第二部分 图形与几何
专题六 平面图形
1.基本图形
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.1 20 45 2.15 13 1 1 3.D
例2 举一反三
1.× 2.110° 3.B
例3 举一反三
1.平行 垂直 2.30° 解析:把这张纸展开后可以发现,两个∠1与120°的角构成一个
平角,这样2∠1+120°=180°,∠1=30°。
3.60° 互相垂直
解析:由题图可知,∠ABC=∠A'BC,∠EBD=∠E'BD,而∠ABC、∠A'BC、∠E'BD、
∠EBD 这四个角刚好构成一个平角。故∠ABC+∠EBD=90°,且∠A'BC+∠E'BD=90°。
这样,∠EBD=90°-∠ABC=60°,∠CBD=90°,即有BC⊥BD。
例4 举一反三
1.如图所示。 解析:根据平行线和垂线的画法,用两把三角尺画图。
2.(1)如图所示。 提示:过点A 画一条直线与已知直线平行。
(2)如图所示。 提示:过点A 画一条线段与已知直线垂直。 解析:从直线外一点到这
条直线的所有线段中,垂线段最短。
3.如图所示。
(或 )
画法说明:作乙关于直线AB 的对称点丙,连接甲丙与AB 相交于C 点。车站建在C 处,
可以使甲、乙两村到车站的距离之和最短。 解析:连接两点之间的所有线中,线段最短。甲、
乙两村到车站的距离之和为:甲C+C 乙=甲C+C 丙=甲丙。
2.平面图形的认识
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.C 解析:已知三角形的两边长度分别为8厘米和3厘米,则第三边长度必须大于
209
8-3=5(厘米),且小于8+3=11(厘米)。 2.A 解析:已知三角形的两边长度分别为3cm
和4cm,则第三边长度大于4-3=1(cm),小于4+3=7(cm)。第三条边的长度又是整厘米
数,只有5种可能。 3.B
例2 举一反三
1.80° 解析:直角三角形的较小锐角是90°-60°=30°,故∠1=180°-70°-30°=80°。
2.38° 解析:∠3=180°-∠4=180°-79°=101°,∠1=180°-∠2-∠3=180°-41°-101°=
38°。 3.D 解析:若已知两锐角的度数和是90°,则第三角是直角。若已知两锐角的度数和
大于90°,则第三角是锐角。若已知两锐角的度数和小于90°,则第三角是钝角。
3.平面图形的周长和面积
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.14 解析:把面积为10平方厘米的小直角三角形剪下来拼到右边,整个图形就成了一
个长方形。其对角线把它分成面积都是24平方厘米的两部分。故阴影部分的面积为24-10
=14(平方厘米)。
2
2.2 解析:阴影三角形的面积为1平方厘米,它所在的大长方形的面积为2平方厘3
米。空白小长方形的面积就是 1 22× = (平方厘米)。那么原来大长方形的面积为
2
3 3 2+3
2
=2 (平方厘米)。3
1 1 12 2
3.r=12厘米,S 2阴影=4S圆-S正方形=4×3.14×12-2× (2 ) =41.04(平方厘米)。
例2 举一反三
1.5∶2∶3 4 解析:甲、乙、丙三个三角形的高相等,它们的面积比就等于底之比。甲
的底长为2+3=5。
2.如图。
3.一样大。理由:沿图②的中心分别作横、竖两条直线,可以把它分成四个形状与图①完
全相同的小正方形。显然,在这些大大小小的正方形中,阴影部分的面积占所在正方形的百分
比完全相同。由于图①、图②中的两个大正方形大小相等,那么这两个图案的面积也一样大。
例3 举一反三
1.108
2.40 解析:如图,剩下的长方形的长+宽=原来长方形的长,所以剩下部分的周长就是
20×2=40(米)。
3.22 解析:阴影部分的周长相当于大长方形的周长,为(8+3)×2=22(厘米)。
例4 举一反三
1.60 解析:大涂色正方形的一条边长加上小涂色正方形的一条边长的和,刚好等于大
正方形的边长。所以大正方形的周长就等于两个涂色正方形的周长之和。
210
2.S长方形=(10×2)×10=200(cm2)
10 2
S圆=3.14× ( ( 2)2 ) =78.5cm
S阴影=(200-2×78.5)÷2=21.5(cm2)
解析:根据对称性,阴影部分面积的2倍,就等于大长方形的面积减去两个圆的面积。
3.S阴影=(6-3+6)×3÷2=13.5(平方厘米)
解析:题图中右侧的阴影部分经翻折以后,可以与左侧阴影部分拼成一个梯形。
【预设考题精粹】
1.36 解析:先把72分解。72=2×6×6=12×6,所以长方形的长与宽分别为12厘米和
6厘米,其周长为(12+6)×2=36(厘米) 2.直角 3.3 27 4.3 26 5.200 130 6.4a
+6 a(a+3)(或a2+3a) 7.12 解析:由题图可知,小长方形长与宽的比是3∶2。而大长
方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽=10厘米,所以小长方形的长为
3
10× =6(厘米)。5
