第二讲 函数的基本性质
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的单调递减区间是 ( )
(2)对于函数，
则函数在D上是递增函数 ( )
(3)函数是R上的增函数．( )
(4)函数上是增函数，则函数的单调递增区间是．( )
2. 已知是定义在上的奇函数,且在上是增函数,则的解集为
（A） （B） （C） （D）
3.设函数，则_______；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是_______.
4.定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 （ ）
A. B.
C. D.
课中讲解
函数的单调性LV.4
（一）会判断函数的单调性 LV.3
函数单调性判断方法:定义法，图像法，结构法，复合函数，导数法
函数单调性的常用结论
(1)若均是区间上的增(减)函数，则也是区间上的增(减)函数．
(2)若，与单调性相同；若，则与单调性相反．
(3)函数在公共定义域内的单调性相反．
(4)函数在公共定义域内与的单调性相同．
例1.
已知函数,那么 ( )
（A）函数的单调递减区间为
（B）函数的单调递减区间为
（C）函数的单调递增区间为
（D）函数的单调递增区间为
例2.
下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
例3.
若函数，则该函数在上是 （ ）
A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值
C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值
例4．
函数的递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例5.
已知函数,给出下列结论:
①在上是减函数;
②在上的最小值为;
③在上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号）
例6.
若函数，则下列结论正确的是（ ）
A.，在上是增函数
B.，在上是减函数
C.，是偶函数
D.，是奇函数
过关检测（10mins）
1. 函数上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
2. 给定函数①②，③，④.其中在区间上单调递减的函数序号是________．
3．函数的单调增区间是( )
A． B．
C． D．
4.已知函数,则的
（A）图象关于原点对称,且在上是增函数
（B）图象关于轴对称,且在上是增函数
（C）图象关于原点对称,且在上是减函数
（D）图象关于轴对称,且在上是增函数
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数
3．两函数上都是增(减)函数，则也为增(减)函数，但，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
（二）会利用单调性求最值LV.4
单调性与最值的有关结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
(3)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在．
(4)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上端点值就是函数的最值．
例1．
函数在上的最大值与最小值之差为( )
A． B．
C． D．
例2.
函数的最大值是______.
例3．
函数的最小值为________．
例4．
已知函数
若时间， 的最小值是________．
例5．
已知定义在区间上的函数满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)证明：为单调递减函数；
(3)若，求在上的最小值．
过关检测（10mins）
函数的值域为________．
2.函数的最大值为________．
3．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
（三）会利用单调性解决比较大小、不等式和求参数范围等问题LV.5
高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；
(2)解函数不等式；
(3)求参数的值或取值范围
．
例1．
已知，则下列不等式一定成立的是
（A） （B） （C） （D）
例2．
已知奇函数在上是增函数．若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
例3．
已知函数若则实数的取值范围是 ( )
A B C D
例4．
已知函数则满足不等式的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
.
例5．
若函数的单调递增区间是，则=________．
例6．
已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是( )
A． B.
C. D.
例7．
已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，
则的取值范围是
A． B． C． D．
过关检测（10mins）
1.已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.若函数在上的最大值为4，最小值为
且函数在上是增函数，则等于＿＿＿＿．
3.若函数,若,则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
4．若函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．
5..若，则（ ）
6.设，，若，，，则下列关系式中正确的是 （）
A． B． C． D．
奇偶性LV.5
函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
（一）会奇偶性的判断LV.3
例1.
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(3)函数、既是奇函数又是偶函数．( )
(4)函数f(x)为R上的奇函数，且，则 ( )
例2.
判断下列函数的奇偶性：
(1) (2) (3)；
(4) (5)(易错题)
例3.
如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A． B．
C． D．
例4.
设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
过关检测（10mins）
1.下列说法错误的个数是( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是
A.4 B.3 C.2 D.0
2.. 判断下列函数的奇偶性：
；；（3）.
3.是定义在R上的奇函数，试判断的奇偶性.
（二）会奇偶性的应用LV.5
例1.
利用奇偶性求参数值
（1）若函数是偶函数，定义域为，则_.
（2）若函数为偶函数，则a＝________.
例2.
利用奇偶性求函数值
（1）已知，且，则等于( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
例3.
