=8(厘米)。 4.15∶00 解析:这段时间滴水的体积为3×(20÷2)2×(6-2)=1200(毫
升)。每分钟滴水的体积为80÷20=4(毫升),经过的时间为1200÷4=300(分钟),300分钟
=5小时,最终时刻为10+5=15(时)。 5.10 6.565.2 解析:将长方形进行旋
转,旋转后的立体图形是圆柱。根据对称性(如图所示),阴影部分旋转后的体积与空
白部分旋转后的体积相等。所以,阴影部分的体积就是圆柱体积的一半。圆柱的体
积是3.14×62×10=1130.4(立方厘米);阴影部分的体积是1130.4÷2=565.2(立方
厘米)。
二、1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.× 解析:B 与E 重合。
三、1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 解析:假设圆柱、圆锥的底面积分别是4和9,它们的体积
都是36,则圆柱的高为36÷4=9,圆锥的高为36×3÷9=12,高的比为9∶12=3∶4。 6.C
解析:
1
4×2πR=2πr R=4r
四、1.甲铁桶:120÷4=30(cm) 80-30=50(cm) 30×30×50=45000(cm3)
乙铁桶:160÷4=40(cm) 70-40=30(cm) 40×40×30=48000(cm3)
45000<48000,乙铁桶装水多一些。
2.(1)容器B 的底面圆的半径是A 的2倍,它们的高相等,容器B 的体积就是A 的4倍。
因此,单独注满容器B 需要4分钟。同时注满A,B 需要1+4=5(分钟),两容器都注到一半
高度需要5÷2=2.5(分钟)。由于2<2.5,所以注水2分钟时,容器B 中的水未达一半高度,
故容器A 中的水面高度为容器A 的高度的一半,是12÷2=6(厘米)。
(2)2.5分钟以后,容器A,B 中的水位是同时上升的。3-2.5=0.5(分钟)。0.5分钟水面
上升12×(0.5÷5)=1.2(厘米),故3分钟时容器A 中的水面高度为6+1.2=7.2(厘米)。
专题八 图形的变换
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.B 2.B 3.A
例2 举一反三
1.逆 90 9 下 3
2.如图所示: 3.如图所示:
【预设考题精粹】
一、1.平移 旋转 大小 形状 2.顺时针 逆时针 3.2 4 无数 4.5 5.1256
二、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√
三、1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D
四、1.如图所示:
2.(1)6 (2)答案不唯一,如图所示 (3)答案不唯一,如图所示 (4)4∶1
215
3.如图所示。
【培优提升精粹】
一、1.无数 长方形、正方形、等腰三角形等(答案不唯一) 2.3 2 6 3.30 4.小明
二、1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√
三、1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C
四、1.先如下图将图①平均分成4份,
然后将①移到④的位置,②移到③的位置,③平移到①的位置,④平移到②的位置,如
下图:
2.先把图形①绕B 点顺时针旋转90°后,再向右平移3格,得到图形②;先把图形①绕B
点顺时针旋转180°,向下平移1格后,再向右平移4格,得到图形③;先把图形①绕B 点顺时
针旋转90°,向下平移6格后,再向右平移6格,得到图形④;先把图形②向下平移6格后,再向
右平移3格,得到图形④。
3.如图所示。
