浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(PDF版含答案)

文档属性

名称 浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(PDF版含答案)
格式 zip
文件大小 1.7MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-04-26 08:49:23

文档简介

绝密★考试结束前
北斗联盟 2022 学年第二学期期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知:
1.本卷共 4 页满分 150 分,考试时间 120 分钟;
2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效;
4.考试结束后,只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 A 2, 1,0,1,2 , B x | 3 x 1 ,则 A B ( )
A. 2, 1,0,1 B. 1,0,1 C. 0,1 D. 2, 1,0,1, 2
2.设复数 z满足 z 1 2i 5,则 z的虚部是( )
A.-2 B.- 2i C.2 D. 2i
3.沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成
的(如图).在一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,
假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个
圆锥中需用时 1 小时.当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时,所需时间为( )
1 7 3 2
A. 2 小时 B. 小时 C. 小时 D. 3 小时8 4
4.平面向量 与 相互垂直,已知 =(6,﹣8), ,且 与向量(1,0)的夹角是钝角,则
=( )
A.(﹣3,﹣4) B.(4,3) C.(﹣4,3) D.(﹣4,﹣3)
cos xa1 a2 3 2
5.定义运算: a aa a 1 4
a2a3,将函数 f (x) 的图象向左平移m(m 0) 的单位后,所
3 4 1 sin x
2
得图象关于 y轴对称,则m的最小值是( )
2 4 7
A. B. C. D.
3 3 3 3
试卷第 1页,共 4页
6.概率论起源于博弈游戏.17 世纪,曾有一个“赌金分配”的问题:博弈水平相当的甲、乙两人
进行博弈游戏,每局比赛都能分出胜负,没有平局.双方约定,各出赌金 48 枚金币,先赢 3局者可
获得全部赌金;但比赛中途因故终止了,此时甲赢了 2 局,乙赢了 1 局.问这 96 枚金币的赌金该如
何分配?数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识,合理地给出了赌金分配方案.该
分配方案是
A.甲 48 枚,乙 48 枚 B.甲 64 枚,乙 32 枚
C.甲 72 枚,乙 24 枚 D.甲 80 枚,乙 16 枚
7.若 a log2 3,b log3 4, c log4 5,则 a、b、 c的大小关系是( )
A.a b c B.b| x |
8. 已知函数 f (x)= x ,若关于 x的方程 f
2 (x) -mf (x) -m 1 0恰有 4个不相等的实数根,则实
e
数 m的取值范围是( )
1 1 2 2
A.(1,1+ ) B(. 1- ,1) C. e 1(1, ) D. e 1e e 2 ( 2 ,1)e 1 e +e
二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9.已知数列{an},下列结论正确的有( )
A.若 a1 2, an 1 an n 1,则 a3 7 B.若 a1 1, an 1 3an 2,则 a4 53
n 1 a 2aC.若Sn=3 + ,则数列{an}
n 1
是等比数列 D.若 a1 1, n 1 2 a (n N
*)
,则
a5 2 n 5
10.如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,Q为 DB 的中点,直线 A1C交平面C1BD于点 M,则下
列结论正确的是( )
A.C1,M,Q三点共线 B. A1C 平面C1BD

C.直线 A1C1与平面 ABC1D1所成角的为 6
D.直线 A1C和直线 BC1是共面直线
11.已知顶点在原点O的抛物线 x2 2 py, p 0 ,过抛物线焦点 F的动直线 l交抛物线于A、B两
点,当直线 l垂直于 y轴时, 面积为 8.下列结论正确的是( )
A.抛物线方程为 x2 8y . B.若 AB 12,则 AB的中点到 x轴距离为 4.
C. 有可能为直角三角形. D. AF 4 BF 的最小值为 18.
试卷第 2页,共 4页
12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前 262~公元前 190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数 k(k>0且 k≠1)
的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知 O(0,0),A(3,0),圆 C:
(x - 2)2 y2 r 2(r 0) 上有且仅有一个点 P满足|PA|=2|PO|,则 r的取值可以为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
非选择题部分
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知 Sn是等差数列{ an }的前 n 项和,且 a3 a6 40,S2 10,则 a1=_________.
14. 写出一个满足下列条件的正弦型函数:f(x)=__________.