利用奇偶性求解析式
为R上的奇函数，当，，求f(x)的解析式．
例4.
利用奇偶性的图象特征解不等式
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当，若，则实数的取值范围是( )
A．) B．
C． D．
例5.
已知函数是定义域为的奇函数，且当时， ，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例6
已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
例7.
已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
例8.
已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
例9.
已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 .
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
过关检测（10mins）
1.已知函数为R上的偶函数，当，则____________， ________________.
2.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
且=，＝ （ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
3.设函数(R)是偶函数，则实数= ．
4．函数是定义域为R的奇函数,当时,,则当时,的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
5．若函数 是奇函数，则使成立的的取值范围为
A． B． C． D．
6.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
7.已知定义在上的函数()为偶函数．记
，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
会判断周期性与对称性及其应用LV.4
1.周期性的三个常用结论
对定义域内任一自变量的值x：
(1)若
(2)若，；
(3)若，
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数，即，
则函数的图象关于直线对称；
(2)若对于R上的任意x都有，则的图象关于直线对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即，
则函数关于点中心对称．
例1. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是 .
例2.
已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当 时，，则= .
例3.
已知函数的定义域为R.当， ；当 时，；当 时， .则（ ）
（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）2
例4.
定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）
A． B． C． D．
例5.
已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时， （），当时， 的最小值为3，则的值等于（ ）
A. B. C. 2 D. 1
例6.
在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
例7.
给定条件:①,;②,下列三个函数:中,同时满足条件①②的函数个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例8．
求解析式问题
已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。
设函数的图象关于直线对称，若当时，，求当时, ,f(x)的解析式.
设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.
过关检测（10mins）
1.已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为 （ ）
A． B． C．2 D．8
2.已知是定义在R上周期为4的奇函数，当时， （ ）
A．－2 B． C．2 D．5
3.已知是定义在R上的偶函数，且．
若当_______.
5. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则＝ ．
6. 若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
7.设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.
会函数的综合应用LV.6
（一）利用函数综合性质解题LV.6
例1.
已知函数同时满足以下条件:①周期为;②值域为;③.试写出一个满足条件的函数解析式.
例2.
已知函数,关于的性质,有以下四个推断:①的定义域是;②的值域是;③是奇函数;④是区间上的增函数,其中推断正确的个数是
（A） （B） （C） （D）
例3.
设（）,则下列说法不正确的是
（A）为上偶函数 （B）为的一个周期
（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减
例4.
已知函数．下列命题：
①函数的图象关于原点对称；
②函数是周期函数；
③当时,函数取最大值；
④函数的图象与函数的图象没有公共点，
其中正确命题的序号是
（A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④
例5.
已知函数．下列命题：
①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象是轴对称图形；
③函数在区间上共有7个零点；④函数在区间上单调递增．
其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）
例6.
若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为
（A） （B） （C） （D）
例7.
单位圆的内接正()边形的面积记为,则________;
下面是关于的描述:
①; ②的最大值为;
③; ④.
其中正确结论的序号为________（注:请写出所有正确结论的序号）
过关检测（10mins）
1. 已知函数同时满足以下条件:
①定义域为;
②值域为;
③.
试写出一个函数解析式.
2.已知函数则下列结论正确的是
（A）是偶函数 （B）是增函数
（C）是周期函数 （D）的值域为
3.设函数的周期是,当时,
①;
②若有最小值,且无最大值,则实数的取值范围是.
4．（已知函数下列四个命题：
①；
②，；
③的极大值点为；
④，
其中正确的有.（写出所有正确命题的序号）
5.已知函数,下列命题正确的有.（写出所有正确命题的编号）
①是奇函数;
②在上是单调递增函数;
③方程有且仅有1个实数根;
④如果对任意,都有,那么的最大值为2.
6 已知函数当时,函数的最大值是若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是
（二）会运用函数性质解决新定义问题LV.6
例1.
. 函数的图象上任意一点的坐标满足条件,称函数具有性质.下列函数中,具有性质的是
（A） （B）
（C） （D）
例2.
如果函数在定义域内存在区间,使在上的值域是,那么为“倍增函数”,
若函数为“倍增函数”,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
例3.