奥秘:把图①中代表士兵的各个小圆圈编号,只需移动①号、⑦号、⑩号。把⑦号移到⑧
号、⑨号正中下方,⑩号移到③号右边,①号移到②号左边就变成了图②。(此题答案不唯
一)
专题九 图形与位置
【数学好题精粹】
例1 举一反三
216专题八 图形的变换
教 材 知 识 精 粹
一、轴对称图形 在对称轴的另一边,画出所选顶点的对称点。
1.轴对称图形的定义 (3)连线:对照对称轴一边的已知图形,
如果一个图形沿着一条直线对折后,直 顺次连接画出的对称点,得到图形的另一半。
线两边的部分能够完全重合,那么这样的图 例如,下图中,图形在对称轴左边的部分
形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫 由OA,AB,BC,CD 四条线段组成,要画出
做对称轴。例如,五角星就是一个轴对称图 已知对称轴的轴对称图形的另一半。根据图
形,它有5条对称轴。 形的构成特点,选O,A,B,C,D 五个顶点,
2.轴对称图形的构成条件 分别作出它们的对称点O,A1,B1,C1,D,再
一个图形要成为轴对称图形,需要具备
把对称轴右侧的对应点O,A1,B1,C1,D 顺
两个条件:(1)有一条直线为对称轴;(2)对称
次连起来即可。
轴两边的图形形状相同,大小相等,沿对称轴
对折后,两边的图形完全重合。
注意:(1)对称轴既不是线段,也不是射
线,而是一条直线。(2)画对称轴时,应该用
点划线,而且要画出头。目前有的参考资料
上也有用虚线的,但不应用实线。(3)一般的
平行四边形过中心的一条直线将它分成两边
完全相同的部分,但它未必是轴对称图形。
关键是看对折以后两边是否能够完全重合。
3.轴对称图形的特征
在轴对称图形中,关于对称轴对称的两
点到对称轴的距离相等,且它们的连线与对
称轴垂直。 5.常见的轴对称平面图形
注意:对 称 轴 上 的 点,其 对 称 点 是 它 (1)1条对称轴:一般的等腰三角形、等
本身。 腰梯形、扇形、半圆。
4.轴对称图形的画法 (2)2条对称轴:长方形。
(1)选顶点:在原来的图形上选择几个能 (3)3条对称轴:等边三角形。
决定图形的形状和大小的顶点。 (4)4条对称轴:正方形。
(2)画对称点:根据轴对称图形的特征, (5)无数条对称轴:圆、圆环。
126
二、图形的平移 这样的图形运动叫做旋转。这个点称为旋转
1.平移的定义 中心,转动的角度称为旋转角。例如,钟表上
在平面内,将一个图形沿着某个方向移 指针的运动、电风扇的风叶转动等都是旋转。
动一定的距离,这样的图形运动叫做平移。 注意:(1)旋转中心可以在图形内部,也
例如,电梯的上下移动、传送带上物品的运动 可以在图形外部,还可以在图形上。(2)一个
等都是平移。 图形绕旋转中心旋转360°后与原来的图形完
注意:(1)平移是沿直线运动的。(2)平 全重合。(3)旋转中心是在旋转过程中唯一
移可沿着各个不同的方向进行。 不动的点。(4)图形上的点与其旋转过程中
2.决定平移的要素 的对应点到旋转中心的距离总相等。(5)旋
决定平移后图形位置的要素有两个:一 转前后,图形上的点与其对应点与旋转中心
是平移的方向,二是平移的距离。 所连线段的夹角等于旋转角。
3.平移的特征 2.决定旋转的要素
物体或图形平移后,它们的形状、大小和 决定旋转后图形位置的要素有三个:
方向都不改变,只是位置发生了变化。 (1)旋转中心的位置。(2)旋转方向到底是顺
注意:(1)平移的距离可大可小,根据具 时针还是逆时针。(3)旋转角度的大小。
体问题而定。(2)一个图形可进行多次平移。 3.旋转的特征
4.画平移后图形的方法 旋转前后,图形的形状和大小都没有发
(1)选点:在原来的图形上选择几个能决 生变化,只是位置和方向会发生改变。
定图形的形状和大小的点。例如,三角形的
4.画旋转后图形的方法
三个顶点,梯形的四个顶点等。
(1)找中心:在图中找到旋转中心。
