第三讲 二次函数与幂函数
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 如图是①；②；③在第一象限的图像，则的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据幂函数的图象，可知，，.
故有，答案选D
2. 若幂函数在上为增函数，则实数（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】由为幂函数可得：解得：或
又在上为增函数可得：
3. 已知二次函数满足条件及，
（I）求的解析式；
（II）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（I）; （II），
【解析】（I）设
则
由
又,
（II）的对称轴
在区间单调递减,单调递增;
;.
4．已知函数对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】法1 分类讨论 由题意可知函数在区间上的最小值.
函数的对称轴为
（1）当即时，可知在区间上单调递增.
此时，符合题意；
（2）当即时，可知在区间上单调递减.
此时，，可得
又，故;
（3）当即时，可知
在区间上单调递减，在上单调递增
此时，，可得 ,
又，可得;
综上所述：实数的取值范围
法2 参变分离
原不等式等价于： ，，
结合恒成立的条件可得：
由对勾函数的性质可知函数在定义域内单调递减，
则函数的最小值为： ，
据此可得：实数的取值范围为.
本题选择D选项.
5. 已知方程的两根中，一根在内，另一根在内，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】设函数
由题意可得： 即
解得：
课中讲解
一.会求二次函数解析式LV.3
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
例1 已知是二次函数，若且，试求的解析式.
【答案】
【解析】设
则
由即可得：
即
又,可得
例2 已知二次函数的图象过点，对任意满足，且最小值是，求的解析式．
【答案】
【解析】由题知二次函数图象的对称轴为，又最小值是，
则可设.
又图象过点，则有
解得.
例3 已知二次函数为定义在上的奇函数，满足，且当时，取得最大值，求函数的解析式.
【答案】
【解析】当时，由题意可设的解析式为
其对称轴为，，解得：
故当时，
又为定义在上的奇函数
故
当时，，
综上所述，函数的解析式为
过关检测（10 mins）
1. 已知二次函数的最小值为1，且，求的解析式.
【答案】
【解析】由题意知二次函数图象对称轴为，
可设其解析式为
又，故有 得.
故函数的解析式为
2. 已知二次函数，是常数且，满足条件：，，且对任意的 有，求函数的解析式.
【答案】
【解析】∵对任意的，有，
∴函数的对称轴是①
又，
∴②， ③
由①②③可得：
∴
二.会分析二次函数图象与性质LV.4
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
①当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时， ；
②当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
例1 如果二次函数在区间上是减函数,那么
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】易知二次函数在区间上单调递减
故有 解得
例2 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上,则以下说法正确的是（）
（A）当时, 的最小值为 （B）当时, 一定为
（C）当时, 的最大值为 （D）,一定为
【答案】B
【解析】函数图像,向左平移个单位得到函数的图像
,一定为,所以选项正确.
例3 已知定义域为的奇函数,当时,.
①当时,的取值范围是;
②当函数的图象在直线的下方时,的取值范围是.
【答案】；
【解析】①由题意可知，当时
当时，单调递增，在时取得最小值为；
在时取得最大值为，的取值范围为.
②结合图象可知，的图象与直线交于点，.
当函数的图象在直线的下方时,的取值范围为
例4 设,函数，若在上单调递增，求的取值范围.
【答案】
【解析】①当时,在上,显然单调递增;
②当时,在上,
所以在上单调递增的充要条件是.
故实数的取值范围或.
例5 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】设函数的图象上的点关于轴的对称点在的图象上,则,即在有解,则,的取值范围即为函数上的值域,由二次函数图象可得单调递增,所以,故选D
过关检测（10 mins）
1. 已知函数 若，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】易知函数在定义域上为增函数
由可得：
故实数的取值范围为
2. 已知函数为奇函数，.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若在区间上单调递增,求实数的取值范围.
【答案】（I）；(II)
【解析】（Ⅰ）令,则
又因为为奇函数,
所以
所以,
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
故在区间上单调递增,
若在区间上单调递增
则应有
所以
解得
所以实数的取值范围是.
3. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】本题考查分段函数图象与零点存在定理.
当时,与只有一个公共点;
当时,,图象如图,不符合题意;
当时,,图象如图,若与的公共点不少于两个,则，，.
三.会求解二次函数的最值与恒成立问题 LV.4
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
例1 求函数，的值域_________.
【答案】
【解析】易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
函数在时取得最大值为，在时取得最小值为.
故函数在区间上的值域为.
