5.3.1函数的单调性
一、单选题
1.下列函数中,既是定义域内单调递增函数,又是奇函数的为( )
A. B.
C. D.
2.设,是定义域为的恒大于零的可导函数,且,则当时,有( )
A. B.
C. D.
3.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若函数在上单调递减,则称为函数.下列函数中为函数的是( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增,则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
6.已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称,且当时,,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数,,当时,有成立,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数,给出下列四个结论:
①若,则有一个零点;
②若,则有三个零点;
③,使得在上是增函数;
④在上是增函数.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
二、多选题
9.若函数,在区间上单调,则实数m的取值范围可以是( )
A. B.
C. D.
10.(多选题)已知定义在R上的函数f(x),其导函数y=f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
A.f(b)>f(a) B.f(d)>f(e)
C.f(a)>f(d) D.f(c)>f(e)
11.(多选)已知函数与的图象如图所示,则下列结论正确的为( )
A.实线是的图象,虚线是的图象
B.实线是的图象,虚线是的图象
C.不等式组的解集为
D.不等式组的解集为
12.已知函数,若,则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.当时,
D.若方程有一个根,则
三、填空题
13.设函数,则的单调递增区间为_________.
14.已知在上可导的函数的图象如图所示,则不等式的解集为______.
15.若函数的单调减区间为,则______.
16.已知,则__________.
四、解答题
17.证明:
(1)函数在定义域上是减函数;
(2)函数在区间上是增函数.
18.证明函数是R上的增函数.
19.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(1) (2),
(3) (4)
20.已知函数的图象,试画出其导函数图象的大致形状.
21.已知函数
(1)当=1时,求曲线在点(0,1)处的切线方程;
(2)当=1时,求函数的单调区间:
(3)若函数有三个零点,求的取值范围.
22.已知函数
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性.
参考答案:
1.D2.C3.D4.D5.A6.A7.A8.C
9.AC
10.ABD
11.BC
12.BC
13.
14.
15.
16.3
17.(1)证明:函数的定义域为,则对任意的恒成立,
故函数在定义域上是减函数.
(2)证明:对任意的,,
故函数在区间上是增函数.
18.,因为,所以,则恒成立,所以函数是R上的增函数
19.(1),则函数在上单调递减,即单减区间为,无单增区间;
(2),,
则函数在上单调递增,即单增区间为,无单减区间;
(3),则函数在上单调递增,即单增区间为,无单减区间;
(4),则函数在上单调递增,即单增区间为,无单减区间;
20.(1)函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,
因此,其导函数的图象如下图所示:
;
(2)函数为增函数,则其导函数的函数值恒大于或等于零,并且随着的增大,导数值也在逐渐增大,
因此,其导函数的图象如下图所示:
;
(3)当时,单调递减,则;
当时,单调递增,则.
因此,其导函数的图象如下图所示:
.
21.(1)当=1时,,则,
所以切线的斜率为,
所以所求得切线方程为,即,
(2)由,得,
由,得或,则,得,
所以在和上递增,在上递减,
(3)由,得,
当时,,所以在上单调递增,所以最多有一个零点,
当时,由,得或,则,得,
所以在和上递增,在上递减,
所以当时,取得极大值,当时,取得极小值,
因为函数有三个零点,
所以且,
所以且,
解得,
所以的取值范围为
22.(1)解:当时,,则,所以,,
此时,曲线在点处的切线方程为,即.
(2)解:因为,则,
令,则,
当,即时,,
又函数的定义域为,
此时,的单调递增区间为、、;
当,即时,
①当时,的两根为、,
所以的解集为,
的解集为,
又当时,,,
所以的单调增区间为、、,
单调减区间为、;
②当时,的定义域为,的两根为、,
,由可得或,由可得,
则的单调递增区间为和,单调递减区间为
③当时,的定义域为,的两根为、,
由可得或,由可得,
所以的单调递增区间为、,
单调递减区间为.
综上所述,当时,的单调递增区间为、、;
当时,的单调增区间为、、,
单调减区间为、;
当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为;
当时,的单调增区间为、、,
单调减区间为、.