(2)移点:根据题目要求,把选择的点按 (2)选线段:选出能决定图形形状和大小
照规定的方向,平移规定的距离。
的几条线段,这几条线段最好都过旋转中心。
(3)连线:对照原图形,顺次连接平移后
(3)画线段:根据题目要求的旋转方向和
得到的各对应点,使它与原图形完全相同。
旋转角度,把选出的几条线段绕旋转中心旋
例如,下图中, 先向下移4格,再向 转,画出旋转后的线段。
右平移12格,得到平移后的图形。 (4)完成图形:根据图形特征连接其他线
段,使它与原图形完全相同。
例如,下图中,左边的三角形②,可以看
成是三角形①绕点 A 顺时针旋转90°得到
的;三角形①可以看成是三角形②绕点A 逆
三、图形的旋转 时针旋转90°得到的。右边的梯形③,可以看
1.旋转的定义 成是梯形④绕点D 逆时针旋转90°得到的;
在平面内,将一个图形绕一个定点沿顺 而梯形④可以看成是梯形③绕点D 顺时针
时针方向或者逆时针方向转动一定的角度, 旋转90°得到的。
127
3.画缩小或放大后图形的方法
(1)看清要求,明确是把图形缩小还是
放大。
(2)找出图形中能决定图形形状和大小
四、图形的缩放 的元素。例如,直角三角形的两条直角边及
1.图形缩小与放大的定义 其长度,圆的圆心和半径。
把一个图形的各边按一定的比进行缩小 (3)分析图形特征,可以根据缩放比先画
叫做图形的缩小。同样地,把一个图形的各 出图形的一部分。例如,下图中,应先画出平
边按一定的比进行放大叫做图形的放大。例 行四边形的夹角为45°的两条邻边。
如,人们喜欢的照相就是把物体缩小的现象。 (4)再根据图形特征,画出剩余部分,完
照相所得的照片与原物体相比,大小变化了, 成图形。
形状没变。 例如,下图中,右边的平行四边形可以看
容易看出:(1)把图形按1∶n 缩小,就 成是由左边的平行四边形按1∶2的比缩小
1 得到的。反过来,左边的平行四边形也可以是将图形的每一条边缩小到原来的 ,缩小
n 看成是由右边的平行四边形按2∶1的比放
后的图形与原图形对应边长的比是1∶n。 大得到的。
(2)把图形按n∶1放大,就是将图形的每一
条边放大到原来的n 倍,放大后的图形与原
图形对应边长的比是n∶1。
2.图形缩小与放大的特征
注意:在图形的缩小或放大问题中,比的
图形缩小与放大的变化前后,所得的图
前项表示要画的份数,后项表示原图的份数。
形只是大小发生了变化,形状不变。
前项大,表示要画的份数多,就是将原图放
注意:(1)无论缩小还是放大,各边都要按
大;后项大,表示原图的份数多,要画的份数
相同的比进行缩放。(2)图形缩、放前后,各边
少,就是把原图缩小。
长与对应边长的比都相等。(3)缩、放前后,图
例如,1∶2是把图形缩小,2∶1是把图形
形的周长之比等于边长之比。(4)缩、放前后,
放大。事实上,这与地图的比例尺是一致的。
图形的面积之比等于边长之比的平方。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 种不同的涂法。
例1 (徐州)如图是一个“九宫格”图
形,大正方形由9个相同的小正方形拼成。
图中已有2个小正方形涂上了颜色。如果在
“九宫格”中再涂上1个小正方形,使涂色部
A.2 B.3 C.4 D.5
分成为一个轴对称图形,那么一共有( )
128
分析:图中还有7个空格,我们可以试着把每
一格都涂上色,看涂色的3个方格沿横着的、
竖着的、斜着的直线对折以后,能否重合。结
果发现下面的5处涂法都符合题意。
答案:D 【典型题分析】
例2 (安庆)每个小正方形的边长表示
1cm,按要求画图和填空[注:第(2)小题不用
画图]。
反思提升:本题的解题思路中,下面两点非常
实用:一是尝试筛选,一格一格地把空格全部
试涂一遍,看是否有符合题意的;二是灵活思
考,沿横着的、竖着的、斜着的三个方向对折
图形进行判断。
【举一反三】