(1)最小正周期是π,(2)f(x)在[0, ]上单调递增,(3) x R,都存在 x0使得 f (x) f (x4 0
) 2
15.点 F1是抛物线 C:y2=4x的焦点,点 F2为抛物线 C的对称轴与其准线的交点,过 F2作抛物线
C的切线,切点为 A,若点 A恰好在以 F1,F2为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为_________.
16.已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB 3,AD 2, AEB 60 ,
则多面体 E ABCD的外接球的表面积为 .
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)在△ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,已知:b= ,c= ,∠B=45°.
(1)求边 BC的长和三角形 ABC的面积;
(2)在边 BC 上取一点 D,使得 cos∠ADB= ,求
tan∠DAC的值.
18.(12 分)为了应对国家电网用电紧张的问题,了解我市居民用电情况,我市统计部门随机调查
了 200户居民去年一年的月均用电量(单位:kW·h),并将得到数据按如下方式分为 9组:[0,40),
[40,80),…,[320,360],绘制得到如下的频率分布直方图:
(1)试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量;
(2)为了解用户的具体用电需求,统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和[320,360]的两组居
民用户中随机抽取两户进行走访,求走访对象来自不同的组的概率.
试卷第 3页,共 4页
19 n 1 .(12 分)已知数列 an 满足 a1 2a2 3a3 nan (n 1) 2 2 n N .
(1)求数列 an 的通项公式;
b a(2) n设 n an 1
b S
an 1 1
,求数列 n 的前 n项和 n .
20.(12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中,点 B1在底面 ABC内的射影恰好是点 C,D是 AC的
中点,且满足 DA=DB.
(1)求证:AB⊥平面 BCC1B1;
(2)已知 AC=2BC=2,直线 BB1与底面 ABC所成角的大小

为 ,求二面角 C﹣BD﹣C1的大小.
3
x2 y2
21.(12 分)已知双曲线C: 1过点M 3, 2 ,且右焦点为 F 2,02 2 .a b
(1)求双曲线C的方程;
y (2)过点 F的直线 l与双曲线C的右支交于A, B两点,交 轴于点 P,若 PA mAF,PB nBF,
求证:m n为定值.
(3)在(2)的条件下,若点Q是点 P关于原点O的对称点,求三角形QAB的面积的取值范围.
22.(12 分)已知函数 f(x)=alnx+ ,a∈R.
(1)当 a=1时,求函数 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)有经过原点的切线,求 a的取值范围及切线的条数,并说明理由.
(3)设函数 g(x)=f(x)﹣x的两个极值点分别为 x1,x2,
g(x1) g(x2 ) 2e
且满足 ( 2 )a 2x1 x2 e 1
求实数 a的取值范围.

