题型一：可重复问题
1 2 3 4
14 C A B
题型二：限制问题
1 2 3 4 5
B B
6 7 8
9 44
题型三：相邻问题
1 2 3
C
题型四：不相邻问题
1 2 3 4
题型五：分组问题
1.
1 2 3 4 5
A A A B
2.
1 2 3 4 5 6
D B 96 A
3.
1 2 3
思考题
1 2 3 4 5
540
题型六：隔板法
1 2 3 4 5
题型七：定序问题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A C B
题型八：选排问题
1 2 3 4 5
B C C
题型九：多元问题
1 2 3 4 5 6 7
A 29 B D 1080 30
题型十：正难则反
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
141 C C D 14 32 C B B B
题型十一：涂色问题
1 2 3
B
4 5
课后练习：
1 2 3 4 5
D C C A B
6 7 8 9 10
D D C 86400 5040
11 12 13 14 15
（1）2;（2）10;（3）65;（4）1560 （1）56;（2）840 C （1）10;（2）7800 C
16 17 18 19 20
D (1);(2);(3); D B C
1．D
【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．
【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，
再与另一个男生排列，则有种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，
利用分步乘法原理，共有种.
故选：D．
【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．
2．C
【分析】记事件位男生连着出场，事件女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为，再利用排列组合可求出答案．
【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，
记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，
事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，
因此，出场顺序的排法种数
种，故选C．
【点睛】本题考查排列组合综合问题，题中两个事件出现了重叠，可以利用容斥原理
来等价处理，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题．
3．C
【详解】把语文和英语看作一个复合元素和数学全排，形成了三个空，把音乐和体育插入到其中 个空中，故有 种，若第一节排数学, 节只能排语文和英语, 节只能排音乐和体育，故有 种，故第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有 种，故选 .
4．A
【分析】根据给定条件先求出“射”不在第一次的“六艺”讲座不同的次序数，去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的“六艺”讲座不同的次序数即可得解.
【详解】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
【点睛】思路点睛：含有两个限制条件的排列问题，利用排除法，先让一个条件被满足，再去掉这个条件满足时另一个条件不满足的所有可能即可解决问题.
5．B
【详解】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊人的身高可记为.要求不相邻，分四类：①先排时，则只有种排法，在剩余的两个位上，这样有种排法；②先排时，则只有种排法，在剩余的两个位上，这样有种排法；③先排时，则只有种排法，在剩余的两个位上，这样有种排法；④先排时，则这样的排法只有两种，即.综上共有种，故选B.
考点：排列与计数原理知识的运用.
6．D
【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.
【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有种；从而所求的结果为种.故选D.
【点睛】本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立事件的方法，属于中档题.
7．D
【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.
【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，
再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，
所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.
故选：D
8．C
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选：C.
9．86400
【分析】分三步，先将5个女孩圆排列，再把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组，最后把这5组放入已成圆排列的5个间隔即可得解.
【详解】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，
先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，
把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，
最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，
所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种).
故答案为：86400
10．5040
【分析】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.
【详解】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，
故人参加“演讲团”的不同参加方法数为；
若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，
故满足条件的方法数为，
故答案为：5040
11．（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
【分析】(1)根据条件每个箱子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案；
(2)将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；
(3)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可；
(4)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，再将每一种分法放入4个不同箱子即可得解.
【详解】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球，
则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中，
所以共有2种放法；
（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为；
（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为．
12．（1）56；（2）840种，计算过程见解析
【分析】（1）利用隔板法求结果；
（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.
【详解】（1）若定义，其中，
则是从方程的非负整数解集到方程的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程正整数解得个数是
从而方程的非负整数解得个数也是56；
（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
从1个安检口通过共有：种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：种方案；
从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：种方案；
从4个安检口通过共有：种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：种.
【点睛】本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
13．C
【解析】根据特殊元素优先安排的原则，分两类，一天2科，另一天4科或每天各3科.
一天2科，另一天4科的情况：先安排数学、物理，再安排另外4科，先分组再分配，一组1科，一组3科，最后给两个大组分别全排列．每天各3科的情况同理．最后把两种情况相加即可．
【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.