( ) , (1)将图 绕点 顺时针旋转 ,画出1.泉州 下面各图形中 对称轴条数最 A O 90°
。
多的是( 旋转后的图形 )。
(2)将图A 按3∶1的比放大,放大后的
图形面积是( )cm2。
(3)把图形B 向右平移5格,再向上平
2.(淮安)图形A 怎样变换得到图形B 移1格。
( ) (4)画一个三角形,使三角形的面积和图
B 的面积相等。
分析:第(1)题,图 A 是一个等腰三角形,底
边长为2cm,高为3cm,且高在竖直位置。图
A 绕点O 顺时针旋转90°后,高旋转到水平
A.以 M 点为中心,顺时针旋转90°
位置,长为3cm。此时,只要过高的另一端
B.以直线OM 为对称轴,画图形 A 的
点,在竖直方向画出等腰三角形的底边,再连
轴对称图形
成三角形即可,如图所示。第(
C.向右平移3格 2
)题,图A 的
( ) 面积是2×3÷2=3(cm
2)。按3∶1放大,3.铜仁 一只小狗正在平面镜前欣赏 放
自己的全身像(如下图所示),此时,它所看到 大后的面积是3×3
2=27(cm2)。第(3)题,
的全身像是( )。 只要将图形B 的各个顶点分别向右平移5
格,再向上平移1格,然后顺次连接即可,如
图所示。第(4)题,图形 B 的面积是4cm2,
故画出的三角形面积为4cm2即可,如图所
示。(本小题答案不唯一)
129
答案:(1)如图所示 (2)27 (3)如图所示 ( )平移( )格,即成图②。
(4)答案不唯一,如图所示
2.(营口)(1)画出三角形 ABC 绕点C
顺时针旋转90°后的图形。
(2)画出原三角形ABC 向右平移4格
反思提升:(1)图形的平移由平移的方向和距
后的图形。
离两个要素决定。平移图形相当于平移图形
的顶点,然后再顺次连线。(2)图形的旋转由
旋转中心、旋转方向和旋转角度三个要素决
定。实际解题时,如果能抓住图形的特征,就
能给解题过程带来方便。(3)第(4)题,画出
的三角形只要面积为4cm2即可。可以画直 3.(揭阳)在方格纸上按要求画图。
角三角形,也可以画锐角三角形或钝角三角 (1)按2∶1的比画出正方形放大后的
形,答案不唯一。 图形。
【举一反三】 (2)按1∶2的比画出三角形缩小后的
1.(梁平)下图中,图②可以看成是由图 图形。
①做如下运动而得到的:
第一步:图①绕点O 按( )时针方向
旋转( )°;
第二步:把第一步运动后得到的图形,向
左平移( )格;
第三步:把第二步运动后得到的图形,向
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(苍溪)变换图形的位置可以有( )、( )等方法;按比例放大或缩小图形可
以改变图形的( ),但不改变图形的( )。
2.与时针运动方向相同的旋转是( )方向旋转,与时针运动方向相反的旋转是
( )方向旋转。
3.长方形有( )条对称轴;正方形有( )条对称轴;圆有( )条对称轴。
4.△ABC 经平移变换后,点A 平移了5厘米,则点B 平移了( )厘米。
5.(阜阳)一个半径是5cm的圆,按4∶1的比放大,得到图形的面积是( )cm2。
130
二、仔细推敲,准确判断。
1.沿着直线导轨推拉一扇玻璃窗是一种平移现象。 ( )
2.荡秋千和滑滑梯都是平移现象。 ( )
3.圆和圆环的对称轴都有无数条。 ( )
4.旋转不改变图形的大小和形状,只改变图形的位置。 ( )
5.一个图形,按3∶1的比放大后,周长扩大到原来的3倍,面积扩大到原来的9倍。
( )
三、反复比较,慎重选择。
1.将左边的图案绕点O顺时针旋转90°,得到的图案是( )。
2.下面的图案中,能通过基础图案平移得到的是( )。
3.下面三角形( )是以A 点为中心旋转的。
4.图案 是从( )上剪下来的。
5.将一个周长为6π厘米的圆变换成面积为36π平方厘米的圆。实际是按( )的比放
大的。