例2 已知二次函数，若在上的最小值为，求的表达式.
【答案】
【解析】根据二次函数的解析式知为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图所示.
（1）当时，；
（2）当，即时，；
（3）当，即时，.
因此.
例3 已知函数若时，≥0恒成立，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】设的最小值为
（1）当即时，，得故此时不存在；
（2）当即时，，得
又，故；
（3）即时，，得，
又 故
综上，得
例3 已知函数,求在区间的值域.
【答案】当时，的值域为；
当时，的值域为；
当时，的值域为；
当时，的值域为.
【解析】易知函数的图象开口向下、对称轴为.
（1）当时，在区间上单调递减，
故在时取得最大值为
在时取得最小值为，函数值域为；
（2）当时，在区间上单调递增，
故在时取得最小值为
在时取得最大值为，函数值域为；
（3）当时，在区间上单调递增，在上单调递增，
故在时取得最大值为
若，在时取得最小值为，
函数值域为；
若，在时取得最小值为，
函数值域为.
过关检测（10mins）
1. 设,函数.
（Ⅰ）若在上单调递增,求的取值范围;
（Ⅱ）记为在上的最大值,求的最小值.
【答案】（I） （II）
【解析】（Ⅰ）①当时,在上,显然单调递增;
②当时,在上,
所以在上单调递增的充要条件是.
所以在上单调递增, 的取值范围或.
（Ⅱ）利用（Ⅰ）得,当或时,在上单调递增,则.
当时,,
解得.
故时,.
综上,,
于是的最小值.
2 函数.若存在，使得，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】，在上单调递增.
当取最小值时，
当时，
整理得
所以恒成立
当时，
整理得
综上
四.会分析一元二次方程根的分布 LV.4
二次函数的零点的分布问题，一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
例1 若关于的方程的两个实根均为正数，求的取值范围.
【答案】
【解析】由题意可得
或
故实数的取值范围为
例2 已知关于的二次方程.
（I）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求的取值范围；
（II）若方程两根均在区间内，求的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】设函数
（I）由题意可得： 即
解得：
故实数的取值范围.
(II)由题意可得 即
解得：
故实数的取值范围.
过关检测（10mins）
1. 已知关于的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】设函数
由题意可得： 即 解得
故实数的取值范围是
2. 是否存在这样的实数，使得关于的方程有两个实数根，且两根都在与之间？如果有，试确定的取值范围；如果没有，试说明理由.
【答案】不存在
【解析】令那么由条件得到
即即此不等式无解
即不存在满足条件的k值.
五. 会幂函数的定义与图象LV.3
1.幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
2.幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如下图所示.
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；
当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
例1 下列函数是幂函数的为( )
①；②；③；④；⑤.
A．①⑤ B．② C．① D．①②④
【答案】 C
【解析】 紧扣幂函数的概念，的形式是解题的关键．函数可写成的形式，是幂函数；的系数不是，等式右边是两个幂和的形式，底数不是自变量，与不是同一函数，所以它们都不是幂函数．
例2 已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．
(1)求，的解析式；
(2)求当为何值时：①；②；③．
【答案】（1），
（2）①当或时,；
②当时,；
③当且时,．
【解析】(1)设，
∵图象过点，故，
设，∵图象过点，
(2)在同一坐标系下作出与的图象，如图所示．
由图象可知，的图象均过点．
∴①当或时,；
②当时,；
③当且时,．
例3 函数在第一象限内的图象如下图所示，已知取四个值，则相应于曲线的依次为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据幂函数图象可知.故可知
例4 已知函数的图象如图所示，则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】本题考查基本初等函数的图象与性质
根据幂函数的性质,由图可知;
根据指数函数的性质,由图象可知,又时,所以;
根据对数函数的性质,由图象可知,又时,所以;
故选C
过关检测（10mins）
1. 下列命题中正确的是 （ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过和点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】当时函数的图象是两条射线，故A不正确；
幂函数图象恒过定点，不一定过点，如幂函数，故B不正确；
若幂函数是奇函数，则是定义域上不一定为增函数，如幂函数，
故C不正确；
幂函数的图象不可能出现在第四象限，故D正确.
2. 幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有
A. 、为奇数且
B. 为偶数，为奇数，且
C. 为偶数，为奇数，且
D. 奇数，为偶数，且
【答案】D
【解析】由图象可知：幂函数的定义域为，值域为
又、，且与互质
故为偶数,为奇数.