这样,大长方形的长=6×2=12(厘米)。 8.44 解析:平行四边形的高为20×2÷5=8(厘
米),阴影部分的面积=(3+5)×8-20=44(平方厘米)。 9.15 解析:因为E 是BC 的中
点,所以BE=EC。又因为△ABE 与△AEC 过顶点A 的高相同,故△ABE 与△AEC 的面积
相等。同理,△AEF 与△CEF 的面积相等。这样,△AEF 的面积就等于△ABC 面积的
1,是
4
1
60× =15(cm2)。4 10.25π
解析:设大圆半径为Rcm,小圆半径为rcm,则阴影部分的面
积为R2-r2=25(cm2)。这样,S圆环=π(R2-r2)=25π(cm2)。
二、1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.×
三、1.C 2.B 解析:要使三角形的周长最短,从边最短开始考虑。若三边长分别为3cm、
3cm、7cm,由于3+3<7,故不能围成三角形。若三边长分别为3cm、7cm、7cm,由于3+7>7,
故能围成三角形。此时周长最短为:3+7+7=17(cm)。 3.C 4.B 5.A 解析:设小圆的
半径为r厘米,则大圆半径为(r+1)厘米。大圆的周长=2π(r+1)=2πr+2π=C+6.28。
四、1.由图可知,∠1+∠2+∠6=180°,而∠5+∠6=180°,故∠1+∠2
=∠5=110°。同时,∠3+∠4+∠7=180°,而∠5+∠7=180°,故∠3+
∠4=∠5=110°。
所以∠1+∠2+∠3+∠4=110°+110°=220°。
2.由于四边形 DCAB 是梯形,AB 是高,那么∠A=∠B=90°。由于∠1=45°,那么
△AEC 与△BDE 都是等腰直角三角形。故DB+CA=BE+EA=BA=10(厘米)。
所以梯形的面积=(DB+CA)×BA÷2=10×10÷2=50(平方厘米)。
3.(1)如图所示。
(2)
3 1
3.14×62×4+3.14×
(6-4)2× =87.92(平方米)4
211
【培优提升精粹】
一、1.221 解析:长+宽=60÷2=30(cm),要使面积最大,长与宽的差就要最小。又因为长
和宽都是质数,故长取17、宽取13。17×13=221(cm2)。 2.144 解析:设正方形的边长是
acm,则(a+6)(a-4)=a2,解得a=12。正方形的面积=a2=144(cm2)。 3.192 解析:
△ADB 与△BDC 的高相同,它们的面积比就等于底之比,为3∶5。故梯形面积为48÷(5-
3)×(5+3)=192(平方厘米)。 4.16 解析:由从2秒开始一直到8秒,△PAD 的面积均为
6平方厘米,可知,动点P 从B 运动到C 用了8-2=6(秒),故BC=6(厘米)。 AB=2×6
÷6=2(厘米)。那么长方形ABCD 的周长为(6+2)×2=16(厘米) 5.80 解析:由题图知,
空白三角形的底边长是长方形长的2,空白三角形的高就是长方形的宽,故空白三角形的面积是
3
长方形面积的1,阴影部分的面积为 1120-120× =80(平方厘米)。 6.27.98 解析:阴影部3 3
分的周长等于半径分别是4厘米和3厘米的圆的周长的一半,再加上小圆的直径。 7.4 40
8.72 解析:如图,用割补法,阴影部分可以转化为半个正方形,其面积为12×12÷2=72
(平方米)。
二、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.√
三、1.C 2.C 3.D 解析:设正方形的边长为1,先求出三个空白三角形的面积之和。
4.A 5.D 解析:设大圆的半径为r,设路线③中三个半圆周的半径分别为r1,r2,r3。路线
①的长为πr,路线③的长为πr1+πr2+πr3=π(r1+r2+r3)=πr。故路线①、③一样长。同
理路线①、②也一样长。 6.C 解析:过A,B 两点所在的水平的格子线成作垂直线段,其长
度为4,故点C 只能与A 线B 线相距1格。
四、1.长方形的面积为:6×4=24(cm2)
大三角形的面积为1×6×(5+4)=27(cm2)2
甲比乙少的面积相当于长方形比大三角形少的面积,为:27-24=3(cm2)
1 1
2.S阴影=4S大圆- (S长方形ABCD-4S小圆 )
1 1
=4π×6
2- (6×4- 24π×4 )
=16.82(cm2)
解析:图中有三个常见图形:①长方形
1
ABCD,②以B 为圆心,半径为4cm的 小圆,4 ③
以
为圆心,半径为 的1D 6cm 大圆。阴影部分的面积可以看成是半径为 的
1
6cm 大圆面积,减4 4
去图中空白部分甲的面积。而甲的面积又可以转化成长方形的面积减去半径为 14cm的 小4
圆面积来求。
212
3.如图所示。(答案不唯一)
专题七 立体图形
1.立体图形的认识
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.√ 2.C
3.C 解析:捆扎用的丝带长度包含2条长、2条宽、4条高和接头处。
列式为:(30+20)×2+18×4+25=197(cm)。在实际捆扎过程中,应多准备一些丝带比
较合理,故选C。
例2 举一反三
1.圆柱 2.
