第四讲 指数函数
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.计算：
（1） （2） （3）
2.若且，则函数的图像必过定点．
3.已知函数的图象如右图所示,则函数的图象可能是
B. C. D.
4．设,其中,则的大小顺序为
（A） （B） （C） （D）
5．函数的值域是________.
课中讲解
一.会进行指数相关运算LV.1
1.次方根
类比平方根和立方根，我们定义的次方根．
【定义1】如果存在实数，使得，则称为的次方根．求的次方根叫做把开次方，称作开方运算．
当为偶数时，在实数范围内，负数没有偶次方根，
正数的次方根有两个，记为；
当为奇数时，在实数范围内，的次方根有一个，记为，与同号．
【定义2】次算术根：正数的正次方根．0的次算数根是0．
注：只表示一个数，我们把叫做根式，叫做根指数．
【性质】
（1）.
（2）
2.分数指数幂
这样一来，我们可以类似得到，前提，有意义．
为避免讨论，约定底数，那么
同样，.
这样，整数指数幂就推广理数指数幂，运算法则只需三条，其中为任意有理数；
3.无理数指数幂
有理数指数幂还可推广到无理数指数幂，但是现在不能给出严格的定义，在时，实数指数幂的运算法则不变．
【注】对于指数幂的运算结果，不要求统一形式的表示，没有特殊要求，一般可以用分数指数幂的形式不变，如果有特殊要求，可根据要求表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1.
化简的结果是（）
A. B. C. D.
例2.
化简（式中字母都是正数）
（1）；（2）
例3.
已知，那么
例4.
计算：
（1）（2）（3）
例5.
方程的解集是
, ,
例6.
解方程：．
过关检测（8mins）
1.
2.计算：
3.解方程：
二.会运用图象性质解题LV.3
指数函数的概念
形如的函数称为指数函数.
函数的图像如下：
恒过点；
函数的定义域为R；
函数的值域为；
当时函数为减函数，当时函数为增函数．
例1.
函数的定义域为
例2.
解不等式：
例3.
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是（）
A. B.
C. D.
例4.
函数和）的图象只可能是（ ）
例5.
函数的图象大致是
B.
C. D.
例6.
在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是
A.关于原点对称 B.关于直线对称
C.关于轴对称 D.关于轴对称
例7.
已知奇函数如果且对应的图象如图所示，那么
A. B.
C. D.
例8.
已知函数的定义域和值域都是,则＝.
例9.
函数的值域为（）
A. B. C. D.
过关检测（10mins）
1.函数的定义域为
A. B. C. D.
2．不等式的解集为________．
3.已知函数（其中），若的图象如右图所示，则函数的图象是
4.已知过点，且.求的值域。
5.已知函数的定义域是，则该函数的值域为____________．
三.会比较大小LV.3
例1.
已知，，，则
A. B. C. D.
例2.
若,,则这两个数的大小关系为_______.
例3.
若，则这两个数的大小关系为_______.
过关检测（10mins）
1.已知,则的大小关系是
A. B. C. D.
2.比较下列各数大小:
3.,,则这两个数的大小关系为_______.
四.会进行综合应用LV.4
例1．
当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
例2．
已知定义域为的函数是奇函数，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
例3．
设在海拔（单位:m）处的大气压强（单位:kPa）,与的函数关系可近似表示为,已知在海拔处的大气压强为,则根据函数关系式,在海拔处的大气压强为kPa.
例4．
设,定义区间的长度为,已知函数的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为
A.3 B.2 C.1 D.0.5
例5．
已知是函数的图象上的相异两点.若点到直线的距离相等,则点的横坐标之和的取值范围是
A. B. C. D.
过关检测（8mins）
1.如图所示,是函数的图象上的动点,过点作直线平行于轴,交函数的图象于点,若函数的图象上存在点使得为等边三角形,则称为函数上的好位置点.函数上的好位置点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.大于2
2.已知函数，其，
（Ⅰ）求的最大值和最小值；
（Ⅱ）若实数满足：立，求的取值范围。
课后练习
补救练习（15mins）
1．计算：
（1） （2） （3）
2.已知，则,的大小关系是
A.1>a>b>0 B.ab D.a3.已知,则的取值范围为.．
4.下列大小关系正确的是()
A. B
C. D
5.若,,则这两个数的大小关系为_______.
6.已知,解关于的不等式.
7.函数的图象大致是
B. C. D.
8.函数（为常数,）的大致图像是
A. B. C. D.
9.方程的实数解为________
巩固练习（25mins）
1.
2.计算：
3.不等式的解集是
4.已知,,,则,,三者的大小关系是
A. B.
C. D.
5.设，b=1.30.7，c=，则a，b，c的大小关系是
A.a＞c＞b B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.a＞b＞c
6．函数（a＞0，a≠1）的图象可能是
B. C. D.
7.在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是
8.已知关于的方程有一个解是2，求值和方程其余的解
9.已知若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
10.函数（）的最小值为，则=．
11.已知关于的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是
拔高练习（20mins）
1.函数（）的图象的大致形状是
2.已知,若函数值域为，求的取值范围。
3.函数（）的最小值为，则=,=．
4.定义在上的奇函数,已知当时,.