结合图象，即.
故答案选D
3.右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是
【答案】A
【解析】根据幂函数图象可知：,故选A
六.会使用幂函数的性质与应用LV.4
（1）五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点
R R 奇 ↗
R [0，＋∞) 偶 ↗ ↙
R R 奇 ↗
非奇 非偶 ↗
奇 ↙ ↙
(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点，且在第____象限无图象．
(3) 时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间上是________，时，幂函数在上是减函数，图象________原点．
【答案】，四，(3) ，，增函数，不过
例1. 已知幂函数的图象经过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知幂函数的解析式为,在定义域上单调递减
由可得：
解得：，故选D.
例2 已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．
【答案】(1)
而与中必有一个为偶数，
∴为偶数．
∴函数的定义域为，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数经过点，
∴，即.
∴
解得.
又∵，∴.
由得
解得
∴的取值范围为．
例3 已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求满足的的取值范围.
【答案】
【解析】（1）因为幂函数在区间上是减函数，所以得
，
当时，；
当时，；
当时，.
又因为为偶函数，所以.
（2）由得.
即又在上单调递增，故，整理得
，解得，如图所示.
故的取值范围为.
过关检测（10mins）
1. 已知,令,,,那么之间的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质.
方法一:因为,所以由对数函数图象可得,由幂函数图象可得,由指数函数图象可得,则,故选C
方法二:特殊值法.取,则,则,故选C
2. 比较下列各题中值的大小．
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，和.
【答案】(1)；（2）；（3）；（4）
【解析】比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同，还是指数相同，若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同，利用幂函数的性质；若底数、指数皆不相同，考虑用中间值法，常用和“搭桥”进行分组．
(1)函数是增函数，∴.
(2)函数是增函数，∴.
(3)∵，
∴.
(4)＝1；；
，∴.
3. 已知，则的取值范围是__________________________．
【答案】
【解析】根据幂函数的图象，
当时，，∴.
又根据幂函数的图象，
当时，，∴.
于是有.
对于幂函数，由知，当时，随着的增大，函数值也增大，∴.
4. 已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．
【答案】(1) ；（2）
【解析】（I）由为幂函数可得： 即或
又为偶函数，可得：
故函数的解析式为
（2）由（1）可得所给函数解析式为
在上单调递减，在上单调递增.
由函数在区间上为单调函数可得：
或 解得：或
故所求实数的取值范围为
课后练习
补救练习（20mins）
1. 已知幂函数的图像过点,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由函数过点,可得,所以,所以
故
2.“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】函数在区间上是增加的,则满足对称轴,所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.
3．函数在上恒满足，则的取值范围是( )A． B．C． D．
【答案】D
【解析】当时，在上恒有；
当时，∵ 在R上恒有，
∴，∴－4
综上可知：
4. 若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】易知幂函数在定义域上单调递增
由可得：
解得：
故实数的取值范围为
5. 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间．
【答案】的最大值为；单调增区间为；单调减区间为．
【解析】求，解析式及作出，的图象如下图所示，
则有：
根据图象可知函数的最大值为，单调增区间为；
单调减区间为．
巩固练习（20mins）
1.已知，若存在使得,则实数的取值范围 .
【答案】
【解析】（1）当时，，不存在使得；
（2）当时，函数的图象开口向上，一定存在使得；
（3）当时，欲存在使得，则必有
可得：，又，故.
综上所述：实数的取值范围是.
2. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）
A. 与有关，与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
【答案】B
【解析】函数的图象开口向上，对称轴为.
（1）当时，在上单调递增，，
此时；
（2）当时，在上单调递减，，，
此时；
（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，此时
，此时或，
或.
综上所述，与有关，但与无关
3. 已知函数当时,值域为;当有两个不同的零点时,实数的取值范围为.
【答案】;
【解析】
（1）原式可化为
当时,值域为,当时,值域为
综上
（2）有两个零点,有一个零点
当时函数有两个零点
当时函数有两个零点
综上
4. 已知函数若的最小值是,则.
【答案】
【解析】当时,
当时,
若,即,则当时,
,此时如果有最小值,最
小值只可能是,而不是
若,即,则当时,
由的最小值是可得
解得(舍去)或
所以
综上所述,答案:
5. 已知函数.当时,函数的单调递增区间为;若函数有个不同的零点,则的取值范围为.