2.观察物体
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.A
2.上面看到的: 左面看到的:
例2 举一反三
1.C 2.C 3.B
例3 举一反三
1.5 7 2.22 右 7 3.B
3.立体图形的表面积与体积
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.D 2.C 3.如图所示:
例2 举一反三
1.52 2.A 解析:分别补上缺的一块,得到两个相同的长方体。与这个长方体的表面积
做比较,甲比它多2个小正方形的面积,乙的面积与之相同,故甲的表面积大。 3.C
例3 举一反三
1.196 解析:底面周长=84÷3=28(平方厘米),底面边长=28÷4=7(厘米),长方体体
积=7×7×(7-3)=196(立方厘米) 2.20 3.C 解析:30=5×6,35=5×7,210=5×6×
7,故底面长方形的两边长分别是6厘米和7厘米。即涂色部分面积为6×7=42(平方厘米)。
例4 举一反三
1.28.26 解析:底面半径r=6÷2=3(厘米),根据等腰直角三角形的对称性,圆锥的高
213第二部分 图形与几何
专题六 平面图形
1.基本图形
教 材 知 识 精 粹
一、直线、射线、线段 (2)射线的表示方法:射线通常用表示射
1.直线 线的端点和射线上任意一点的大写字母表
(1)直线的意义:一个点在空间沿着某个 示,表示端点的字母写在前面。例如,下图中
确定的方向以及它的相反方向运动,所形成 的射线记作:射线OA。
的图形就是直线。直线没有端点,可以向两
端无限延伸,不可测量长度。严格说来,日常 (3)射线的特征:①只有一个端点。②可
生活中找不到直线的例子,只能靠我们的大 以向一个方向无限延伸。③无限长。④没有
脑去想象。 粗细之分。
(2)直线的表示方法:直线通常用直线上 注意,射线是有方向的。例如,射线AB
任意两点的大写字母表示,也可以用一个小 与射线BA 是两条不同的射线。
写字母表示。例如,下图中的直线可以记作: 3.线段
直线AB,直线BA,或直线a。 (1)线段的意义:直线上两个点和它们之
间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端
(3)直线的特征:①没有端点。②可以向 点。例如,一根拉紧的毛线,一支铅笔都可以
两端 无 限 延 伸。③无 限 长。④没 有 粗 细 看成线段。
之分。 注意,线段也可以看成直线的一个部分。
(4)直线的基本性质:经过两点可以画一 (2)线段的表示方法:线段通常用线段两
条直线,并且只能画一条直线。这句话也可 个端点的大写字母表示,或用一个小写字母
以说成:两点确定一条直线。当然,过一点可 表示。例如,下图中的线段记作:线段 AB,
以画无数条直线。 线段BA,或线段a。
2.射线
(1)射线的意义:直线上一点以及它一旁 (3)线段的特征:①有两个端点。②不可
的部分所组成的图形叫做射线。射线只有一 以延伸。③有限长,长度可以度量。④线段
个端点,可以向一个方向无限延伸。手电筒 只有长短之分,没有粗细之分。
和太阳射出来的光线都可以看成射线。 我们也可以这样认识线段、射线和直线:
注意,射线可以看成直线的一个部分。 (1)线段:把一根绳子拉直,绳子两端之
083
间的部分就成了一条线段。 (3)直线:把线段的两端都无限延长,就
(2)射线:把线段的一端无限延长,就得 得到一条直线。如下图所示。
到一条射线。如下图所示。
4.直线、射线、线段的相同点与不同点
名称 图形 端点个数 长度 能否度量 相同点 联系
直线 没有 无限长 不能
射线、线段都是
射线 1个 无限长 不能 都是直的
直线的一部分
线段 2个 有限长 能
5.线段的度量 示)
(1)线段的度量单位:度量线段长度常 定义:连接两点的线段的长度叫做这两
用的单位有米、分米、厘米、毫米等。 点间的距离。
(2)线段的度量工具:度量线段长度的
工具是刻度尺。常用的刻度尺有直尺、三角
尺、卷尺等。
(3)线段的度量方法:量线段的长度时, 二、角
通常把刻度尺上的0刻度对准线段的一个 1.角的概念
端点,线段的另一个端点对应的刻度尺上的 (1)角的定义:从一点引出的两条射线
刻度就是这条线段的长度。更一般的方法 组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,
是:把刻度尺放在线段上,线段的两个端点 这两条射线叫做角的边。角通常用符号
对应的刻度之差就是线段的长度。 “∠”表示。
6.两点之间的距离 显然,一 个 角 由 一 个 顶 点 和 两 条 边
显然,在连接两点之间的所有线(含曲 组成。
线和折线)中,线段的长度最短。(如图所 (2)角的表示方法
表示方法 图示 记法 适用范围
任何情况都适用,表示顶点的字母
用三个大写字母表示 ∠AOB 或∠BOA
写在中间
以某一点为顶点的角只有一个时,
用一个大写字母表示 ∠O
可以用顶点表示角
用阿拉伯数字表示 ∠1 任何情况都适用
用希腊字母表示 ∠α 任何情况都适用
084
2.角的度量 (3)量角度的方法步骤
(1)角的度量单位 ①点重合:把量角器放在角的上面,使
用来表示角的大小的量叫做角度。在 量角器的中心与所量角的顶点重合。
小学,角的度量单位是“度”,用符号“°”表 ②边重合:转动量角器,使量角器的0°
示。把圆周分成360等份,每一份所对的角 刻度线与角的一条边重合。
的大小是1度,记作1°。 ③看度数:从0°开始数起,看角的另一
注意:角的大小指的是角度的大小。它 条边所对的刻度是多少,这个刻度就是角的
取决于角的两边张开的程度,张开越大,角 度数。
就越大。角的大小跟角的两边画的长短没 注意,如果“0”在量角器的内圈,那么就
有关系。 看内圈的度数;如果“0”在量角器的外圈,那
(2)角的度量工具 么就看 外 圈 的 度 数。例 如,下 图 中 的 角
度量角的大小一般用量角器(也称半圆 是60°。
仪)。它的形状一般是半圆形,如图所示。
量角器把半圆分成180等份,每份所对的角
就是1°的角。量角器的刻度由两个半圆组
成,按逆时针方向,内圈刻度由0°到180°,
外圈刻度由180°到0°。
3.角的分类
类别 锐角 直角 钝角 平角 周角
图形
大于 90°而 小 于
小于 90°的 角 叫 等于 90°的 角 叫 等于180°的角叫 等于 360°的 角 叫
定义 180°的 角 叫 做
做锐角。 做直角。 做平角。 做周角。
钝角。
特征 0°<锐角<90° 直角=90° 90°<钝角<180° 平角=180° 周角=360°
说明:(1)角也可以看成一条射线绕着 转一周,形成周角。
它的端点旋转,起始位置与终止位置所组成 注意:成平角时,平角的顶点及两条边
的图形。(2)一条射线绕它的端点旋转半 在一条直线上。但是,不能说“一条直线就
周,形成平角。(3)一条射线绕它的端点旋 是一个平角”或者“平角是一条直线”。
085
4.角的大小关系 共点时,就称这两条直线相交,该公共点称
1周角=2平角=4直角 为这两条直线的交点。例如,图(1)中的两
锐角<直角<钝角<平角<周角 条直线l1 和l2 相交,交点为A。
5.角的画法
(1)某些特殊角可以用三角尺画
例如,用单个三角尺可以画出的角有:
30°,45°,60°,90°…… 图(1) 图(2)
常见三角尺中各角的度数: (2)相交的特点:相交是两条直线的位
置关系之一。两条直线相交,有这样三个特
点:①有且只有一个交点。②形成四个角。
( ) ③相对的两个角相等
。
用两个三角尺 或一个三角尺画多次
垂直
可以画出的角有: 2.
