第五讲 对数函数
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.计算：函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
2.计算.
【答案】
【解析】本题考查对数运算
3.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ∵,∴函数在定义域上是减函数,所以当时,.由已知得,解得故选A.
4.已知,,,则的大小关系是.【答案】
【解析】本题考查对数函数的换底公式对数函数的单调性.直接利用中间量判断出三个数的大小即可.
5.函数的单调递增区间是.
【答案】
【解析】由有，在上递增,在上递减，函数在定义域上单调递增，由复合函数单调性法则知在上递增.
课中讲解
一.会进行对数相关运算LV.1
对数概念
【定义】若，则，读作：以为底的对数。
其中，叫做真数，叫做底数。
特殊地，常用对数：叫作；自然对数：记作：
根据定义，我们能得到两个恒等式：
（1）；
（2）；
【强调】因为我们将指数幂中的指数推广到了有理数、实数，为了避免讨论，特别约定：底数大于.那么，在中,也必须大于，即真数必须为正，负数和没有对数！此外，若底数没有价值，因此，还特别约定：底数且 .
【换底公式】（且）
推论:(1)(2)
(3).
对数运算
例1.
请将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【答案】（1）（2）（3）（4）
例2.
求值：（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）（2） （3） （4）
例3.
用、、表示下列各式：
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）;（2）
（3）;（4）
例4.
化简： = .
【答案】2
【解析】原式= .
例5.
化简：（1）=;（2）；（3）=.
【答案】(1) ; (2) 7;(3) .
【解析】（1）.
（2）
（3）原式=.
例6.
已知,且,求的值.
【答案】
【解析】由已知有：
,同理可证.
.
例7.
函数,则;方程的解是.
【答案】;或1.
【解析】.当时,由可得;当时,由可得.
过关检测（10mins）
1.用，和表示.
【答案】
【解析】.
2.若,则有
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】,.
3.已知函数则
【答案】2
【解析】因为，所以.
4.已知，则的值为
【答案】3
【解析】由.
5.计算：=
【答案】-4
6.已知：，求.
【答案】81.
【解析】原式
二. 会运用图象性质解题LV.3
对数函数的定义:函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
对数函数的图像及性质：
*注：底数互为倒数的两个对数函数图像关于轴对称
反函数：指数函数与对数函数互为反函数，并且它们的图像关于对称.
例1.
函数的定义域为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由题得:,则,故选
例2.
函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由题得:,则,故选.
例3.
设函数
①;
②若,则的取值范围是.
【答案】
【解析】；令则或，所以或，
所以.
例4.
函数的图象如图所示，则的大小顺序是( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由对数函数单调性可知.
例5.
已知，函数的图象如图所示，则的图象可能为
A． B. C. D.
【答案】B
例6.函数的图象为 ( )
A B C D
【答案】A
【解析】由题意易知,即,排除C,D.当时,函数为减函数,当时,函数为增函数,选A.
例7.
已知函数的图象如图所示,则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】本题考查基本初等函数的图象与性质
根据幂函数的性质,由图可知;
根据指数函数的性质,由图象可知,又时,所以;
根据对数函数的性质,由图象可知,又时,所以;
故选C
例8.
函数的图像与函数的图像关于直线对称,则.
【答案】
【解析】本题考查反函数.
因为函数的图像与函数的图像关于直线对称,说明互为反函数,因此。
例9.
求函数的单调区间和值域.
【答案】单调递减，单调递增；
【解析】由有，在上单增，在上单减，函数在定义域上单调递减，由复合函数单调性法则知在上单减，在上单增；因为，所以
例10.
判断函数的奇偶性．
【答案】奇函数；
【解析】,所以为奇函数.
例11.
已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，即，令，所以.
过关检测（10mins）
1.函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由题得:,则,故选D.
2.函数与在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
3.函数的单调递增区间是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数,得,解得.根据题意,设,由条件知,若函数为单调增函数,则函数也是增函数.因为在上是增函数,故的取值范围是,故选D.
4.已知函数，且．判断函数的奇偶性，并证明你的结论.
【答案】函数是奇函数.
【解析】证明如下：
由得，解得或，
所以函数的定义域为．
任取，则，
因为
所以函数是奇函数.
5.已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
三.会比较大小LV.3
解法： 1、画函数图像比较函数值的大小；
2、借助0、1等便于计算的特殊值比较大小；
3、变形成同底指对数，利用单调性比较大小。
例1.
已知,那么
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】因为，所以.
例2.
已知,令,,,那么之间的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质.