①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，
第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；
第三步，完成各科作业，有种方法，
所以共有种.
②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，
第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；
第二步，安排另4科每组2科，有种方法；
第三步，完成各科作业，有种方法，
所以共有种，
综上，共有种.故选C.
【点睛】本题考查分类计数原理，特殊元素优先安排的原则，分类不重不漏，属于基础题．
14．（1）10;（2）7800.
【详解】试题分析：（1）6个名额没有差异，所以选择隔板法，（2）首先先从5个院校选择4个院校，然后将6名冠军分组，3111，或是2211，两种情况，最后再分配乘以排列数
试题解析：（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．
所以选择隔板法，从6个名额之间5个空格选三个隔板，即10种情况
（2）从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有种分配方法．
考点：1.分组分配问题；2.排列.
15．C
【分析】计算不在同一个平面的4个点有组，每一组不共面的4个点形成3对异面直线，计算得到答案.
【详解】在同一个平面内的4个点共有12组（6组为对角面，6组为正方体的底面和侧面），
故不在同一个平面的4个点有组，
每一组不共面的4个点形成3对异面直线，故共有条异面直线.
故选：C.
【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
16．D
【详解】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的，共有种组合，利用分类计数原理能得到结果.
详解：由题意知正方形（边长为个单位）的周长是，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，
列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，
共有种组合，
前种组合，每种情况可以排列出种结果，
共有种结果；
各有种结果，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果，故选D.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；
（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；
（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.
（1）
由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；
（2）
设点、、的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着（不经过E），共有条最近路线；
③沿着（不经过E、G），共有条最近路线；
④沿着（不经过E、G、H），共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）
由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；
故图中共有个矩形.
18．D
【详解】解法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点的涂色方法，有种，若与不同色，则、点只有种涂色的方法，有种涂法；若与同色，则点有种涂色的方法，共种涂法，所以不同的涂法共有种．
解法二：用种颜色涂色时，即与，与都同色，共有种涂色的方法，用种颜色时，有与，与中一组同色，有种情况，共有种，故共有种，故选D．
考点：分类计数原理与排列．
19．B
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置， 有种情况；两种情况合并，共有种情况；
②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；
综上，则共有种不同的站法．
故选：B.
20．C
【详解】解：设跳到第n格的方法有an，
则达到第n格的方法有两类，
①是向上跳一格到达第n格，方法数为an-1，
②向上跳2格到达第n格，方法数是an-2，
则an=an-1+an-2，
有数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21
∴跳到第8格的方法数是21，
故选C．题型一：可重复问题
可重复问题方幂处理(乘法原理）。
1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的方法
有 种安排
2.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,
则这组号码中“优惠卡”的个数为 ( )
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
3.现有4名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,且每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( )
A. B. C. D.
4.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 ( )
A.12种 B.24种 C.30种 D.36种
题型二：限制问题
限制（定位）问题优先处理：某个（几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其它元素，或某个（几个）位置要求排指定元素，可先排这个（几个）位置，再排其它位置。（即可从限制元素或限制位置两方面去考虑）。
1.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ( )
A.种 B.种 C.种 D.种
2.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成,如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.
3.安排7位工作人员从5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人都安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有 种.(用数字作答)
4.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有 个(用数字作答).
5.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导购、导游、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有( )种.
A.280 B.240 C.180 D.96
6.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为 .（以数字作答）
全错位重排数列：1,2,9,44...
7.编号为1,2,3,4的四个小球，分别放入编号1,2,3,4的四个盒子，现在把他们取出来，再重新放进盒子里面，要求都不能放入之前的盒子，一共有多少种方案。
8.5个同学互相赠送贺卡，一共有 种不同的方案。
题型三：相邻问题
把相邻元素“捆绑”为一个大元素，再与其余元素全排列，最后再“松绑”，将捆绑后的大元素内部进行全排列。
1.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 ( )
A. B. C. D.
计划在某画廊展出10幅不同的画,其中一幅水彩画,4幅油画,5幅国画排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,且水彩画不放在两端,则不同陈列方式有 种(用数字作答)
有8本不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其它书3本,若将这些书排列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有 种(用数字作答).