设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数，如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是
例4．设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x＋sin πx－3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为( )
A． B．
C． D．
过关检测（10mins）
1.若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数其中“在上是有界函数”的序号为__________．
；②；③；④，
2.已知定义域为D的函数,如果对任意,存在正数K, 都有成立，那么称函数是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①② =；③=；④=，其中是“倍约束函数的序号是
3.函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数．
(1)判断函数是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
(2)若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．
课后练习
补救练习（20mins）
1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是( )
A． B．
C． D．
3．已知为定义在R上的奇函数 ( )
A． B． C. D．
4．已知偶函数在区间上单调递减，则满足不等式成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．已知为奇函数，当等于( )
A． B．
C． D．
6．已知函数的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
7．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在R上的奇函数， ________.
9．若是奇函数，则________.
10.在R上是奇函数,. （ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
0．已知函数在实数集上具有下列性质:①是偶函数;②;③当时,,则的大小关系为 （ ）
A． B．
C． D．
巩固练习（20mins）
1．已知函数是定义在R上的函数，若函数为偶函数，且f(x)对任意，都有，则( )
A．
B．
C．
D．
3．若定义在R上的偶函数和奇函数满，则g(x)＝( )
A． B.
C. D.
3．定义在R上的偶函数f(x)满足对于，则 _______.
4．已知奇函数的定义域为，且在区间上递减，求满足的实数m的取值范围．
5.设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
6. 已知定义在上的函数对任意实数满足， ，且当时， ，则函数与的图象的交点个数为（ ）
A. B. C. D.
7、若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有____个
拔高练习（20mins）
1. 若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 __
2.已知，若函数在是增函数，则的取值范围是________
3. 已知函数，若函数为奇函数，则实数
4.已知函数f(x)=在R不是单调函数，则实数的取值范围是
5.定义在上的函数，若对任意不等实数满足，且满足不等式成立.函数的图象关于点对称，则当 时，的取值范围为_______
6.设函数，则下列命题中正确命题的序号有
（请将你认为正确命题的序号都填上
①当时，函数在R上是单调增函数；
②当时，函数在R上有最小值
③函数的图象关于点对称；
④方程可能有三个实数根
7.设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“型增函数”，则实数的取值范围是 ．第二讲 函数的基本性质
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的单调递减区间是 ( )
(2)对于函数，
则函数在D上是递增函数 ( )
(3)函数是R上的增函数．( )
(4)函数上是增函数，则函数的单调递增区间是．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2. 已知是定义在上的奇函数,且在上是增函数,则的解集为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查函数的单调性和奇偶性
是定义在上的奇函数,所以,又在上是增函数,所以在上为增函数,所以,即,解得,故选C.
3.设函数，则_______；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是_______.
【答案】，.
【解析】本题考查分段函数.易得；若在其定义域内为单调递增函数，则在和上均为增函数，且满足，解得.
4.定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】奇函数在区间上单调递增且，已知奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，故奇函数在区间上单调递增且从而函数在上单调递增。由奇函数中任意满足，且题设，故；；由，故，即故本题正确答案为D.
课中讲解
函数的单调性LV.4
（一）会判断函数的单调性 LV.3
函数单调性判断方法:定义法，图像法，结构法，复合函数，导数法
函数单调性的常用结论
(1)若均是区间上的增(减)函数，则也是区间上的增(减)函数．
(2)若，与单调性相同；若，则与单调性相反．
(3)函数在公共定义域内的单调性相反．
(4)函数在公共定义域内与的单调性相同．
例1.
已知函数,那么 ( )
（A）函数的单调递减区间为
（B）函数的单调递减区间为
（C）函数的单调递增区间为
（D）函数的单调递增区间为
【答案】
【解析】由图像性质可知
例2.
下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】.选项的函数的增区间为，所以在上一定是增函数．
例3.
若函数，则该函数在上是 （ ）
A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值
C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值
【答案】 A
【解析】单调递减，无最小值
例4．
函数的递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【解析】：因函数的定义域为,对称轴为,故单调递减区间为，所以应选A.
例5.
已知函数,给出下列结论:
①在上是减函数;
②在上的最小值为;
③在上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【解析】本题考查函数性质的综合应用.