(1)垂直的定义:如果两条直线相交成
①75°=30°+45°
直角,就称这两条直线互相垂直,其中一条
②105°=60°+45°
直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的
③120°=30°+90°
交点叫做垂足。例如,数学课本相邻的两条
或者120°=60°+60°
边互相垂直。
④135°=90°+45° (2)垂直的符号表示:垂直用符号“⊥”
⑤150°=60°+90°
表示,读作“垂直于”。例如,图(1)中的两条
⑥15°=60°-45° 直线l1 与l2 相交,但不垂直。图(2)中的
或者15°=45°-30°…… 直线a 与直线b垂直,垂足为O。直线a 与
(2)一般角通常用量角器画 直线b垂直用符号表示为“a⊥b”,读作:“a
用量角器画角,分以下几个步骤: 垂直于b”。
①画一条射线表示角的一条边。 注意:(1)垂直是相交的一种特殊情况。
②使量角器的中心与射线的端点重合, (2)两条相交直线的夹角只要有一个为90°,
0°刻度线与射线重合。 它们就互相垂直。(3)为了突出两条直线之
③从0°起,找到要画的度数,作出标记, 间的垂直关系,通常在垂足处用直角符号
画出角的另一条边。 “┓”进行标注。
注意:(1)在量角或画角时,要分清是量 3.点到直线的距离
角器上的内圈刻度还是外圈刻度,防止出 从直线外一点作已知直线的垂线,这
错。(2)平角要与直线、周角要与射线的画 个点到垂足之间的线段称为已知直线的垂
法区分开来。 线段。垂 线 段 的 长 度 叫 做 点 到 直 线 的
三、相交 距离。
1.相交 4.垂线的基本性质
(1)相交的定义:两条直线只有一个公 (1)过直线上或直线外一点,有且只有
086
一条直线和已知直线垂直。 交的两条直线叫做平行线。其中一条直线
(2)从直线外一点到这条直线上各点的 叫做另一条直线的平行线,或者称这两条直
所有连接线段中,垂线段最短。 线互相平行。例如,数学课本相对的两条边
例如:图中,线段AB 就是过直线l外 互相平行。
一点A 所作的直线l的垂线段,垂线段AB (2)平行的符号表示:平行用符号“∥”
是A 与l上的各点所连的线段中最短的。 表示,读作“平行于”。例如,下图中,直线
AB 与CD 平行,记作AB∥CD,读作“AB
平行于CD”。而直线a 与b 延长后会相
交,所以它们不平行。
5.垂线的画法
把三角尺的一条直角边与已知直线重
合,然后按住三角尺,沿另一条直角边画直 注意:相互平行的两条直线没有公共
线,所画直线就是已知直线的垂线。 点。但是,反过来,如果说“没有公共点的两
例如,过直线l上一点A 作已知直线l 条直线一定互相平行”那就错了。从长方体
的垂线,画图步骤如下:(1)将三角尺的一条 的模型上我们可以看出,两条没有公共点的
直角边放在直线l上。(2)沿着直线l移动 直线,只有当它们在同一个平面内时才互相
三角尺,直到三角尺的另一条直角边过点 平行。
A。(3)沿着另一条直角边画出直线l的垂 例如,图 中 长 方 体 的 两 条 棱 AB 与
线。(4)在垂足处标上直角符号“┓”。如下 B1C1所在的直线虽然没有公共点,但是它
图所示。 们不平行,因为它们不在同一个平面内。
2.平行线的画法
把三角尺的一条边和已知直线重合,用
直尺的长边紧贴三角尺的另一条边,然后按
注意:过直线l外一点A 作已知直线l 住直尺,沿直尺的长边移动三角尺到预定位
的垂线的方法与其相同。 置,画出另一条直线,那么所画的直线就是
四、平行 已知直线的平行线。
1.平行 例如,下图就是过直线a 外一点A,作
(1)平行的定义:在同一平面内,永不相 直线a 的平行线b的简要过程。
087
离。例如,下图中,夹在两条平行线a,b 之
间的垂 直 线 段 有 无 数 条,它 们 的 长 度 都
相等。
容易看出,(1)一条直线的平行线可以
画无 数 条,这 无 数 条 直 线 都 互 相 平 行。
(2)过直线外一点画一条直线的平行线,只
3.平行线间的距离 能画一条。(3)同一平面内,与已知直线距
两条直线互相平行时,从一条直线上任
离相等的直线有两条。(4)两条平行线之间
意一点向另一条直线引垂线,所得的平行线
的距离处处相等。
间的垂直线段的长度,叫做平行线间的距
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 【举一反三】
例1 下 图 中 共 有( )条 直 线、 1.一条直线上有10个点,此图中共有
( )条射线和( )条线段。 ( )条直线、( )条射线和( )条
线段。
分析:本题主要考查直线、射线和线段的特 2. 右 图 中 共 有
征。直线无端点,可以向两端无限延伸。故 ( )个角。其中,锐角
图中只有1条直线。射线只有一个端点,可 有( )个,直角有( )
以向一端无限延伸。图中的A,B,C,D 都 个,钝角有( )个。