A.1∶3 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶1
6.(盐城)将一个圆先按1∶2的比缩小,再按3∶1的比放大。这个圆现在的面积是原来
的( )。
2 3 9 4
A.3 B.2 C.4 D.9
131
7.(厦门)给图中的1个白色小方格涂上颜色,使涂色部分成为一个轴对称图形,有( )
种涂法。
A.3 B.4 C.5 D.6
8.图 绕O 点顺时针旋转( )°就回到原位置。
A.90 B.180 C.270 D.360
四、运用知识,解决问题。
1.画出下列轴对称图形的另一半。
2.(扬州)根据要求操作并填空。(每个方格为边长1厘米的小正方形)
(1)梯形的面积是( )平方厘米。
(2)画一个与梯形面积相等的平行四边形。
(3)把平行四边形按2∶1的比放大,画出放大后的图形。
(4)放大后的图形面积与原来的图形面积的比是( )。
3.(宿州)按要求,画一画。
(1)将图形A 向右平移5格,得到图形B。
(2)以粗虚线为对称轴,画出图形A 的轴对称图形,得到图形C。
(3)将图形D 绕点O 逆时针旋转90°,得到图形E。
(4)画出图形D 按2∶1的比放大后的图形F。
132
培 优 提 升 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(靖江)圆是轴对称图形,它有( )条对称轴。在我们学习过的平面图形中,是轴
对称图形的还有( )(至少写两个)。
2.如果将一个长300米、宽200米的长方形广场按1∶10000缩小后绘制在图纸上,缩小
后的长方形广场的长是( )厘米,宽是( )厘米,面积是( )平方厘米。
3.如 图,AD 是 △ABC 的 对 称 轴,AC =10cm,BD =5cm,则 △ABC 的 周 长 为
( )cm。
4.小明和小亮玩一种游戏,他们要将图①和图②中涂色的三角形通过沿着水平或竖直方
向平移的方法得到图③。平移过程中,每次只能竖直或水平平移一格,先完成者为胜。小明选
择了图①,小亮选择了图②,那么最终( )将获胜。
二、仔细推敲,准确判断。
1.卡车在一条平直的公路上行驶,则车轮的运动是旋转,车厢的运动是平移。 ( )
2.圆、正方形、等边三角形的对称轴都不少于3条。 ( )
3.篮球是球体,它的运动总是旋转。 ( )
4.把一个三角形按1∶2的比放大后,所画的三角形每条边、每个角都是原来的2倍。
( )
5.轴对称图形中,互相对应的两点到对称轴的距离相等。 ( )
133
三、反复比较,慎重选择。
1.(三门峡)美术老师想将一幅图放大后放在橱窗里展览,他调到200%来复印,这幅图是
按照( )的比复印出来的。
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶200 D.200∶1
2.(杭州)下面的( )是左图在镜子中看到的图形。
3.小明运动衣上的号码在镜子中的像是 ,则小明运动衣上的号码是( )。
4.(乌鲁木齐)如图,将长方形ABCD 按2∶1的比放大为AEFG,下列叙述不正确的是
( )。
A.面积扩大到原来的2倍
B.对应各边扩大到原来的2倍
C.各对应角的大小不变
D.这种变换是相似变换
5.如下左图是小莉的印章,用这枚印章印出来的图案是图( )。
6.(重庆)把一张正方形纸按图①中的虚线对折,再按图②中的虚线对折,然后按图③中
的虚线剪去一个角,再展开后的图形是( )。
134
四、运用知识,解决问题。
1.如图,图①可以经过哪些变换得到图② 试写出其中的一种。
2.请你用数学语言分别描述图形①是如何运动到图形②、③、④的位置的,图形②是如何
运动到图形④的位置的。
3.三国时期最有名的军师诸葛孔明,率精兵与司马仲达对阵,孔明一挥羽扇,阵形瞬间由
图①变为图②,变化过程中只移动三名士兵而已,你知道其中的奥秘吗
135