因为在上均为减函数,所以在上是减函数,故①正确;
因为,所以,②错误;
因为在上连续,且,,,
所以在至少存在两个零点,③正确.
例6.
若函数，则下列结论正确的是（ ）
A.，在上是增函数
B.，在上是减函数
C.，是偶函数
D.，是奇函数
【答案】C
【解析】利用导数求函数的单调性
过关检测（10mins）
1. 函数上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
【答案】 C
【解析】 对称轴为，函数在 上为减函数，在上为增函数．
2. 给定函数①②，③，④.其中在区间上单调递减的函数序号是________．
【答案】 ②③
【解析】 ①在上递增；②∵上递增，且，故在上递减；③结合图象(图略)可知在上递减；④∵上递增，且上递增．故在区间上单调递减的函数序号是②③.
3．函数的单调增区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 ，又∵是由，和两个函数复合而成，而函数上是增函数，在上是增函数，又因为的定义域为，所以的单调增区间是故选B.
4.已知函数,则的
（A）图象关于原点对称,且在上是增函数
（B）图象关于轴对称,且在上是增函数
（C）图象关于原点对称,且在上是减函数
（D）图象关于轴对称,且在上是增函数
【答案】B
【解析】
关于轴对称 任取,设
,且
在上单调递增
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数
3．两函数上都是增(减)函数，则也为增(减)函数，但，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
（二）会利用单调性求最值LV.4
单调性与最值的有关结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
(3)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在．
(4)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上端点值就是函数的最值．
例1．
函数在上的最大值与最小值之差为( )
A． B．
C． D．
【答案】选B.
【解析】易知在上是减函数，
所以，故选B.
例2.
函数的最大值是______.
【答案】
【解析】由题易得:
因为,所以,
所以当时,函数取得最大值
例3．
函数的最小值为________．
【答案】1
【解析】换元法 或者单调性法求解
例4．
已知函数
若时间， 的最小值是________．
【答案】
【解析】因为函数在区间为单调递增函数．所以当时，的最大值为，当时，的最小值为
例5．
已知定义在区间上的函数满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)证明：为单调递减函数；
(3)若，求在上的最小值．
【答案】
【解析】(1)令
代入得.
(2)证明：任取
则，由于当，
所以，即，
因此，
所以函数在区间上是单调递减函数．
(3)∵在上是单调递减函数．
由，得，
而，∴.
在上的最小值为.
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1.函数的值域为________．
【答案】 [5,7]
【解析】 解法一：，
有对勾函数图像上是增函数．
∴在上为增函数，
从而得值域为．
或者导数法求解
3.函数的最大值为________．
【答案】
【解析】令，则t≥0，所以，得最小是
4．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
【答案】 A
【解析】由条件知在上有最小值，.
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴一定有最小值．
（三）会利用单调性解决比较大小、不等式和求参数范围等问题LV.5
高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；
(2)解函数不等式；
(3)求参数的值或取值范围．
例1．
已知，则下列不等式一定成立的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】本题选D.
【解析】本题考查函数单调性.因为指数函数在定义域上单调递减，所以当时，，故选D.
例2．
已知奇函数在上是增函数．若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数为奇函数，所以，
又，，
由题意，，选C．
例3．
已知函数若则实数的取值范围是 ( )
A B C D
【答案】C
【解析】由题知在上是增函数，得解得
例4．
已知函数则满足不等式的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】本题考查分段函数图像和函数的单调性.
由图像可得或,解得.
例5．
若函数的单调递增区间是，则=________．
【答案】
【解析】由可知的单调递增区间为，
故．
例6．
已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是( )
A． B.
C. D.
【答案】选C.
【解析】由已知条件知为增函数，
所以解得，
所以a的取值范围是.故选C.
例9．
已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，
则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】．A
【解析】由题意时，的最小值2，所以不等式等价于
在上恒成立．
当时，令，得，不符合题意，排除C、D；
当时，令，得，不符合题意，排除B；
选A．
过关检测（10mins）
1.已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】结合不等式性质与函数的图像性质求解
2.若函数在上的最大值为4，最小值为
且函数在上是增函数，则等于＿＿＿＿．
【答案】．
【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.