方法一:因为,所以由对数函数图象可得,由幂函数图象可得,由指数函数图象可得,则,故选C
方法二:特殊值法.取,则,则,故选C
例3.
已知
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
选D
例4.
在三个数中,最小的数是.
【答案】
【解析】本题考察函数的基本运算,,,所以最小.
例5. 已知,，,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】；；
又
函数在上为减函数 选C
例6.
已知,,,则三个数的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】∵,
∴故选:A
过关检测（6mins）
1.如果,,,那么,,三个数的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】本题选A.
【解析】本题考查对数.由在上单调递增可知,而,于是.
2.实数,,的大小关系正确的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由指数函数和对数函数的性质可得:
,,,
∴.故选.
3.在这三个数中,最小的数是________.
【答案】
【解析】,,所以最小值为。
4.如果，那么
（A） （B） （C） （D）
【答案】本题选D
四.会进行综合应用LV.4
例1.
若,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于选项A,考虑幂函数,因为,所以为增函数,又,所以,A错.对于选项B, ,因为是减函数,所以,与已知条件矛盾,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,选C.
例2.
已知函数的最大值,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】考查分段函数
由题意.
由题意知单调递减,
则,
故选A.
例3.
已知函数.
①当时,若,则_______;
②若是上的增函数,则的取值范围是___________.
【答案】1;
【解析】①当时,,则当时,
②若在单调递增,则,令,则只需让,因为,,则.
例4．
如图,点在函数的图象上,点C在函数的图象上,若为等边三角形,且直线轴,设点的坐标为,则
（A）2
（B）3
（C）
（D）
【答案】D
【解析】由题意可知即等边三角形的边长为2由点坐标为可得点的坐标，又因为两点均在函数的图象上，故有
解得
例5.
已知定义在上的函数,若方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】本题考查函数与方程.
当时,,若,当时,,若方程有两个不相等的实数根,则,即,
得,又,故;
若,当时,,即此时函数有一个解,则当时有一个解即可,
此时满足即可,则.
综上,.
故选A
例6.
已知函数,若是互不相同的正数,且,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】本题考查函数.
函数的图象如下所示.
若,是互不相同的正数.
不妨设,则,,从而.
由可知.
又因为,所以.
综上.
例7.
根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据:lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】设,两边取对数,,所以,即最接近,故选D.
例8.
如果函数在定义域内存在区间,使在上的值域是,那么为“倍增函数”,若函数为“倍增函数”,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】本题选D.
【解析】本题考查函数.显然在单调递增.
要使在上的值域是,只需.
从而有.
所以只需当时,有两个根.
即有两个根,所以.
过关检测（10mins）
1.已知函数.若,且,则的取值范围是
A. B. C. D
【答案】C
【解析】由得,根据函数 的图象及,得令易得在上单调递增,所以即故选C.
2.若函数.
①当时，若，则= ；
②若的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】函数的值域为，函数的值域为,
①当时，若即，则.
②若的值域为,，则的取值范围是．
故答案为:．
3.如图,点为坐标原点,点.若函数且及且的图象与线段分别交于点,且恰好是线段的两个三等分点,则满足
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】本题考查指数,对数函数恰好是线段的两个三等分点，
,,,
故选A
4.某种物质在时刻(min)的浓度(mg/L)与的函数关系为(为常数),在min和min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在min时,该物质的浓度为______mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数的值为______.(参考数据:)
【答案】;
【解析】时,,即,,
时,,即,,
即,
将代入得.
,即,即
两边取以为底的对数得:,
,
,
,即.
课后练习
补救练习（20mins）
1．等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】,故选B
2．计算：____________.
【答案】0
3．计算： 。
【答案】
4. 则________;
【答案】2
5．若为减函数，求的取值范围。
【答案】.
【解析】由解得.
6．已知且 ，函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
7．已知函数的图象如图所示,则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】本题考查幂函数和对数函数的图象与性质
由的图象可知,由单调递增可知,即.
故选A
8.如果,那么
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由对数函数单调性可知.
9．函数的定义域是.
【答案】
【解析】本题考查对数函数的定义域
由对数函数的定义域可知,可得.
10.函数的定义域为.
【答案】
【解析】本题考查函数的定义域.
由即所以
解得
所以函数的定义域为.
11．函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为,因为函数是由与 复合而成,且在上单调递减,在上单调递减,所以函数在上单调递增.故选D.
12．已知三个数,其中最大的数是.
【答案】
【解析】本题考查指数、对数的大小比较.
由对数、指数函数单调性知,,,故最大.
