8.6.1 直线与直线垂直
【预学案】
【情境导入】
观察下面两个图形．
【问题1】教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
【问题2】六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
【问题3】六角螺母中直线AB与BE所成角是多少度？怎样定义空间中直线AB与CD所成的角？
【教材新知】
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知异面直线a，b，经过空间中任意一个点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
(2)图示：
(3)规定：当两直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为0°；
(4)范围：0°≤α≤90°．
【思考】平面内两条相交直线所成角的定义是什么？
2．两条异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
【思考】异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？
【预习自测】
1.在正方体中，与垂直的直线是( )
A. B. C. D.
2.在长方体中，，，则异面直线与所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【预习反馈】
【探究案】
探究一、求异面直线所成的角
例1 如图，已知正方体.
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小.
（3）求直线与AC所成的角的大小.
解：（1）棱AB，BC，CD，DA，，，，所在直线分别与直线垂直.
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于.
（3）如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与AC所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与AC所成的角等于.
【变式】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
【归纳总结】求两异面直线所成的角的步骤
【练习】
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
探究二 异面直线互相垂直的证明
例2、如图（1），在正方体中，为底面的中心.求证.
【变式】 如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，BB′的中点为M，CD的中点为N，求证：AM⊥D′N.
【归纳总结】证明两异面直线垂直的步骤
【练习】
在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
【课后小结】8.6.1 直线与直线垂直
【预学案】
【情境导入】
观察下面两个图形．
【问题1】教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
【问题2】六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
【问题3】六角螺母中直线AB与BE所成角是多少度？怎样定义空间中直线AB与CD所成的角？
【教材新知】
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知异面直线a，b，经过空间中任意一个点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
(2)图示：
(3)规定：当两直线a，b互相平行时，我们规定它们所成的角为0°；
(4)范围：0°≤α≤90°．
【思考】平面内两条相交直线所成角的定义是什么？
提示：两直线相交，所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角．
2．两条异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
【思考】异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？
提示：相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．
【预习自测】
1.在正方体中，与垂直的直线是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A中，与所成角为，由已知条件可得，在中为，所以与不垂直.
B中，，所以与不垂直.
C中，设分别为和的中点，则.
又因为也是的中点，，所以，所以与垂直.
D中，，所以与所成角为，由已知 条件可得在中，为，所以与不垂直.
2.在长方体中，，，则异面直线与所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：C
解析：如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以，故选C.
【探究案】
探究一、求异面直线所成的角
例1 如图，已知正方体.
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小.
（3）求直线与AC所成的角的大小.
解：（1）棱AB，BC，CD，DA，，，，所在直线分别与直线垂直.
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于.
（3）如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与AC所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与AC所成的角等于.
【变式】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG,
∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EGCD,GFAB.
∴∠GFE就是EF与AB所成的角或其补角.
∵AB⊥CD,∴GF⊥EG,∴∠EGF=90°.
∵AB=CD,∴△EFG为等腰直角三角形.
∴∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.
【归纳总结】求两异面直线所成的角的步骤
(1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移，使两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角．
(2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角．
微提醒：根据空间中角的直观图无法直接判断角是锐角、直角、钝角，因此作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是其补角．
【练习】
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
【解析】如图连接BC1，与B1C交于点O，则O为B1C的中点，取AB的中点D，连接CD，OD，
所以OD∥AC1，OD＝AC1，
所以∠COD或其补角为异面直线AC1与B1C所成角，
因为直三棱柱ABC A1B1C1，且AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，所以AC1＝5，
所以OD＝AC1＝，OC＝B1C＝2，CD＝AB＝，
所以由余弦定理知，
cos ∠COD＝＝＝，
所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
探究二 异面直线互相垂直的证明
例2、如图（1），在正方体中，为底面的中心.求证.
证明：如图（2），连接.
是正方体，.
四边形是平行四边形..
直线与所成的角即为直线与BD所成的角.
连接，，易证.
又为底面的中心，为的中点，
..
【变式】 如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，BB′的中点为M，CD的中点为N，求证：AM⊥D′N.
【证明】取CC′中点M′，连接DM′，
则AM∥DM′，由△DCM′≌△D′DN，可知∠CDM′＝∠DD′N，
因为∠CDM′＋∠D′ND＝∠DD′N＋∠D′ND＝90°，所以DM′⊥D′N，所以AM⊥D′N，
所以异面直线AM与D′N所成的角为90°.
所以AM⊥D′N.
【归纳总结】证明两异面直线垂直的步骤
(1)作出两异面直线所成的角．
(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系．
(3)结论．
【练习】
在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
【证明】如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，
所以A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1C＋BC，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，
所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