3.若函数,若,则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】．C
【解析】由分段函数的表达式知，需要对的正负进行分类讨论．
．
4．若函数 在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为函数 在R上单调递减，则满足条件解得
5..若，则（ ）
【答案】.D
【解析】构造函数研究其单调性，再比较大小
6.设，，若，，，则下列关系式中正确的是 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，；．为，由是个递增函数，，所以．
奇偶性LV.5
函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
（一）会奇偶性的判断LV.3
例1.
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(3)函数、既是奇函数又是偶函数．( )
(4)函数f(x)为R上的奇函数，且，则 ( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
例2.
判断下列函数的奇偶性：
(1) (2) (3)；
(4) (5)(易错题)
【答案】
（1）解：(1)
的定义域为．
，
即．
∴既是奇函数又是偶函数．
(2)∵定义域为，
不关于坐标原点对称，
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵的定义域为R，
∴，
所以为奇函数．
(4)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，
，∴是奇函数．
(5)易知函数的定义域为，关于原点对称，又当，
则当，
故；
当
故，故原函数是偶函数．
例3.
如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】根据奇偶函数的定义判断．
例4.
设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】 B
【解析】 奇函数，为偶函数，故为奇函数，为奇函数，|为偶函数，为偶函数．故选B.
过关检测（10mins）
1.下列说法错误的个数是( )
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是
A.4 B.3 C.2 D.0
【答案】B
【解析】由奇偶函数定义判断
2.. 判断下列函数的奇偶性：
；；（3）.
【答案】
【解析】(1)由于【解析】的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．
(2)定义域是R，关于原点对称，
且)
故是奇函数
（3）是奇函数．
3.是定义在R上的奇函数，试判断的奇偶性.
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，
∴是奇函数.
是偶函数.
是奇函数.
反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入，看总的结果.
（二）会奇偶性的应用LV.5
例1.
利用奇偶性求参数值
（1）若函数是偶函数，定义域为，则_.
【答案】 0
【解析】 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得
又函数为偶函数，所以二次函数的对称轴，易得.
（2）若函数为偶函数，则a＝________.
【答案】 1
【解析】 用定义求解或者带特殊值求解
例2.
利用奇偶性求函数值
（1）已知，且，则等于( )
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
【答案】 A
【解析】 解法一：令，易知g(x)是R上的奇函数，从而又
例3.
利用奇偶性求解析式
为R上的奇函数，当，，求f(x)的解析式．
【答案】
【解析】 参考例题
例4.
利用奇偶性的图象特征解不等式
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当，若，则实数的取值范围是( )
A．) B．
C． D．
答案】 C
【解析】∵是奇函数，∴当.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知是R上的增函数，由，得解得
例5.
已知函数是定义域为的奇函数，且当时， ，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以.据题设可知，当时，.又分析知在上单调递增，所以若，则.所以,又因为，有，解得.
例6
已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，令，解得，当时，
令，解得，故．
∵为偶函数，∴的解集为，
故的解集为．
例7.
已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意在上递减，又是偶函数，则不等式或化为，则，，解得，即答案为．
例9.
已知，设函数的最大值为，最小值为，那么
【答案】4016
【解析】，注意到和都为奇函数，故对函数考虑构造新函数为奇函数，而，在区间上由奇函数的对称性知，故
例10.
已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由此函数是奇函数，且单调递增，然后用单调性接不等式
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
过关检测（10mins）
1.已知函数为R上的偶函数，当，则____________， ________________.
【答案】：0 －1
【解析】∵当时，
∵函数为R上的偶函数，
2.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
且=，＝ （ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】：C
【解析】用换，得，
化简得，令，得，故选C．
3.设函数(R)是偶函数，则实数= ．
【答案】－1
【解析】设，∵为奇函数，由题意也为奇函数。
所以解得．
4．函数是定义域为R的奇函数,当时,,则当时,的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】参照例题
5．若函数 是奇函数，则使成立的的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】．C
【解析】由，即
得，，，故选C．
6.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意在上递减，又是偶函数，则不等式或化为，则，，解得，即答案为．
7.已知定义在上的函数()为偶函数．记
，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数为偶函数，则有，可求得，即，又所以
会判断周期性与对称性及其应用LV.4
1.周期性的三个常用结论
对定义域内任一自变量的值x：
(1)若
(2)若，；
(3)若，
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数是偶函数，即，
则函数的图象关于直线对称；
(2)若对于R上的任意x都有，则的图象关于直线对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即，
则函数关于点中心对称．
例1.