题型四：不相邻问题
不相邻问题插空处理：先排其余元素，然后将不相邻元素插入到其余元素排列的空中。
6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( )
A.144 B.120 C.72 D.24
个人排成一行,其中甲、乙两人相邻，丙，丁两人不相邻的不同排法共有 种。
个人排成一行,其中甲、乙两人相邻，甲，丙两人不相邻的不同排法共有 种。
用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7
与8不相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答)
题型五：分组问题（不同元素之间的分组问题）
（1）平均分组。个元素平均分成组，每组个元素，秒杀公式：第一步：分组：；
第二步：如需对分的组进行排序，则：。
1.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有 种。
A. B.3 C. D.
2.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
3.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种
4.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )
A. B. C. D.
5.将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 ( )
A.12种 B.18种 C.36种 D.54种
（2）部分平均分组。第一步：对平均分组的元素进行分组，第二步：如需对分的组进行排序，则进行全排列。
某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）
2.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
3.四个不同小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，恰有一个空盒的放法有 种。
4.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 ( )
A.30种 B.90种 C.180种 D.270种
5.将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 。
6.将9个人(含甲、乙)平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 ( )
A.70 B.140 C.280 D.840
（3）非平均分组。 只按元素个数分组即可，非平均分组本身已排序。
从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种。
现有3位学生打扫卫生，分成两组，一组扫地，另一组擦窗户，一共有 种安排方案。
3.现有3位学生打扫卫生，分成两组，需要2人扫地，1人擦窗户，一共有 种安排方案。
思考题：
某医院分配3名医生和6名护士紧急前往协助做核酸检测，平均分成3个小组，要求每个小组1名医生和2名护士，问共有多少种分配方案？
某医院分配3名医生和6名护士紧急前往协助做核酸检测，分成3个小组，要求每个小组至少1名医生和至少1名护士，问共有多少种分配方案？
某医院分配3名医生和6名护士紧急前往三个小区协助做核酸检测，要求每个小区1名医生和2名护士，问共有多少种分配方案？
某医院分配3名医生和6名护士紧急前往三个小区协助做核酸检测，要求每个小区1名医生和2名护士，其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区。问共有多少种分配方案？
某医院分配3名医生和6名护士紧急前往A，B，C三个小区协助做核酸检测，要求每个小区1名医生和2名护士，其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，且王医生不能去小区A。问共有多少种分配方案？
题型六：隔板法（相同元素的分组问题）
个元素中有个空挡(不算头尾)，把个隔板分别放于这些空挡中。只能适用于相同元素之间的分组问题，不同于前面的分组（不相同的元素之间分组）。而且与插空法比较类似。
,求这个方程一共有 种解。
,求这个方程一共有 种解。
有10辆完全相同的卡车，分成3个运输小队，要求每个小队至少一辆车，有 种方案。
有10辆完全相同的卡车，分成3个运输小队，要求每个小队至少两辆车，有 种方案。
5.有10辆完全相同的卡车，分成3个运输小队，可以有运输队不分配车辆，有 种方案。
题型七：定序问题
作商处理：对于给定元素顺序确定，再插入其它元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为个，则排列数为:。
五个人并排站在一排,如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻),则不同的排法有 种.
五个人并排站在一排,如果甲必须站在乙的前面(甲乙可不相邻)，乙必须站丙的前面,则方法有 种.
五个人并排站在一排,如果甲必须站在乙的前面(甲乙可不相邻)，丙必须站乙的前面,则方法有 种.
4.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后进行,又工程丁必须在丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同的排法种数是____.