试卷第 4页,共 4页北斗联盟 2022学年第二学期期中联考
高二年级数学学科 参考答案
参考答案:
一、单选题(每题 5 分共 40 分)
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D C C D D
二、多选题(每题 5 分,少选 2 分,错选 0 分)
9 10 11 12
AB ABC ABD AC
三、填空题(每题 5 分)
5
13. 14 ( ) = 2 ( 2 + ), 2 ≤ ≤ 2 , ∈ 都可以
2 2
15. √2 1 16. 16π
17.(10 分).在△ABC中,角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,已知:b= ,c= ,∠B=45°.
(1)求边 BC的长和三角形 ABC的面积;
(2)在边 BC上取一点 D,使得 cos∠ADB= ,求 tan∠DAC的值.
【解答】解:(1)在△ABC中,由余弦定理知,b2=a2+c2﹣2ac cosB,
∴5=a2+2﹣2 a× ,解得 a=3 或﹣1(舍),
∴BC=3, (3 分)
∴△ABC的面积 S= ac sinB= ×3× × = . (5 分)
(2)在△ABC中,由正弦定理知, = ,
∴ = ,∴sinC= ,
∵b= >c= ,∴C为锐角,cosC= , (7 分)
∵cos∠ADB= ,∴sin∠ADB= ,
∴sin∠DAC=sin(∠ADB﹣∠C)=sin∠ADB cos∠C﹣cos∠ADB sin∠C= × ﹣ × = ,
答案第 1 页,共 7 页
由图可知,∠DAC为锐角,
∴cos∠DAC= ,
∴tan∠DAC= = . (10 分)
18.(12 分)为了应对国家电网用电紧张的问题,了解我市居民用电情况,我市统计部门随机调查了 200 户居民
去年一年的月均用电量(单位:kW h),并将得到数据按如下方式分为 9 组:[0,40),[40,80),…,[320,
360],绘制得到如下的频率分布直方图:
(1)试估计抽查样本中用电量在[160,200)的用户数量;
(2)为了解用户的具体用电需求,统计部门决定在样本中月均用电量为[0,40)和[320,360]的两组居民用户
中随机抽取两户进行走访,求走访对象来自不同的组的概率.
【解答】解:(1)由直方图可得,样本落在[0,40),[40,80),[80,120),[120,160)的频率分别为 0.02,
0.15,0.27,0.23,落在[200,240),[240,280),[280,320),[320,360]的频率分别为 0.09,0.06,0.04,
0.01.因此,样本落在[160,200)的频率为:1﹣(0.02+0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01)=0.13
样本中用电量在[160,200)的用户数为 200×0.13=26; (6 分)
(2)由题可知,样本中用电量在[0,40)的用户有 4 户,设编号分别为 1,2,3,4;在[320,360]的用户有
2 户,设编号分别为 a,b,则从 6 户中任取 2 户的样本空间为:Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,
b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)},共有 15 个
样本点.设事件 A=“走访对象来自不同分组”,
则 A={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)},
所以 n(A)=8,从而 . (12 分)
答案第 2 页,共 7 页
19.已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+…+nan=(n﹣1) 2
n+1+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn= ,数列{bn}的前 n项和为 Sn,求证:Sn< .
【解答】(1)解:∵a1+2a
n+1
2+3a3+…+nan=(n﹣1) 2 +2(n∈N*),
∴当 n≥2 时,有 a1+2a2+3a3+…+(n﹣1)an﹣1=(n﹣2) 2
n+2,
两式相减得:na n+1 n n nn=(n﹣1) 2 ﹣(n﹣2) 2 =n 2 ,即 an=2 ,n≥2,
又当 n=1 时,有 a1=2 也适合上式,
∴a =2nn ; (6 分)
说明:不验证 n=1 的情况扣 1 分。
(2)证明:由(1)可得:bn= = = ﹣ ,(9 分)
∴Sn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ < (12 分)
20.(12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 B1 在底面 ABC内的射影恰好是点 C,D是 AC的中点,且
满足 DA=DB.
(1)求证:AB⊥平面 BCC1B1;
(2)已知 AC=2BC=2,直线 BB1 与底面 ABC所成角的大小为 ,求二面角 C﹣BD﹣C1 的大小.
【分析】(1)只要证明 AB垂直于平面 BCC1B1 内两相交直线即可;(2)寻找二面角的平面角,转化为解直角
三角形问题.
【解答】(1)证明:D是 AC的中点,DA=DB,所以 AB⊥BC, (2 分)
因为 B1 在底面 ABC内的射影恰好是点 C,所以 B1C⊥平面 ABC,
因为 AB 平面 ABC,
所以 AB⊥B1C, (4 分)
因为 BC∩B1C=C,BC 平面 BCC1B1,B1C 平面 BCC1B1,
所以 AB⊥平面 BCC1B1. (5 分)
(2)解:设 BC1∩B1C=F,取 BD中点 E,连接 EF、EC,
答案第 3 页,共 7 页
因为 AC=2BC=2,所以 BC=BD=CD=1,
所以 CE⊥BD,
由(1)知 FC⊥平面 ABC,所以 CE是 EF在平面 ABC内投影,
所以 BD⊥EF,
所以∠FEC是二面角 C﹣BD﹣C1 的平面角, (9 分)
由(1)知 B1C⊥平面 ABC,所以 BC是 BB1 在平面 ABC内投影,