设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是 .
【答案】
【解析】：用周期性质可得
例2.
已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当 时，，则= .
【答案】-2
【解析】由函数的奇偶性和周期性求解
例3.
已知函数的定义域为R.当， ；当 时，；当 时， .则（ ）
（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）2
【答案】D
【解析】当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以
例4.
定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析： 由题意可得，即函数是周期为4的周期函数，又是上的奇函数，在上，故
例5.
已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时， （），当时， 的最小值为3，则的值等于（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以，即.当时,.，有,函数在函数单减，在单调递增.，解得，故选A.
例6.
在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
【答案】：B
【解析】
由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.
例7.
给定条件:①,;②,下列三个函数:中,同时满足条件①②的函数个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】B
【解析】本题考查函数的基本性质
条件①说明函数图象上存在关于原点对称的点;条件②说明函数的对称轴是
是奇函数,满足条件①,但无对称轴,不满足条件②;
对称轴是,满足条件②,不满足条件①;
的一条对称轴是,且,满足条件①②.
例8．
求解析式问题
已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。
【答案】
【解析】由条件可知：由于两个函数关于原点对称，。在任意取一点则都在 得所以
设函数的图象关于直线对称，若当时，，求当时, ,f(x)的解析式.
【答案】
【解析】都对称性质得
（3）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.
【答案】
【解析】：设
时，有
是以2 为周期的函数，.
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1.已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为 （ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【解析】由已知，，则，所以是周期为4的周期函数．所以，选A．
2.已知是定义在R上周期为4的奇函数，当时， （ ）
A．－2 B． C．2 D．5
【答案】A
【解析】因为是定义在R上周期为4的奇函数，所以，，故选A．
3.已知是定义在R上的偶函数，且．
若当_______.
【答案】6
【解析】
，
5. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则＝ ．
【答案】1
【解析】由 ，可得，所以是以4为周期的函数，又由为奇函数，可得，即，所以，时，. 因此.
6. 若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
【答案】
【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故
7.设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.
【答案】
【解析】：当，即，
又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，
会函数的综合应用LV.6
（一）利用函数综合性质解题LV.6
例1.
已知函数同时满足以下条件:①周期为;②值域为;③.试写出一个满足条件的函数解析式.
【答案】或等
【解析】或等
例2.
已知函数,关于的性质,有以下四个推断:①的定义域是;②的值域是;③是奇函数;④是区间上的增函数,其中推断正确的个数是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查基本性质以及导数的应用.
①项,,解得。所以的定义域是,故①项正确,符合题意;
②项,已知函数,可求出函数的导数,解得。在时,,为减函数;在时,,为增函数;在时,,为减函数。在趋向于正无穷和负无穷时,均趋向于,且,。故的值域是,故②项正确,符合题意;,,所以可得,故是奇函数,故③项正确,符合题④项错误,不符合题意,故选C
例3.
设（）,则下列说法不正确的是
（A）为上偶函数 （B）为的一个周期
（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减
【答案】D
【解析】本题考查函数性质.
因为,则
所以,即为偶函数.故A正确
因为,则
所以,则周期为,故B正确.
因为,则,在,上,则在区间上单调递减,在,上,则在区间上单调递增,则为的一个极小值点,故C正确.
因为,则,在上,则在区间上单调递增,故D错误.
综上,故选D.
例4.
已知函数．下列命题：
①函数的图象关于原点对称；
②函数是周期函数；
③当时,函数取最大值；
④函数的图象与函数的图象没有公共点，
其中正确命题的序号是
（A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④
【答案】C
【解析】有奇偶性性质判断此函数是奇函数所以①正确，因为是周期函数，而不是周期函数，所以不是周期函数，③可以发现处的导数值不为零，
所以错误，④可以转化成两个函数的交点问题是错误的
例5.