【答案】
【解析】函数,令,
当时,,即,,
即函数至多有一个负零点,此时,;
当时,,若函数有个不同的零点,则
在有两个不相等的正实数根,其中,
解得.
6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时,,其中.
①_______；
②若的值域是,则的取值范围是________.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意可知；
（2）由是定义在上的奇函数且值域为可知
当时,可取遍的所有实数，则有
当即时，此时在定义域单调递增，有，与成立；
当即时，此时在定义域上单调递减，在单调递增
有，解得或，又故.
综上所述，实数的取值范围是.
7. 已知，，函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，的最小值是，求的解析式.
【答案】(I) （II）或.
【解析】（Ⅰ）依题意有：
因为奇函数，故有对于任意恒成立，即有
于是有对于定义域上的任意都成立
可得 解得
因此所求的值分别为
（Ⅱ）由（I）可得 其对称轴为
① 当，即时，在区间上单调递增，此时的最小值为
，解得成立；
②当，即时，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时的最小值为
，解得
又，故舍去，符合；
③当即时，函数在给定区间上为减函数，故此时有
得不成立，舍去；
综上所述，的值为或，所求的解析式为或
8. 已知二次函数，且关于的方程在区间内有两个不同的实根.
(1)求的解析式；
(2)若时，总有成立，求的最大值.
【答案】（I）；（II）9
【解析】（1）设
由在区间内有两个不同的实根可得：
解得：
又，故
的解析式为
（2）由可得
即解得
根据题意：时，总有成立
则 ，
故的最大值为.
拔高练习（20mins）
1. 已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意在上递减可得，由对任意的，总有，得
，即，，因此.答案选B
2. 已知函数若,则的值域是;若的值域是,则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】本题考查函数综合运用.
①若,则
当时,,其中当时,,
当时,当时,,
综上,的值域为.
②因为的值域是,所以.
由得,
,的定义域为,
,
又,,
定义域为,.
综上,的取值范围是.
3. 设函数
① 若，则的最小值为_______；
② 若恰有个零点，则实数的取值范围是_______．
【答案】① ②
【解析】①当时，
可知，当时，；当时，.
故当时，函数取得最小值为.
②若在时无零点，在时有两个零点，可得：
解得；
若在与时有各有一个零点，则有
解得
综上所述：实数的取值范围为
4. 已知函数.
①当时,不等式的解集为_______;
②若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_______.
【答案】;
【解析】①当时，
由可得，
故不等式的解集为.
②
结合图象可得，实数的取值范围为
5. 已知二次函数：
⑴若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
⑵问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.
【答案】（1）；（2）或
【解析】⑴ ∵二次函数的对称轴是
∴函数在区间上单调递减
∴要函数在区间上存在零点须满足
即 解得
⑵ 当时，即时，的值域为：，
即
∴
∴ ∴经检验不合题意，舍去。
当时，即时，的值域为：，
即 ，∴， ∴
经检验不合题意，舍去。
当时，的值域为：， 即
∴
∴ ∴或
经检验或满足题意，所以存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为。
6.设与是定义在同一区间上的两个函数,若函数在上有两个不同的零点,则称和在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”,则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意知, 在上有两个不同的零点.
在同一坐标系中作出函数与的图像,如图所示.
结合图像可知,当时, ,故当时,
函数与的图像有两个交点.所以的取值范围是.第三讲 二次函数与幂函数
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 如图是①；②；③在第一象限的图像，则的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
2. 若幂函数在上为增函数，则实数（ ）
A. B. C. D. 或
3. 已知二次函数满足条件及，
（I）求的解析式；
（II）求在区间上的最大值和最小值.
4．已知函数对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知方程的两根中，一根在内，另一根在内，求实数的取值范围.
课中讲解
一.会求二次函数解析式LV.3
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
例1 已知是二次函数，若且，试求的解析式.
例2 已知二次函数的图象过点，对任意满足，且最小值是，求的解析式．
例3 已知二次函数为定义在上的奇函数，满足，且当时，取得最大值，求函数的解析式.
过关检测（10 mins）
1. 已知二次函数的最小值为1，且，求的解析式.
2. 已知二次函数，是常数且，满足条件：，，且对任意的 有，求函数的解析式.
二.会分析二次函数图象与性质LV.4
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
①当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时， ；
②当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
例1 如果二次函数在区间上是减函数,那么
（A） （B） （C） （D）
例2 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点.若位于函数的图象上,则以下说法正确的是（）
（A）当时, 的最小值为 （B）当时, 一定为
（C）当时, 的最大值为 （D）,一定为
例3 已知定义域为的奇函数,当时,.