可以看作是射线的端点,向左、向右各有2 3.若4条直线两两相交,最多可以得到
条射线。故图中有2×4=8(条)射线。线 ( )个交点。
段有两个端点,A,B,C,D 中的每一点与其 A.10 B .4 C.8 D. 6
余3点相连,都可以连成3条线段,这样共 【典型题分析】
连成3×4=12(条)线段。按照这种算法, 例2 求图中∠1、∠2、∠3的度数。
每一条线段都算了两次,故图中共有12÷2
=6(条)线段。
答案:1 8 6
反思提升:一条直线上若有n 个点,则图中
n(, n-1
)
共有2n 条射线 条线段。 分析:由图可知,图中的∠1与42°的角组成2
一个直角,故∠1=90°-42°=48°。∠2与
42°的角组成一个平角,故∠2=180°-42°=
088
138°。而∠2和∠3也 组 成 一 个 平 角,故 不能只简单地回答“相交”就结束了。(2)把
∠3=180°-∠2=180°-138°=42°。 折 起 来 的 图 形 再 展 开,便 于 寻 找 关 系。
反思提升:解决此类问题,常常根据隐含条 (3)判断两条线段是否垂直,就看夹角是否
件:直角=90°,平角=180°,周角=360°,寻 为90°。
找已知角与未知角之间的关系。 【举一反三】
【举一反三】 1.把一张正方形纸对折两次,形成的
1.判断:用一个放大10倍的放大镜看 折痕 可 能 互 相 ( ),也 可 能 互 相
一个15°的角是150°。 ( ) ( )。
2.如下图,∠1=20°,AO⊥CO,点B, 2.一张长方形纸按如图所示的方法折
O,D 在同 一 条 直 线 上,则∠2的 度 数 为 叠,∠1是( )。
( )。
3.将一长方形纸片按如图所示的方式
折叠,BC,BD 为折痕。若∠ABC=30°,则
3.从12时到12时20分,分针旋转的 ∠EBD 的度数是( )。BC 和BD 所
角是( )。 在的两条直线的位置关系是( )。
A.直角 B.钝角
C.锐角 D.无法确定
【典型题分析】
例3 当你将一张长方形纸片如下左
【典型题分析】
图折起来,线段AB 和线段AC 是什么位置
例4 林林家要从大街边上把自来水
关系
管接到家中,怎样接材料最省 (如图所示)
分析: 分析:要使材料最省,只需水管的长度最短。从 图 中 容 易 看 出,线 段 AB 与 线 段
根据垂线的性质,从直线外一点到这条直线
AC 相交。现在只要进一步考察它们是否
上各点所连的线段中垂线段最短。故只要
互相垂直。把纸展开即成上右图。可以看
出, 从林林家向大街引垂线段,沿垂线段布设水∠1+∠2=∠3。而∠1+∠2+∠3=
, 管材料最省。如图所示。180°所 以∠3=90°。故 线 段 AB 和 线 段
AC 互相垂直。
反思提升:(1)首先要弄明白出题者的意图,
089
中地下有一根水管经过点A,并与图中的下
水道平行。
(1)请在图中画一条直线用来表示这根
水管。
反思提升:跟图形有关的材料最省、代价最 (2)图中点A 处有一个水龙头,现在要
小等问题,通常从“距离最短”这一角度思 从此处挖一条排水沟连接到下水道,应怎样
考,根据“直线外一点到已知直线所画的线 挖才能使其长度最短(请在图中画一条线段
中,垂线段最短”“两点间的连线中线段最 表示排水沟)
短”等性质解题。
【举一反三】
1.过一条直线外一点 M,分别画出已
知直线的垂线和平行线。 3.如图,在公路AB 的一侧有甲、乙两
村,如果在公路上建一个车站,车站建在什
么位置,使甲、乙两村到车站的距离之和最
短 请画图说明。
2.如下图是学校平面图的一部分,其
2.平面图形的认识
教 材 知 识 精 粹
一、三角形
1.三角形的定义
三条线段首尾相接围成的图形叫做三角
形。围成三角形的三条线段叫做三角形的三
条边,三角形每两条边的交点叫做三角形的 2.三角形的组成
顶点,三角形相邻两条边所组成的角,叫做三 三角形由3条边、3个角、3个顶点组成。
角形的内角,也称三角形的角。 例如,图中三角形 ABC 的 三 条 边 分 别 是
三角形用符号“△”表示。例如,下图中 AB,BC,AC,三个顶点分别是A,B,C,三个
的三角形ABC 可以记作:△ABC。 角分别是∠A,∠B,∠C。
3.三角形的性质
(1)三角形的三边关系:三角形任意两边
090
长度的和大于第三边。 最多有一个直角,最多有一个钝角。
根据这个性质,从甲地去乙地,走折线肯 (2)按边分类:三角形可分为不等边三角
定比走直线要远。 形和等腰三角形。如图所示。
显然,三角形任意两边长度的差小于第 三角形按边分类:
三边。
(2)三角形的内角和:三角形的内角和等
于180°。
注意:(1)三角形的内角和与三角形的形
状没有任何关系。(2)直角三角形两个锐角 ①等腰三角形:有两条边相等的三角形
之和为90°。(3)三角形的边和角之间存在着 叫等腰三角形。
对应关系,简称:大角对大边,大边对大角。 ②等边三角形:三条边都相等的三角形
