第六章 平面向量及其应用 同步训练（含答案）

第六章 平面向量及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 设、都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
A. B.
C. D. 且
2. 已知向量，满足，，且在方向上的投影向量的模与在方向上的投影向量的模相等，则等于( )
A. B. C. D.
3. 在平行四边形中，，，，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
5. 在中，为中点，连接，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 在中，，，，则( )
A. B. C. D.
8. 体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重单位：约为参考数据：取重力加速度大小为，( )
A. B. C. D.
9. 已知向量，，在边长为的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则( )
A. B. C. D.
10. 在锐角中，角，，所对的边为，，，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
11. 下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 单位向量都相等
C. 零向量的方向是任意的 D. 任一向量都与它自身是平行向量
12. 已知是边长为的等边三角形，若向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
13. 已知，，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最小值为 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则
14. 下列选项其中错误的是( )
A. 对于，若，则为锐角三角形
B. 对于，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若， 则
C. 在所在平面内，若，则 是的重心
D. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
15. 在等腰梯形中，，，点为对角线与的交点，若，则( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知向量，则与方向相同的单位向量的坐标为___．
17. 已知向量，，则与夹角的余弦值是___．
18. 已知在平面直角坐标系中，点，当是线段靠近的一个四等分点时，点的坐标为
19. 已知的面积为，则__________．
20. 如图，在中，已知，，，，，线段，相交于点，则的余弦值为__________．
四、解答题
21. 已知向量在同一平面内，且．
若，且，求；
若，且，求与的夹角．
22.已知，，．
求向量与的夹角；
当向量与垂直时，求实数的值．
23. 已知中，点在线段上，且，延长到，使设，．
用，表示向量，；
若向量与共线，求的值．
24. 在中，内角所对的边分别为，已知，，且．
求角的大小
若，的面积为，求的周长
25. 在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且 ，，点是线段上一点．
若，求的值
若且，求的面积．
1.、 ； 2.、 ； 3.、 ； 4.、 ； 5.、 ； 6.、 ； 7.、 ； 8.、 ； 9.、 ； 10.、 ；
11.、 ； 12.、 ； 13.、 ； 14.、 ； 15.、 ； 16.、 ； 17.、 ；
18.、 ； 19.、 ； 20.、
21.、解：，设，
则，
又，
解得，
或；
平面内向量夹角的的取值范围是．
，
，
又，，
，
解得；
，
与的夹角为．
22.、解：，，，
，
，
，
；
向量与垂直，
，
，
即，
解得．
23.、解：，为的中点，
，可得，
由，则，
则．
由，得，，
与共线，设，
即，
根据平面向量基本定理，得，解得．
24.、解：在中，内角，，所对的边分别为，，，
已知，，
且．
所以，
利用正弦定理整理得：，
所以，
即，由于，
故，
由于，所以．
由于的面积为，
所以，整理得．
利用余弦定理，解得，
所以周长．
25.、解：选择．
因为，而，所以，
因此，而，所以．
选择．
因为，而，所以．
又因为，所以由正弦定理得，因此．
因为，所以，而，即为锐角，因此为锐角，
所以，
因此
，而，所以．
选择．
因为，所以，因此由正弦定理得，即，
所以由余弦定理得，即得，
因此把代入上式得，所以，
而，因此．
因为点是线段上一点，，而，所以．
在中，因为，
所以，而，因此．
在中，因为，
所以．
又因为，所以
因此，即．
因为点是线段上一点，，所以，因此．
又因为，，
所以．
又因为，，所以，解得，
因此．