①当时,的取值范围是;
②当函数的图象在直线的下方时,的取值范围是.
例4 设,函数，若在上单调递增，求的取值范围.
例5 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
过关检测（10 mins）
1. 已知函数 若，则的取值范围是_______.
2. 已知函数为奇函数，.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若在区间上单调递增,求实数的取值范围.
3. 已知函数的图象与直线的公共点不少于两个,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
三.会求解二次函数的最值与恒成立问题 LV.4
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
例1 求函数，的值域_________.
例2 已知二次函数，若在上的最小值为，求的表达式.
例3 已知函数若时，≥0恒成立，则的取值范围为_______.
例3 已知函数,求在区间的值域.
过关检测（10mins）
1. 设,函数.
（Ⅰ）若在上单调递增,求的取值范围;
（Ⅱ）记为在上的最大值,求的最小值.
2 函数.若存在，使得，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
四.会分析一元二次方程根的分布 LV.4
二次函数的零点的分布问题，一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
例1 若关于的方程的两个实根均为正数，求的取值范围.
例2 已知关于的二次方程.
（I）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求的取值范围；
（II）若方程两根均在区间内，求的取值范围.
过关检测（10mins）
1. 已知关于的方程的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数的取值范围是_______.
2. 是否存在这样的实数，使得关于的方程有两个实数根，且两根都在与之间？如果有，试确定的取值范围；如果没有，试说明理由.
五. 会幂函数的定义与图象LV.3
1.幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.
2.幂函数的图像
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.
当时，在同一坐标系内的函数图像如下图所示.
当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；
当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.
例1 下列函数是幂函数的为( )
①；②；③；④；⑤.
A．①⑤ B．② C．① D．①②④
例2 已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．
(1)求，的解析式；
(2)求当为何值时：①；②；③．
例3 函数在第一象限内的图象如下图所示，已知取四个值，则相应于曲线的依次为
A. B.
C. D.
例4 已知函数的图象如图所示，则
（A）
（B）
（C）
（D）
过关检测（10mins）
1. 下列命题中正确的是 （ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过和点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
2. 幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有
A. 、为奇数且
B. 为偶数，为奇数，且
C. 为偶数，为奇数，且
D. 奇数，为偶数，且
3.右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是
六.会使用幂函数的性质与应用LV.4
（1）五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点
R R 奇 ↗
R [0，＋∞) 偶 ↗ ↙
R R 奇 ↗
非奇 非偶 ↗
奇 ↙ ↙
(2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点，且在第____象限无图象．
(3) 时，幂函数的图象通过点________________，并且在区间上是________，时，幂函数在上是减函数，图象________原点．
例1. 已知幂函数的图象经过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2 已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．
例3 已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求满足的的取值范围.
过关检测（10mins）
1. 已知,令,,,那么之间的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
2. 比较下列各题中值的大小．
(1)，； (2)，；
(3)，； (4)，和.
3. 已知，则的取值范围是__________________________．
4. 已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．
课后练习
补救练习（20mins）
1. 已知幂函数的图像过点,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3．函数在上恒满足，则的取值范围是( )A． B．C． D．
4. 若，求实数的取值范围.
5. 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间．
巩固练习（20mins）
1.已知，若存在使得,则实数的取值范围 .
2. 若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）
A. 与有关，与有关 B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关
3. 已知函数当时,值域为;当有两个不同的零点时,实数的取值范围为.
4. 已知函数若的最小值是,则.
5. 已知函数.当时,函数的单调递增区间为;若函数有个不同的零点,则的取值范围为.
6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时,,其中.
①_______；
②若的值域是,则的取值范围是________.
7. 已知，，函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，的最小值是，求的解析式.
8. 已知二次函数，且关于的方程在区间内有两个不同的实根.
(1)求的解析式；
(2)若时，总有成立，求的最大值.
拔高练习（20mins）
1. 已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数若,则的值域是;若的值域是,则实数的取值范围是.
3. 设函数
① 若，则的最小值为_______；
② 若恰有个零点，则实数的取值范围是_______．
4. 已知函数.
①当时,不等式的解集为_______;
②若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是_______.
5. 已知二次函数：
⑴若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
⑵问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.
6.设与是定义在同一区间上的两个函数,若函数在上有两个不同的零点,则称和在上是“关联函数”,区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”,则的取值范围为 .