(3)三角形的稳定性:只要三角形三条边 叫等边三角形。等边三角形也称正三角形。
的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完 ③不等边三角形:三条边互不相等的三
全确定了。这个性质称为三角形的稳定性。 角形叫不等边三角形。
三角形的稳定性在生产和生活中被广泛 显然,等边三角形中的任意两条边都相
应用。例如,桥梁、起重机、人字形屋顶、自行 等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形。
车的设计中,通常都有三角形结构。 5.等腰三角形与等边三角形的特点
4.三角形的分类 (1)等腰三角形至少有两条边长度相等。
(1)按角分类:三角形可分为锐角三角 在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰,
形、直角三角形和钝角三角形三类。如图 另一条边叫做底,两腰的夹角叫做顶角,底边
所示。 上的两个角叫做底角。如下图所示。
按角分类:
①锐角三角形:三个角都是锐角的三角 (2)等腰三角形的两个底角相等。
形叫锐角三角形。 显然,等腰直角三角形的两个底角都
②直角三角形:有一个角是直角的三角 是45°。
形叫直角三角形。 (3)等边三角形的三条边长度都相等。
③钝角三角形:有一个角是钝角的三角 (4)等边三角形的三个内角都相等,都等
形叫钝角三角形。 于60°。
注意:(1)在直角三角形中,直角最大,其 显然,等边三角形一定是锐角三角形。
余两个都是锐角。(2)在钝角三角形中,钝角 6.三角形的底和高
最大,其余两个都是锐角。(3)一个三角形, 从三角形的一个顶点向它的对边或对边
091
的延长线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫 每相邻两边所夹的角称为四边形的一个内
做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角 角。四边形有四个内角。显然,四边形的四
形的底。 条边、四个顶点都在同一个平面内。
显然,每个三角形都有三条高。 3.四边形的性质
(1)四边形具有不稳定性。
(2)四边形四个内角的和为360°。这是
因为连接四边形相对的两个顶点,可以把四
边形分成两个三角形。
三、长方形
1.长方形的定义
对边相等,四个角都是直角的四边形叫
做长方形。通常把长方形长边的长叫做长,
短边的长叫做宽。长方形的长和宽分别用字
:() 母注意 1 三角形的高和底是相互对应 a
和b表示。如下图所示。
的,因此,通常我们这样说:AD 是BC 边上
的高,AC 边上的高是BE。(2)锐角三角形
的三条高都在三角形内;直角三角形有一条
高在三角形内,另外两条高就是三角形的直
角边;钝角三角形有一条高在三角形内,另外 2.长方形的特点
两条高在三角形外。(3)画三角形的高时,通 (1)长方形有四条边,对边相等,并且对
常在垂足处画上直角符号“┓”。 边平行。
二、四边形 (2)长方形有四个角,都是直角。
1.四边形的定义 (3)长方形有两条对角线,它们的长度相
在同一平面内,四条线段首尾顺次相接 等,并且互相平分。
组成的封闭图形叫做四边形。在小学学习的 (4)长方形是轴对称图形,它有两条对
四边形有长方形、正方形、平行四边形和梯 称轴。
形。它们的关系如下图所示。 (5)长方形不具有稳定性。例如,用四根
木条钉成一个长方形框架,用手一拉,它就变
成一般的平行四边形了。
四、正方形
1.正方形的定义
四条边都相等,四个角都是直角的四边
2.四边形的组成 形叫做正方形。正方形的边长通常用字母a
每一个四边形都有四条边和四个顶点。 表示。如下图所示。
092
六、梯形
1.梯形的定义
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
2.梯形的特点
2.正方形的特点 (1)梯形也是四边形,有四条边,四个角。
正方形是特殊的长方形,正方形除了具 (2)梯形只有一组对边平行,另一组对边不平行。
备长方形所有的特点外,还多了两条: (3)梯形中,互相平行的一组对边长度不相等。
(1)正方形的两条对角线互相垂直。 3.梯形的上底、下底和高
(2)正方形是轴对称图形,它有4条对 梯形中,互相平行的一组对边叫做梯形
称轴。 的底。其中,较长的底是下底,较短的底是上
五、平行四边形 底。不平行的一组对边叫梯形的腰。梯形的
1.平行四边形的定义 上底、下底和高分别用字母a,b 和h 表示。
两组对边分别平行的四边形叫做平行四 如下图所示。梯形的底与两腰的夹角,叫做
边形。 梯形的底角。梯形有四个底角。
2.平行四边形的特点
(1)平行四边形有四条边,四个角。
(2)平行四边形的两组对边分别平行。
(3)平行四边形的两组对边分别相等。
梯形的分类
(4)
4.
