博达学校2022-2023学年高一下学期数学测试卷八
考试范围：8.1-8.3；考试时间：120分钟
单选题（本大题共16小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列图形中，是棱台的是( )
3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
4．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
6．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π C.或 D.或
7.如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形ABCD的面积是( )
A．14 B． C．28 D．
8．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积( )
A． B． C． D．
9．用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是( )
A． B．
C． D．
10.已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为( )
A． B．
C． D．
11.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为( ).
A． B． C． D．
12.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )
A． B． C． D．
13.棱长为的正四面体的表面积为( )
A． B． C． D．
14.正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为( )
A． B． C． D．
15.底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是( )
A． B．1 C． D．
16.如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
多选题（本大题共6小题，共30分。在每小题有多项符合题目要求）
17.下列说法正确的是( )
A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等 B．五棱锥只有五条棱
C．一个棱柱至少有五个面 D．棱台的各侧棱延长后交于一点
18.用一个平面截一个正方体，截面图形可以是( )
A．三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形
19.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是( )
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
20. 用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是( )
A. 长方体 B. 圆台 C. 四棱台 D. 正四面体
21. 下列关于圆柱的说法中正确的是( )
A. 圆柱的所有母线长都相等
B. 用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C. 用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D. 一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱
22. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且若鳖臑外接球的体积为，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 该鳖臑体积的最大值为 D. 该鳖臑的表面积为
填空题（本大题共4小题，共20分）
一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.
24．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
25.已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
26.已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.
解答题（本大题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
27.（8分）如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.
28.（10分）如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
(1)求正三棱锥的表面积；
(2)求正三棱锥的体积.
29.（10分）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
(1)截去的三棱锥的表面积；
(2)剩余的几何体的体积.
30.（12分）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线．
求此圆台的侧面积和体积
把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度
在的条件下，求这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的最短距离结果保留两位有效数字，参考数据
31.（12分）任做一个满足下列要求的几何图形：
（1）正三棱锥
（2) 正无棱柱
（3）底面是梯形的四棱柱
（4）圆台
（5）底面是等腰梯形的棱台
（6）斜三棱柱博达学校2022-2023学年高一下学期数学测试卷八解析
一丶单选题（本大题共16小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解析】选C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下列图形中，是棱台的是( )
【答案】C
【解析】选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【答案】D
【解析】选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
4．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
【答案】C
【解析】选C 将直角三角形绕斜边旋转360°，相当于两个三角形以直角边旋转两360°，故两个圆锥.
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
【答案】D
【解析】选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
6．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
【答案】C
【解析】选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.
7.如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形ABCD的面积是( )
A．14 B． C．28 D．
【答案】C
【解析】
(方法一)还原平面图形，如图左所示，延长，交轴于，如图右所示，画出平面直角坐标系，取，过点E作轴，在EF上截取，，再过点D作轴，过点A作轴，并截取，.连接BC，可得直观图的原平面图形ABCD.
由作出的图形可知，.
(方法二)因为，所以梯形的高为，
故，
则.
故选：C
8．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，
结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，的面积为.
故选：A.
9．用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，
在直观图中此角为钝角，排除C和D，
又原三角形的高在轴上，在直观图中在上，长度减半，排除A.
故选：B.
10.已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为( )
A． B．
C． D．
【解析】由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.
11.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为( ).
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形
等腰梯形的高为：
等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：
本题正确选项：
12.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.
13.棱长为的正四面体的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图
由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，
所以，所以可知：正四面体的表面积为，
故选：A
14.正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.
15.底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是( )
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A
16.如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三棱锥的体积为：故选：C
二．多选题（本大题共6小题，共30分。在每小题有多项符合题目要求）
17.下列说法正确的是( )
A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等
B．五棱锥只有五条棱
C．一个棱柱至少有五个面
D．棱台的各侧棱延长后交于一点
【答案】CD
【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，A错误；
五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共条棱，B错误；
一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；
棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.故选：CD.
18.用一个平面截一个正方体，截面图形可以是( )
A．三角形 B．等腰梯形
C．五边形 D．正六边形
【答案】ABCD
【解析】
如图所示：
三角形 等腰梯形 五边形 正六边形
故用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、等腰梯形、五边形、正六边形，
故选：ABCD.