13.已知偶函数在上单调递增,,则下列关系式中正确的是
A. B. C. D.
【答案】本题选D
【解析】,而.∵函数是偶函数,且在上单调递增,∴,∴,故选D.
14.三个数,之间的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由指数函数和对数函数的性质可知.故选A.
15.已知则由小到大的顺序为.
【答案】
【解析】本题考查集合运算.
因为因此可知由小到大的顺序是,故答案为.
巩固练习（25mins）
1.计算:
【答案】
【解析】原式
2．设，试用、表示.
【答案】
【解析】,
3．已知函数,则.
【答案】
4.已知函数,则的值为
（A）24 （B）16 （C）12 （D）8
【答案】A
【解析】由,
由,
可得,
由,
可得.
故选:A
5.，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
6.如图2-5-1,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )
图2-5-1
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中作出函数的图象,如图所示,则 的解集是 ,故选C.
图D 2-5-1
7.函数的部分图象可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
8.已知,则函数与函数的图象可能是 ( )
A B C D
【答案】D
【解析】函数与函数互为反函数,∴二者的单调性一致,且图象关于直线对称,故选D.
9.函数的值域是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】,.
10.下列函数中，在上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
11.已知函数在上是单调递减函数,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得,且,故函数在区间上单调递减.再根据在区间上单调递减,可得,且,解得,故选.
12.若,,,则的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】本题考查对数函数的换底公式对数函数的单调性.直接利用中间量,判断出三个数的大小即可.
,,,所以,故选B
13.在这三个数中最大的数是_________.
【答案】
【解析】：，，
14.三个数中最大数的是.
【答案】
15.设,,,则,,大小关系是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由指数函数和对数函数的性质可知:
,,
,∴.
16.若,则( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】,因为所以同理即所以即.
17.函数（且）的图像恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】本题考查函数图象和均值不等式.根据题意,对数函数恒过定点的坐标为,由点在直线上可得,即,而,当且仅当,即时取得等号,因为,故,所以最小值可以取到,故选B
拔高练习（20mins）
1.已知,求.
【答案】
【解析】解法一:因为,所以,所以
解法二:因为,所以,所以
2.已知函数若,且,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】本题考查对数函数图像的翻折变换,对勾函数.
画出的图象如图:
,且,
且
即
在上为减函数,
故选D
3.若均为大于的正数,且,则的最大值是
（A） （B）1 （C） （D）
【答案】B
【解析】 当且仅当 即时，等号成立.
4.设函数，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的最大值．
【答案】;.
【解析】（Ⅰ）有题设得…………5分
（Ⅱ）因为，由即的定义域为
……………7分
因为为的真子集，令，则……………9分
于是，，
又在[2,4]上为增函数……………11分
所以的为……………13分
5.已知函数 ，若互不相等，且，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】若,互不相等，不妨设,,从而.故，由图知，. 故选C.
6.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位,记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L,记作）的乘积等于常数.已知值的定义为,健康人体血液的值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的可以为
（参考数据:）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】本题考查对数的运算法则
由题可得:,且
又因为
所以
所以
即
因为,所以A项错
因为,所以B项错
因为,所以C项正确
因为,所以D项错第五讲 对数函数
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.计算：函数的定义域是______.
2.计算.
3.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知,,,则的大小关系是.5.函数的单调递增区间是.
课中讲解
一.会进行对数相关运算LV.1
对数概念
【定义】若，则，读作：以为底的对数。
其中，叫做真数，叫做底数。
特殊地，常用对数：叫作；自然对数：记作：
根据定义，我们能得到两个恒等式：
（1）；
（2）；
【强调】因为我们将指数幂中的指数推广到了有理数、实数，为了避免讨论，特别约定：底数大于.那么，在中,也必须大于，即真数必须为正，负数和没有对数！此外，若底数没有价值，因此，还特别约定：底数且 .
【换底公式】（且）
推论:(1)(2) (3).
对数运算
例1.
请将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式：
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
例2.
求值：（1） （2） （3） （4）
例3.
用、、表示下列各式：
（1） （2） （3） （4）
例4.
化简： = .
例5.
化简：（1）=;（2）；（3）=.
例6.
已知,且,求的值.
例7.
函数,则;方程的解是.
过关检测（10mins）
1.用，和表示.
2.若,则有
（A） （B） （C） （D）
3.已知函数则
4.已知，则的值为
.
5.计算：=
6.已知：，求.
二. 会运用图象性质解题LV.3
对数函数的定义:函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
对数函数的图像及性质：
*注：底数互为倒数的两个对数函数图像关于轴对称
反函数：指数函数与对数函数互为反函数，并且它们的图像关于对称.
例1.