（Ⅰ）求在上的解析式;
（Ⅱ）若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
5．当，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
6.某食品的保鲜时间t（单位:小时）与储藏温度x（单位:）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时.
已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:
①该食品在的保鲜时间是8小时;
②当时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;
④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.
其中,所有正确结论的序号是____.第四讲 指数函数
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.计算：
（1） （2） （3）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）
（2）
（3）
2.若且，则函数的图像必过定点．
【答案】
【解析】指数函数恒过定点，令可得，.
故函数的图像必过定点
3.已知函数的图象如右图所示,则函数的图象可能是
B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数的图象可知，.
故函数在定义域上为增函数，图象与轴交于负半轴.
答案选B
4．设,其中,则的大小顺序为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，，.
故有
5．函数的值域是________.
【答案】
【解析】，函数在定义域上单调递减
函数的值域是
课中讲解
一.会进行指数相关运算LV.1
1.次方根
类比平方根和立方根，我们定义的次方根．
【定义1】如果存在实数，使得，则称为的次方根．求的次方根叫做把开次方，称作开方运算．
当为偶数时，在实数范围内，负数没有偶次方根，
正数的次方根有两个，记为；
当为奇数时，在实数范围内，的次方根有一个，记为，与同号．
【定义2】次算术根：正数的正次方根．0的次算数根是0．
注：只表示一个数，我们把叫做根式，叫做根指数．
【性质】
（1）.
（2）
2.分数指数幂
这样一来，我们可以类似得到，前提，有意义．
为避免讨论，约定底数，那么
同样，.
这样，整数指数幂就推广理数指数幂，运算法则只需三条，其中为任意有理数；
3.无理数指数幂
有理数指数幂还可推广到无理数指数幂，但是现在不能给出严格的定义，在时，实数指数幂的运算法则不变．
【注】对于指数幂的运算结果，不要求统一形式的表示，没有特殊要求，一般可以用分数指数幂的形式不变，如果有特殊要求，可根据要求表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1.
化简的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
例2.
化简（式中字母都是正数）
（1）；（2）
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）；
（2）
例3.
已知，那么
【答案】23
【解析】
例4.
计算：
（1）（2）（3）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）（2）
（3）
例5.
方程的解集是
, ,
【答案】B
【解析】
例6.
解方程：．
【答案】或
【解析】令,则,解得或,所以或.
过关检测（8mins）
1.
【答案】
【解析】
2.计算：
【答案】0.55
【解析】
3.解方程：
【答案】
【解析】令,则,解得或（舍）,
所以.
二.会运用图象性质解题LV.3
指数函数的概念
形如的函数称为指数函数.
函数的图像如下：
恒过点；
函数的定义域为R；
函数的值域为；
当时函数为减函数，当时函数为增函数．
例1.
函数的定义域为
【答案】
【解析】定义域的常见要求:根号下式子大于等于0,,,解得
例2.
解不等式：
【答案】
【解析】.
例3.
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图可知：
例4.
函数和）的图象只可能是（ ）
【答案】A
例5.
函数的图象大致是
B.
C. D.
【答案】A
例6.
在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是
A.关于原点对称 B.关于直线对称
C.关于轴对称 D.关于轴对称
【答案】D.
例7.
已知奇函数如果且对应的图象如图所示，那么
A. B.
C. D.
【答案】D.
例8.
已知函数的定义域和值域都是,则＝.
【答案】
【解析】当时,（舍）
当时,,所以.
例9.
函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,所以.
过关检测（10mins）
1.函数的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查函数的定义域,只需,即
2．不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由题意得：，解集为．
3.已知函数（其中），若的图象如右图所示，则函数的图象是
【答案】A
4.已知过点，且.求的值域。
【答案】
【解析】,所以.
5.已知函数的定义域是，则该函数的值域为____________．
【答案】
【解析】令,则.
三.会比较大小LV.3
例1.
已知，，，则
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】,所以.
例2.
若,,则这两个数的大小关系为_______.
【答案】
【解析】,,故.
例3.
若，则这两个数的大小关系为_______.
【答案】
【解析】.
过关检测（10mins）
1.已知,则的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】C
2.比较下列各数大小:
【答案】＞
【解析】
3.,,则这两个数的大小关系为_______.
【答案】＞
【解析】
四.会进行综合应用LV.4
例1．
当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
【答案】
【解析】原不等式变形为
函数在上是减函数，
当时，，
当时，恒成立等价于，解得.