19.用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列可能的是( )
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】ABD
【解析】如图(1)，截面为三角形，故A正确.
如图(2)，截面为正方形，其中为所在棱的中点，故B正确.
如图(3)，截面为正六边形，其中为所在棱的中点，故D正确.
如图(4)，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，故，
若截面为正五边形，则，故四边形为平行四边形，
但正五边形中不可能存在过4个顶点的平行四边形，故C错误.
故选：ABD.
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了用一个平面去截一个几何体时所截得的平面是什么形状的应用问题，属于基础题．
根据圆锥、圆柱、三棱锥和正四面体的结构特征，判断即可．
【解答】
解：用一个平面去截上下底面为正方形的长方体时，截面可以为正方形，故选A；
用一个平面去截一个圆台时，截面的形状不可能是正方形，所以不选B；
用一个平面去截一个底面是正方形的四棱台时，截面的形状可以是一个正方形，所以选C；
顺次连接正四面体四个面的中位线构成的图形可以为正方形，故用一个平面去截正四面体，其截面可以是正方形，所以选D．
故选ACD．
21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆柱的结构特征，属于基础题．
根据圆柱的结构特征逐项进行分析即可求解．
【解答】
解：在中，圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，都相等，故A正确
在中，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质得截面是与底面全等的圆面，故B正确
在中，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面可以是椭圆或者是矩形，故C错误
在中，一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱，故D正确．
故选ABD．
22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的结构特征，三棱锥的外接球，三棱锥的表面积，属于基础题．
由线面垂直以及外接球的体积得三棱锥的外接球半径，由三棱锥的体积公式以及基本不等式求得其体积的最大值，从而求得表面积．
【解答】
解：在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知的中点到四个顶点的距离都相等，
所以点是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为，得外接球半径，所以．
设，，则，得，
所以，
当且仅当时，取得最大值此时，
所以鳖臑的表面积．
故选：．
填空题（本大题共4小题，共20.0分）
23．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.
【答案】9
【解析】如图所示，设圆台的母线长为x cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9(cm)．
24．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
【答案】12
【解析】由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12.
25.已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
【答案】4
【解析】设圆柱的高为，有，得．故答案为：4.
26.已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.
【答案】
【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为，圆柱的底面半径为 ，则由，可得，所以圆柱的侧面积，
所以时，该圆柱的侧面职取最大值.
故答案为：．
四．解答题（本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
27.如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.
【答案】
【解析】因为，所以底面是直角三角形，
所以上、下底面内切圆半径，
所以剩余部分几何体的体积，
所以剩余部分几何体的体积为.
28.如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.
(1)求正三棱锥的表面积；
(2)求正三棱锥的体积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)取的中点D，连接，
在中，可得.
∴.
∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
∴正三棱锥的侧面积是.
∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.
则正三棱锥的表面积为；
(2)连接，设O为正三角形的中心，则底面.
且.
在中，.
∴正三棱锥的体积为.
29.如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
(1)截去的三棱锥的表面积；
(2)剩余的几何体的体积.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积
(2)正方体的体积为，
三棱锥的体积为，
所以剩余的几何体的体积为.
30.【答案】解：为圆台的高，如图，
在梯形中，作，垂足为，则，，
，
在中，，，
，
圆台的高，
圆台的体积为，
圆台的侧面积为；
如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开，
连接，则线段的长度即为这根绳的最短长度，
∽，
，即，解得，
，
圆台的下底面周长为，弧的长度为，
，
在中，，，，
由余弦定理得：
，
，
故这根绳的最短长度为．
如图，在中，作，垂足为，交弧于点，
则的长度即为这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的最短距离，
，
，
，
，
故这根绳上的点和圆台上底面圆周上的点的最短距离为．
【解析】本题考查圆台的表面积和体积公式，考查锥体与台体的侧面展开图以及立体几何中长度最小值问题，考查转化与化归思想和运用求解能力，求解的关键是将空间问题转化为平面问题，属于较难题．
求出圆台的高是解题的关键，利用勾股定理求出，再用公式求出台体的体积；
延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开，找出最短距离，通过解三角形求出答案；
通过展开图找出最短距离，计算得出距离的值．
31.开放式试题，学生有理即可