函数的定义域为
（A） （B） （C） （D）
例2.
函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
例3.
设函数
①;
②若,则的取值范围是.
例4.
函数的图象如图所示，则的大小顺序是( )
（A） （B）
（C） （D）
例5.
已知，函数的图象如图所示，则的图象可能为
A． B. C. D.
例6.函数的图象为 ( )
A B C D
例7.
已知函数的图象如图所示,则
（A）
（B）
（C）
（D）
例8.
函数的图像与函数的图像关于直线对称,则.
例9.
求函数的单调区间和值域.
例10.
判断函数的奇偶性．
例11.
已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
过关检测（10mins）
1.函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.函数与在同一坐标系中的图象只可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.函数的单调递增区间是 ( )
A. B. C. D.
4.已知函数，且．判断函数的奇偶性，并证明你的结论.
5.已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三.会比较大小LV.3
解法： 1、画函数图像比较函数值的大小；
2、借助0、1等便于计算的特殊值比较大小；
3、变形成同底指对数，利用单调性比较大小。
例1.
已知,那么
（A） （B）
（C） （D）
例2.
已知,令,,,那么之间的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
例3.
已知
（A） （B） （C） （D）
例4.
在三个数中,最小的数是.
例5. 已知,，,，则（ ）
A. B. C. D.
例6.
已知,,,则三个数的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
过关检测（6mins）
1.如果,,,那么,,三个数的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
2.实数,,的大小关系正确的是
（A） （B） （C） （D）
3.在这三个数中,最小的数是________.
4.如果，那么
（A） （B） （C） （D）
四.会进行综合应用LV.4
例1.
若,则 ( )
A. B. C. D.
例2.
已知函数的最大值,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
例3.
已知函数.
①当时,若,则_______;
②若是上的增函数,则的取值范围是___________.
例4．
如图,点在函数的图象上,点C在函数的图象上,若为等边三角形,且直线轴,设点的坐标为,则
（A）2
（B）3
（C）
（D）
例5.
已知定义在上的函数,若方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
例6.
已知函数,若是互不相同的正数,且,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
例7.
根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据:lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
例8.
如果函数在定义域内存在区间,使在上的值域是,那么为“倍增函数”,若函数为“倍增函数”,则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
过关检测（10mins）
1.已知函数.若,且,则的取值范围是
A. B. C. D
2.若函数.
①当时，若，则= ；
②若的值域为，则的取值范围是 ．
3.如图,点为坐标原点,点.若函数且及且的图象与线段分别交于点,且恰好是线段的两个三等分点,则满足
（A）
（B）
（C）
（D）
4.某种物质在时刻(min)的浓度(mg/L)与的函数关系为(为常数),在min和min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L,那么在min时,该物质的浓度为______mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小的整数的值为______.(参考数据:)
课后练习
补救练习（20mins）
1．等于
（A） （B） （C） （D）
2．计算：____________.
3．计算： 。
4. 则________;
5．若为减函数，求的取值范围。
6．已知且 ，函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数的图象如图所示,则
（A） （B）
（C） （D）
8.如果,那么
（A） （B） （C） （D）
9．函数的定义域是.
10.函数的定义域为.
11．函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
12．已知三个数,其中最大的数是.
13.已知偶函数在上单调递增,,则下列关系式中正确的是
A. B. C. D.
14.三个数,之间的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
15.已知则由小到大的顺序为.
巩固练习（25mins）
1.计算:
2．设，试用、表示.
3．已知函数,则.
4.已知函数,则的值为
（A）24 （B）16 （C）12 （D）8
5.，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
6.如图2-5-1,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )
图2-5-1
A. B. C. D.
图D 2-5-1
7.函数的部分图象可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8.已知,则函数与函数的图象可能是 ( )
A B C D
9.函数的值域是( )
（A） （B） （C） （D）
10.下列函数中，在上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
11.已知函数在上是单调递减函数,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
12.若,,,则的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
13.在这三个数中最大的数是_________.
14.三个数中最大数的是.
15.设,,,则,,大小关系是
（A） （B） （C） （D）
16.若,则( )
（A） （B）
（C） （D）
17.函数（且）的图像恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
拔高练习（20mins）
1.已知,求.
2.已知函数若,且,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
3.若均为大于的正数,且,则的最大值是
（A） （B）1 （C） （D）
4.设函数，且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的最大值．
5.已知函数 ，若互不相等，且，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
6.在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位,记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L,记作）的乘积等于常数.已知值的定义为,健康人体血液的值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的可以为
（参考数据:）
（A） （B） （C） （D）
第一章·语法
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