已知函数．下列命题：
①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象是轴对称图形；
③函数在区间上共有7个零点；④函数在区间上单调递增．
其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）
【答案】①②③
【解析】当时函数有大值，而在取得最小值，所以①正确，为对称轴，所以②正确 。所以则k整数，在区间上有-3，-2，-1,0,1,2,3共7个零点，故③正确，由于所以不可能为单调函数
例6.
若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查函数的性质.
,则为奇函数,函数即为函数向右平移一个单位得到,故最大值和最小值之和为6,故选C
例7.
单位圆的内接正()边形的面积记为,则________;
下面是关于的描述:
①; ②的最大值为;
③; ④.
其中正确结论的序号为________（注:请写出所有正确结论的序号）
【答案】;①③④
【解析】内接正边形可拆解为个等腰三角形,腰长为单位长度,顶角为.每个三角形的面积为,所以正边形面积为
.,①正确;
正边形面积无法等于圆的面积,所以②不对;
随着的值增大,正边形面积也越来越大,所以③正确;
当且仅当时,有,由几何图形可知其他情况下都有,所以④正确.
过关检测（10mins）
1. 已知函数同时满足以下条件:
①定义域为;
②值域为;
③.
试写出一个函数解析式.
【答案】或或（答案不唯一）
满足函数定义域是全体实数,值域为,且是偶函数即可.
2.已知函数则下列结论正确的是
（A）是偶函数 （B）是增函数
（C）是周期函数 （D）的值域为
【答案】D
【解析】本题考查函数性质
该分段函数的图象如右图所示,易知的值域为,D正确,A、B、C均错误.
3.设函数的周期是,当时,
①;
②若有最小值,且无最大值,则实数的取值范围是.
【答案】,
【解析】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性.
的周期是
当时,为减函数,则
当时,函数为增函数,
则
有最小值,且无最大值,
解得
故的取值范围为,
故答案为:,
4．（已知函数下列四个命题：
①；
②，；
③的极大值点为；
④，
其中正确的有.（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③④
解析】综合考察函数性质，运用函数的性质解决
5.已知函数,下列命题正确的有.（写出所有正确命题的编号）
①是奇函数;
②在上是单调递增函数;
③方程有且仅有1个实数根;
④如果对任意,都有,那么的最大值为2.
【答案】①②④
解析】综合考察函数性质，运用函数的性质解决
6 已知函数当时,函数的最大值是若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是
【答案】
【解析】本题考查函数综合应用.
当时,
令,当,即时取等号
即当时,
令
又因为
则
图象仅有两对点关于轴对称
即的图象关于轴对称的函数图象与仅有两个交点
当时,.设其关于轴对称的函数为
∴
∵
由（1）可知近似图象如图所示
当与仅有两个交点时,
综上,的取值范围是
（二）会运用函数性质解决新定义问题LV.6
例1.
. 函数的图象上任意一点的坐标满足条件,称函数具有性质.下列函数中,具有性质的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】本题选C.
【解析】本题考查函数.
时,得,,故A错;
时,得,,故B错;
时,得,,故D错.
例2.
如果函数在定义域内存在区间,使在上的值域是,那么为“倍增函数”,
若函数为“倍增函数”,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】本题选D.
【解析】本题考查函数.显然在单调递增.
要使在上的值域是,只需.
从而有.
所以只需当时,有两个根.
即有两个根,所以.
例3.
设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数，如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是
【答案】
【解析】：即存在实数 使得对都有恒成立，即
恒成立，当时，恒成立，即；当时，
恒成立，而无最小值，此时不存在
例4．设函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x＋sin πx－3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】：选C ，
【解析】，
∴根据对称中心的定义，可得当，
过关检测（10mins）
1.若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数其中“在上是有界函数”的序号为__________．
；②；③；④，
【答案】②③
【解析】数形结合
2.已知定义域为D的函数,如果对任意,存在正数K, 都有成立，那么称函数是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①② =；③=；④=，其中是“倍约束函数的序号是
【答案】①③④
【解析】：：①；②数形结合不可能存在使恒成立；③成立；④
3.函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数．
(1)判断函数是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．
(2)若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．
【答案】
【解析】：(1)函数，即对于一切实数x使得成立，
∴函数是“圆锥托底型”函数．
对于，如果存在，
而当时，由，
得矛盾，
∴不是“圆锥托底型”函数．
(2) 是“圆锥托底型”函数，故存在，使得对于任意实数恒成立．
时，，此时当时，取得最小值2，
∴也成立．
∴M的最大值等于2.