平行四边形相对的两个角分别相等。
梯形分为一般梯形和特殊梯形两大类。
(5)平行四边形具有容易变形的特点。
特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形。它们的
例如,学校门口的伸缩门上,就可以看到
关系如下图所示。
有很多平行四边形。门在伸缩的过程中,就
是利用了它容易变形的特点。
注意:平行四边形不是轴对称图形。
3.平行四边形的底和高
从平行四边形一条边上的一点到它对边
的垂直线段,叫做平行四边形的高,这条对边 (1)等腰梯形:两腰相等的梯形叫等腰梯
叫做平行四边形的底。平行四边形的底和高 形。等腰梯形中,同一底上的两个底角相等。
之间有对应关系。平行四边形的底和高分别 等腰梯形是轴对称图形,它有一条对称轴。
用字母a 和h 表示。如下图所示。
等腰梯形 直角梯形
093
(2)直角梯形:有一个内角是直角的梯形 七、圆
叫直角梯形。直角梯形有两个直角。直角梯 1.圆的定义
形不可能是等腰梯形,等腰梯形也不可能是 平面内到定点的距离等于定长的所有点
直角梯形。 组成的图形叫做圆。圆也可以看成一条线段
绕着它的一个端点在一个平面内旋转,它的
另一个端点旋转一周所形成的封闭曲线。
2.圆的各部分名称
名称 定义 字母表示 关系
圆心 圆中心的一点叫做圆心,通常用字母O 表示。 O
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径,通常用字母r d=2r
半径 r
表示。画圆时,圆规两脚间的距离就是圆的半径长。 d
r=2
通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径,通常用字母
直径 d
d 表示。
3.圆的特点 八、扇形
(1)一个圆有无数条半径。在同一个圆 1.扇形的定义
里,所有的半径都相等。 圆上 两 点 之 间 的
(2)一个圆有无数条直径。在同一个圆 部分叫做弧,一条弧和
里,所有的直径都相等。 经过这条弧的端点的
(3)在同一个圆里,直径的长度是半径 两条半径所围成的图
的2倍,即d=2r。例如,如果一个圆的直 形叫做扇形。如图中,
径长是1厘米,那么它的半径长就是0.5 涂色部分就是一个扇形。它是由“弧 AB”
厘米。 和两条半径OA,OB 围成的。图中的∠1,
(4)一个圆的圆心决定它的位置,半径 顶点在圆心,称为圆心角。
决定它的大小。 2.扇形各部分名称
(5)圆是轴对称图形,有无数条对称轴。 (1)圆心O 称为扇形的圆心。(2)OA,
任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 OB 称为扇形的半径。(3)∠AOB 称为扇
4.圆的画法 形的圆心角。
(1)把圆规的两脚分开,定好两脚间的 注意:(1)在同一个圆中,扇形的大小与
距离,即半径的长度。 这个扇形的圆心角的大小有关。(2)扇形是
(2)把有针尖的一只脚固定在一点上, 圆的一个部分,与扇形有关的问题经常放在
即圆心。 圆中解决。(3)半圆、四分之一圆都是特殊
(3)把装有铅笔尖的一只脚旋转一周, 的扇形。如下图所示。
就画出一个圆。
094
九、圆环
两个半径不相等的圆,当圆心重合时,
两圆之间的部分叫做圆环。我们把较大的 圆环
圆叫外圆,半径用 R 表示;较小的圆叫内
圆,半径用r表示。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 A.大于5厘米
例1 (保定)若一个三角形的三边长都 B.小于11厘米
是整数,有两边长分别是3厘米和7厘米,则 C.大于5厘米并且小于11厘米
这个三角形的第三边长最短是( )厘 2.(太仓)一个三角形的三条边长都是
米,最长是( )厘米。 整厘米数,其中两条边的长度分别是3cm和
分析:根据“三角形任意两边长度的和大于第 4cm,那么第三条边的长度有( )种可能。
三边”,若第三边长度最短,则它加上3厘米 A.5 B.4 C.3 D.2
后要比7厘米长。3+4=7(厘米),故这条边 3.(南通)一个等腰三角形的两条边长
的长度应该是一个超过4厘米的整数,最短 分别是12厘米和30厘米,这个等腰三角形
应该是5厘米。 的周长是( )厘米。
若第三边最长,因为另两边的边长之和 A.54 B.72
是3+7=10(厘米),则第三边的长度要小于 C.54或72 D.无法确定
10厘 米,又 要 是 整 数,故 第 三 边 最 长 是9 【典型题分析】
厘米。 例2 (南宁)一个三角形的三个内角的
答案:5 9 度数比是1∶4∶1,这个三角形按边分是
反思提升:(1)换个角度看,第三边长度应该 ( )三角形,按角分是( )三角形。
大于7-3=4(厘米),小于7+3=10(厘米)。 分析:三角形的内角和是180°,根据按比例分
(2)跟三角形的边长有关的问题,常常根据 配的知识可知,三个内角的度数分别是180°×
“三角形任意两边长度的和大于第三边”或者 1 4
“ =30°
,180°× =120°和30°。
三角形任意两边长度的差小于第三边”分析 1+4+1 1+4+1
求解。 最大角120°是钝角,故这个三角形是钝角三
【举一反三】 角形。又因为有两个内角相等,根据“等腰三
1.(南京)小明用三根小棒搭了一个三 角形的两个底角相等”可以判断,这个三角形
角形,已知其中两根的长度分别是8厘米和 又是等腰三角形。
