3asinC＝4ccosA， 综上，A＝ 或 A＝ .2 4
由正弦定理可得 3sinAsinC＝4sinCcosA，因为 sinC≠0，所以可得 tanA＝ ，
在△ABC中，所以 A∈（0， ），所以 sinA＝ ＝ ；………………6分
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22.【详解】（1） f x sin x cos x 2 sin x π
，当 x
π π
,0 x π π 时， , 4 2 4 4 4
，
21．（1） f x 2sin 2x 2，单调增区间 k , k (k Z ) 6 6 3 2 π 2 π sin x ， 1 2 sin x 1，即 1 f x 1，令 f x sin x cos x，
2 k 4 2 3 k 2 3 2
4 2
4
（ ） 或
f (x) 则
2
T 2 1 sin 2x， sin 2x
2 1， 1,1 ，由 g x sin 2x f x ，
解：（1）由题意，得 的最小正周期 ，则 ， 2
2
f (x)的图像过点 (0,1)， 2sin( ) t 1， t 2 得 y g x6
2 1 5 1
， 1,1 ， 当
1
时， y g x 5有最小值 ，
2 4 2 4
即 f x 2sin 2x
2 π
6 当 1时， y g x 有最大值 1， 当 x ,0 时，函数 g x
5
的值域为 ,1
．
2 4
令 2k 2x 2k ,k Z，解得 k x k ,k Z
2 6 2 6 3 3x 1 9x 1
（2）当 x 0, ，不等式m 0恒成立， x > 0时，3x 1 0，9x 1 0，
3x 1 9x 1
故 f x 的单调增区间为 k ,
k (k Z ) 6 3
3x 2 1 t 1
2
t 2 1 2t 2t 2
m 2 恒成立，令 t 3x，则 t 1
m 2 2 1 1 ，
x t 1 t 1 t
2 1 1，
（2）由（1）知 f x 2sin 2x
2， g x 2sin
2x
2 k 3 1 t
6 6 t
1
2
1 2 2
x ,
5
, 2x
,
2 1 1 又 t 1 ，当且仅当 t 即 t 1时取等号，而 t 1， 12 12 6 3 3 t 2 t tt
g x 2sin 2x 2 k6 t 1
2 5
2，即m 2， M m m 2 ．又由（1）知， g x 1，
t 2 1 4
g(x) 5 若函数 在区间
5
， 上有且只有一个零点. 当 a 0时， a ag x a， 12 12
4
k 2 要使 ag x M 恒成立，只需0 a 2， ay 的取值范围则函数 y sin(2x )的图像和直线 有且只有一个交点.
6 2
即曲线 y sin t, t
,
2 k 2
与直线 y 有且只有一个交点. 3 3 2
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试卷第 3页，总 1页