课后练习
补救练习（20mins）
1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】因为是奇函数，，，均为偶函数，所以A错误；又因为，y＝2－|x|在(均为减函数，只有在上为增函数，所以C，D两项错误，只有B正确．
3．已知为定义在R上的奇函数 ( )
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】 因为为R上的奇函数性质得
4．已知偶函数在区间上单调递减，则满足不等式成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 因为偶函数在区间[0，＋∞)上单调递减，所以在区间对称的区间上单调递增，若由图像可知
5．已知为奇函数，当等于( )
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】 ．
6．已知函数的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
【答案】 B
【解析】 设，显然为奇函数，又，所以.故选B.
7．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数,且,所以,即,因为函数在区间单调递增,所以,即,所以,解得,即a的取值范围是,选C
8．已知函数是定义在R上的奇函数， ________.
【答案】 12
【解析】.
9．若是奇函数，则________.
【答案】
【解析】依题意得
10.在R上是奇函数,. （ ）
A．-2 B．2 C．-98 D．98
【答案】A
【解析】由,得,所以函数的周期是4.所以,选A
0．已知函数在实数集上具有下列性质:①是偶函数;②;③当时,,则的大小关系为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】：由①是偶函数可知关于对称，由②;可知周期是4
由③当时,可知函数递减，画图数形结合比较大小得答案D
巩固练习（20mins）
1．已知函数是定义在R上的函数，若函数为偶函数，且f(x)对任意，都有，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 A
【解析】 因为对任意，都有，所以在单调递减，所以．又因为为偶函数，所以，所以，所以．故选A.
3．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则g(x)＝( )
A． B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 由，可得又f(x)为偶函数，为奇函数，可得，则两式相减，可得选D.
3．定义在R上的偶函数f(x)满足对于，则 _______.
【答案】 1
【解析】
．，.
4．已知奇函数的定义域为，且在区间上递减，求满足的实数m的取值范围．
【答案】
【解析】 ，
∴解得.①
又为奇函数，且在上递减，
∴上递减，
合①②可知－1≤m＜1.
即实数m的取值范围是．
5.设函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】：有条件知在上是增函数，画出函数图象（分）数形结合
6. 已知定义在上的函数对任意实数满足， ，且当时， ，则函数与的图象的交点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可知函数的周期为2,由可知的图象关于直线对称,根据条件可以画出函数与的图象,如图所示,由图可知,交点共6个.
7、若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有____个
【答案】两个
【解析】：数形结合，即看关于原点对称函数与
有几个交点。
当时，，故有2个交点
拔高练习（20mins）
1. 若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 __
【答案】
【解析】解析：等价于方程有两解，即有两解，，，当时有最大值，故
2.已知，若函数在是增函数，则的取值范围是________【答案】
【解析】对称轴是，当时，；
当时，
3. 已知函数，若函数为奇函数，则实数
【答案】
【解析】，显然
4.已知函数f(x)=在R不是单调函数，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】：当时，和都递增，则当时，
，显然不是单调递增函数，适合题意；当时，从反面考虑，由于递减，若函数递减，则，此时有
5.定义在上的函数，若对任意不等实数满足，且满足不等式成立.函数的图象关于点对称，则当 时，的取值范围为_______
【答案】__
【解析】：，（1）时，成立；（2）
（3）无解
6.设函数，则下列命题中正确命题的序号有
（请将你认为正确命题的序号都填上
①当时，函数在R上是单调增函数；
②当时，函数在R上有最小值
③函数的图象关于点对称；
④方程可能有三个实数根
【答案】①③④
【解析】：数形结合（分
7.设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“型增函数”，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】：本题对分正负0三种情况讨论，利用数形结合较好。（1）当时，如图单调递增显然成立；（2）当时，，显然递增成立；（3）当时，如图
只要保证左边平移2011后图象全部在原来图象上方即可，注意到图中两直线的平行，且距离为，故必须且只需