5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同的种数为 ( )
A.42 B.30 C.20 D.12
6.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同的调整方法的种数是 ( )
B. C. D.
7.如图,小明从街道的处出发,先到处与小红会合,再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A.24 B.18 C.12 D.9
思考：如果是长方体路径最短问题呢？
8.已知现有“恭喜发财，四季平安”共8个灯笼，需要将这8个灯笼悬挂在门前，规定“恭喜发财”从上至下且挂门的左边，“四季平安”从上至下挂门的右边，挂灯笼的顺序不特定，一共有 种方法。
9.已知现有“恭喜发财，岁岁平安”共8个灯笼，需要将这8个灯笼悬挂在门前，规定“恭喜发财”从上至下且挂门的左边，“岁岁平安”从上至下挂门的右边，挂灯笼的顺序不特定，一共有 种方法。
题型八：选排问题
选排问题先选后排处理：从n个元素中选出限制的几个元素安排到指定位置上，用先选后排法。
1.将标号为1，2，…，10的球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内,每个盒内放一个球, 则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）
2.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览, 每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 ( )
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
3.从这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,共可得到的不同值的个数是 ( )
A.9 B.10 C.18 D.20
4.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______中不同的选法.(用数字作答)
5.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为 ( )
A.432 B.288 C.216 D.108
题型九：多元问题
多元问题分类(加法原理)处理：对于有多种可能性排列的，要先进行分类，对每一类进行排列，然后利用加法原理。
1.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法有 ( )
A.20种 B.30种 C.40种 D.60种
2.有7名运动员，其中3人只会打篮球，2人只会打排球，2人即会打篮球又会打排球，从中挑选4名运动员，2人加入篮球队，2人参加排球队，一共有_____种方案。
3.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分。若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 ( )
A.48 B.36 C.24 D.18
4.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )
A.16种 B.36种 C.42种 D.60种
5.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则
不同的选取法有 种(用数字作答)。
6.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_________个。(用数字作答)
7.将数字1，2,3,4,5,6排成一排，记第i个数字为，若，，则不同的排列方式有______种(用数字作答)。
题型十：正难则反问题
对于正面不好解决的排列、组合问题,考虑反面，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有 种。
2.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( )
A.70种 B.80种 C.100种 D.140种
3.定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1,且对任意，中0的个数不少于1的个数。若，则不同的“规范01数列”共有 ( )
A.18个 B.16 C.14个 D.12个
4.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________
种。(用数字填写答案)
5.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
6.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种。
7.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。
8.正六边形中心和顶点共7个点中，以其中3个点为顶点的三角形共有 个。
9.甲、乙两人从 4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6 B.12种 C.30种 D.36种
10.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.15
11.满足,且关于的方程有实数解的有序数对的个数为 ( )
A.14 B.13 C.12 D.10
12.用0,1,…,9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )
A.243 B.252 C.261 D.279
题型十一：涂色问题
方法一：1.优先从相邻边最多的区域开始；2.每涂一块的时候需要分为两类，(1).用以前用过的颜色，(2).使用还没有用过的颜色。
方法二：1.按照不相邻的原则，把所有区域分成两部分；2.进行分类(1)不相邻区域用1种颜色；(2)不相邻区域用1种颜色；(2)不相邻区域用2种颜色；(3)不相邻区域用3种颜色... ...
1.如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种。
2.如图,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为 ( )
A.96 B.84 C.60 D.48
3.如图,一环形花坛分成五块,现有5种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为
4.如图,一环形花坛分成六块,现有5种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为
5.如图,一环形花坛分成六块,现有5种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为
排列组合综合练习
一、相邻与不相邻问题
1．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种
2．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30 B．36 C．60 D．72
3．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有
A．14种 B．16种 C．20种 D．30种
4．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
5．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为
A．12 B．14 C．16 D．18
6．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种 B．240种 C．144种 D．288种
二、分组问题
7．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．40种 C．50种 D．60种
8．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
9．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为________．
（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
12．（1）求方程的非负整数解的个数；
某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
13．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为
A．600 B．812 C．1200 D．1632
14．从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．
（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？
（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？
三、几何中的组合问题
15．在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（ ）对.
A．152 B．164 C．174 D．182
16．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有
A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
17．如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
其它问题
18．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
19．2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
20．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为
A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