例2．
已知定义域为的函数是奇函数，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
【答案】；
【解析】（Ⅰ）由题设，需，
,经验证，为奇函数，--------4分
（Ⅱ）因为方程有实数根，
由（2），，即方程有解--------12分
，
∴ ------------14分．
例3．
设在海拔（单位:m）处的大气压强（单位:kPa）,与的函数关系可近似表示为,已知在海拔处的大气压强为,则根据函数关系式,在海拔处的大气压强为kPa.
【答案】81
【解析】本题考查指数型函数
因为,过点,
即
所以当时,.
例4．
设,定义区间的长度为,已知函数的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为
A.3 B.2 C.1 D.0.5
【答案】C
【解析】作出函数的图象,如图所示:
若,则,若,则或,
因为函数的定义域为,值域,
∴,,或,,
∴当,或,时,区间的长度最小为,
当,时,区间的长度最小为,
所以区间的长度的最大值与最小值的差为.故选.
例5．
已知是函数的图象上的相异两点.若点到直线的距离相等,则点的横坐标之和的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数在上单调递增,设,且,两点到直线的距离相等,,即,
,,当且仅当时等号成立.
即,
,即.
过关检测（8mins）
1.如图所示,是函数的图象上的动点,过点作直线平行于轴,交函数的图象于点,若函数的图象上存在点使得为等边三角形,则称为函数上的好位置点.函数上的好位置点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.大于2
【答案】B
【解析】本题考查函数新定义
依题意,设的纵坐标为,
则,
设,
因为是等边三角形,所以点到直线的距离为,
所以,,
所以
所以,解得
所以
函数上的好位置点的个数为1个
故选B
2.已知函数，其，
（Ⅰ）求的最大值和最小值；
（Ⅱ）若实数满足：立，求的取值范围。
【答案】（I）令，，原式=；当时，原式取最小值；当时，原式取最大值；
（II）若恒成立，则只需恒成立，由（I）知，。
课后练习
补救练习（15mins）
1．计算：
（1） （2） （3）
【答案】（1）（2）.（3）
2.已知，则,的大小关系是
A.1>a>b>0 B.ab D.a【答案】C
3.已知,则的取值范围为.．
【答案】
【解析】
4.下列大小关系正确的是()
A. B
C. D
【答案】B
5.若,,则这两个数的大小关系为_______.
【答案】
【解析】,,故
6.已知,解关于的不等式.
【答案】
【解析】，解得.
7.函数的图象大致是
B. C. D.
【答案】A
8.函数（为常数,）的大致图像是
A. B. C. D.
【答案】C
9.方程的实数解为________
【答案】
【解析】.
令,则，或（舍）
所以.
巩固练习（25mins）
1.
【答案】
2.计算：
【答案】
3.不等式的解集是
【答案】A
4.已知,,,则,,三者的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
5.设，b=1.30.7，c=，则a，b，c的大小关系是
A.a＞c＞b B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.a＞b＞c
【答案】B
6．函数（a＞0，a≠1）的图象可能是
B. C. D.
【答案】D
7.在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是
【答案】A
8.已知关于的方程有一个解是2，求值和方程其余的解
【答案】或
【解析】令,则.或,即或.
当时,另一个解为；当时,另一个解为.
9.已知若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】设,
若对任意,恒成立,则.
因为在上为增函数,
所以当时,,即,得.
所以的取值范围是.
10.函数（）的最小值为，则=．
【答案】
【解析】当时,.
令,则.
当时,.
11.已知关于的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】原不等式可转化为
令
当时，由二次函数的图象知 解得
故实数的取值范围为.
拔高练习（20mins）
1.函数（）的图象的大致形状是
【答案】D
2.已知,若函数值域为，求的取值范围。
【答案】
【解析】令,则,所以或
所以,.
3.函数（）的最小值为，则=,=．
【答案】，
4.定义在上的奇函数,已知当时,.
（Ⅰ）求在上的解析式;
（Ⅱ）若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】;
【解析】（Ⅰ）因为定义在上的奇函数,
所以.
设,所以.
所以,
所以在上的解析式.
（Ⅱ）若时,不等式恒成立,
即恒成立.
因为,
所以,
因为在上单调递减.
所以时,的最大值为.
所以.
5．当，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】显然，所以原不等式即为，，易知函数是减函数，因此当时，，所以，即．
6.某食品的保鲜时间t（单位:小时）与储藏温度x（单位:）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时.
已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:
①该食品在的保鲜时间是8小时;
②当时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;
④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.
其中,所有正确结论的序号是____.
【答案】
【解析】因为该食品在的保鲜时间是16小时,所以,解得,则,则当时,解得,故结论正确;
由函数解析式可知,在时,的的值始终为,故结论不正确;
甲在上午10时购买了此食品,此时,则,即储藏温度为8℃时,储藏时间为4
小时。而当时,,则单调递减,即储藏时间随着储藏温度
的升高而减少,而在上午10时到下午14时这段时间内,由图可得温度逐渐升高,所以上
午10时购买的这种食品无法储藏到下午14时,所以结论正确。