所以∠B1BC是直线 BB1 与底面 ABC所成角,∠B1BC= ,
所以 B1C=BC tan = ,
因为四边形 BB1C1C是平行四边形,所以 FC= B1C= ,
又因为 CE=BC sin60°= ,
所以 FC=CE,因为 FC⊥CE,所以∠FEC=45°.
故二面角 C﹣BD﹣C1 的大小 45°.
说明:建立直角坐标系(2 分),平面 BCD 的法向量(1 分),平面 1 法向量(3 分),答案(1 分)。
21.(12 分)【解答】(1)依题意,双曲线C 的左焦点为 F ( 2,0),
由双曲线定义知,C 的实轴长2a =| MF | | MF |= (3+2)2 + ( 2)2 (3 2)2 + ( 2)2 = 2 3
因此 2 2 2a = 3,b = 2 a =1,
x2
所以双曲线C 的方程为 y2 =1 . (3 分)
3
3
(2)由(1)知,双曲线C 的渐近线方程为 y = x ,
3
3 1
依题意,直线 l的斜率 k 存在,且 | k | ,设直线 l的方程为:x = ty + 2, t = ,0 | t | 3,
3 k
x = ty + 2
由 2 2 2 2 消去 x并整理得: (3 t )y 4ty 1= 0,设 A(x1, y1), B(x2 , y2),
x 3y = 3
4t 1
则 y1 + y2 = , y1y2 = , (42 2 分) 3 t 3 t
2 2
而点P(0, ),则PA = (x1, y1 + ), AF = (2 x1, y1) ,
t t
2 2 2
因为PA=mAF ,则有 y + = my ,即m = 1 1 1 ,同理n = 1 , (5 分)
t ty1 ty2
答案第 4 页,共 7 页
4t
2 1 1 2 y1 + y 2
2
所以m+ n = 2 ( + ) = 2 2 = 2 3 t = 6,为定值. (7 分)
t y y t y 11 2 1y2 t
3 t2
2 4 16t2 4 2 3 1+ t2
(3)由(2)知,点Q(0, ), | PQ |= , | y1 y2 |= (y + y )
2 4y y = + = ,(9
t | t |
1 2 1 2
(3 t2)2 3 t2 3 t2
分)
4 3
1 2 4 3 1+ t2 =
S QAB =| S APQ S BPQ |= | PQ | | x1 x2 |= | ty1 ty2 |= 2 | y1 y |= 4 2 (10 2 分)
2 | t | 3 t2 1+ t
1+ t 2
4 4
因为0 | t | 3,令u = 1+ t2 (1,2),而函数 y = u在 (1, 2)上单调递减,即0 u 3,
u u
4 3 4 3
4
因此0 1+ t
2 3,所以 4 2 3 . (12 分)
1+ t 2 1+ t
1+ t 2
22.(12 分)已知函数 f(x)=alnx+ ,a∈R.
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)有经过原点的切线,求 a的取值范围及切线的条数,并说明理由.
(3)设函数 g(x)=f(x)﹣x的两个极值点分别为 x1,x2,且满足 ≤( )a﹣2,求
实数 a的取值范围.
【分析】(1)根据导数和函数单调性的关系即可求出;
(2)设切点为(x0,y0),根据导数的几何意义和斜率公式可得 =x0﹣x0lnx0,再构造函数 g(x)=x﹣xlnx,
利用导数求出函数 g(x)的值域,再分类讨论即可求出切线的条数和 a的范围;
(3)根据函数 g(x)=f(x)﹣x的两个极值点分别为 x1,x2,可得 a>2,x1+x2=a,x1x2=1,不妨设 0<x1
<1<x2,代入化简 =﹣2+ ,则要证明 ≤ a ﹣2,只要证
≤ ,再构造函数令 h(x)= ,利用导数求出 x1 的范围,即可求出 a的范围.
【解答】解:(1)当 a=1 时,f(x)=lnx+ ,x>0,
∴f′(x)= ﹣ = ,
当 x>1 时,f′(x)>0,当 0<x<1 时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; (3 分)
答案第 5 页,共 7 页
(2)f(x)=alnx+ ,x>0,显然原点不在曲线上,
设切点为(x0,y0),
∵f′(x)= ﹣ = ,
∴f′(x0)= = = , (4 分)
∴a﹣ =alnx0+ ,
即 a(1﹣lnx0)= ,
显然 a≠0,
∴ =x0﹣x0lnx0, (5 分)
设 g(x)=x﹣xlnx,
∴g′(x)=1﹣(1+lnx)=﹣lnx,
当 x>1 时,g′(x)<0,当 0<x<1 时,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)max=g(1)=1,
∴当 >1,即 0<a<2 时,不存在切线;
当 a=0 时,f(x)= ,此时不存在过原点的切线,
当 =1 或 <0,即 a=2 或 a<0 时,有且仅有一条切线,
当 0< <1,即 a>2 时,存在两条切线;
综上所述:0≤a<2 时,不存在切线,a=2 或 a<0 时,有且仅有一条切线,a>2 时,存在两条切线.(7 分)
(3)g(x)=f(x)﹣x=alnx+ ﹣x,x>0,
∴g′(x)= ﹣ ﹣1= =﹣ ,
∵x1,x2 是函数 g(x)的两个极值点,
∴x1,x2 是方程 x
2﹣ax+1=0 的两个正根,
答案第 6 页,共 7 页
∴ ,即 a>2,x1+x2=a,x1x2=1, (8 分)
不妨设 0<x1<1<x2,
则 g(x1)﹣g(x2)=a(lnx1﹣lnx2)+ ﹣ ﹣(x1﹣x2)=2alnx1+ ﹣x1﹣(x1﹣ )=2alnx1+2(
﹣x1),
∴ = =﹣2+ ,
要证明 ≤ a﹣2,
只要证﹣2+ ≤ a﹣2, (10 分)
即证 ≤ ,
令 h(x)= ,0<x<1,
∴h′(x)= >0,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,且 h( )= = ,
∴h(x1)≤h( )
∴0<x1≤
∴a=x1+x2=x1+ ≥e+ . (12 分)
答案第 7 页,共 7 页
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