3厘米,则第三根长度( )。 答案:等腰 钝角
095
反思提升:本题也可以根据三个内角的度数 2.(平顶山)如图,把三角形ABC 的边
之比直接判断。最大角是4份,比另两个角 BC 延长到点D。已知∠2=41°,∠4=79°,
的份数之和1+1=2(份)还要大,这说明最 那么∠1的度数是( )。
大角的度数超过了180°的一半,是一个钝角。
另两个内角各占1份,说明它们相等,所对的
边长度也相等。故这个三角形既是等腰三角
形,又是钝角三角形。
【举一反三】 3.(济南)一个三角形中有两个锐角,那
1.(苏州)如图,∠1=( )。 么第三个角( )。
A.一定是锐角
B.一定是直角
C.一定是钝角
D.无法确定
3.平面图形的周长和面积
一、周长 文字公式 符号公式
1.周长的定义: 长方形的周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
封闭图形一周的长度叫做它的周长。 正方形的周长=边长×4 C=4a
例如,三角形的周长就是它的三条边的长度 圆的周长=直径×π C=πd 或C=2πr
之和,扇形的周长就是它的两条半径与一条
二、面积
弧长的和。
1.面积的定义
周长单位与长度单位相同。常用的有:
千米(km)、米(m)、分米(dm)、厘米(cm)、
物体的表面或封闭图形的大小叫做面
( ) 。 积。例如,圆的面积就是圆的一周围成的封毫米 mm 等
: 闭图形的大小。常用的面积单位有:平方千2.圆周率
2
圆的周长和它的直径的比值叫圆周率。 米(km )、平方米(m
2)、平方分米(dm2)、平
圆周率 用 字 母“π”(读 作 pài)表 示,π= 方厘米(cm
2)等 。另外,地积单位还经常用
3.141592653…它是无限不循环小数,即π 到公顷。
是一个无理数。在实际应用中,π通常取近 2.常见图形面积公式的推导
似值3.14,即π≈3.14。 长方形、正方形的面积公式,是根据面
3.常用的周长公式: 积和面积单位的定义,通过摆小方块的方法
推导出来的。平行四边形、三角形、梯形、圆
的面积公式,是利用转化、对应、极限等思
096
想,通过割补或者剪拼的方法,把它们转化 观察发现:拼成的平行四边形的底相当
成已知图形的面积。 于梯形的上底加下底,平行四边形的高相当
(1)平行四边形面积公式的推导 于梯形的高,于是得到:每个梯形的面积是
把平行四边形沿着高剪开,拼成一个长 平行四边形面积的一半。即:梯形的面积=
方形。 (上底+下底)×高÷2,用含有字母的式子
表示为:S=(a+b)×h÷2。
(4)圆面积公式的推导
把圆沿着半径分成若干等份,剪拼成一
观察发现:通过剪拼,平行四边形可以
个近似的长方形。
转化为长方形。并且,长方形的长相当于平
行四边形的底,长方形的宽相当于平行四边
形的高。因为长方形的面积=长×宽,所以
平行四边形的面积=底×高,用含有字母的
式子表示为:S=a×h。 观察发现:近似长方形的面积就是圆的
(2)三角形面积公式的推导 面积。并且近似长方形的长是圆周长的一
用两个完全相同的三角形拼成一个平
半,用“πr”表示;宽就是圆的半径,用“r”表
行四边形。
示。因为长方形的面积=长×宽,所以圆的
面积 公 式 用 含 有 字 母 的 式 子 表 示 为:
S=πr2。
观察发现:拼成的平行四边形的底相当 3.常见图形的面积公式
于三角形的底,平行四边形的高相当于三角
图形的名称 字母意义 面积公式
形的高,于是得到:每个三角形的面积是拼
a:长 b:宽
成的平行四边形面积的一半,即:三角形的 长方形 S=ab
S:面积
面积=底×高÷2,用含有字母的式子表示
正方形 a:边长 S:面积 S=a2
为:S=a×h÷2。
a:底 h:高
例如:一个三角形底是5厘米,高是4 平行四边形 S=ah
S:面积
厘米,它的面积是5×4÷2=10(平方厘
a:底 h:高
米)。 三角形
1
S=
S:面积 2
ah
(3)梯形面积公式的推导
: : 1
用两个完全相同的梯形拼成一个平行 a 上底 b 下底 S= (梯形 2
a+
。 h
:高 S:面积
四边形 b)h
圆 r:半径 S:面积 S=πr2
r:小圆半径 S=π(R2-
圆环
R:大圆半径S:面积 r2)
097
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 3.如图,已知正方形的对角线长为12厘
例1 如图,一个平行四边形相邻的两 米,求图中阴影部分的面积。
条边的长度分别是6厘米和10厘米,一条高
是 8 厘 米,这 个 平 行 四 边 形 的 面 积 是
( )平方厘米。
分析:如图,h1,h2分别是平行四边形的两条 【典型题分析】
高。根据“从直线外一点向这条直线所作的 例2 (扬州)如下左图,在平行四边形
线中,垂线段最短”这一性质,h1应该比6厘 中,空白部分的面积比阴影部分多40平方厘
米短,那么8厘米只能是h2的长度。由于h2 米,则图中阴影部分的面积是( )平方
对应的底长是6厘米,所以平行四边形的面 厘米。
积是6×8=48(平方厘米)。
答案:48
反思提升:(1)平行四边形中,底与高有对应
关系,8厘米长的高只能对应底中的一个。 分析:如上右图,作一条与平行四边形一边平
(2)比较简单的面积计算问题,通常根据面积
行的线段,则空白三角形与阴影三角形完全
公式在题中寻找已知条件。
相同。这样,空白部分比阴影部分大的40平
【举一反三】
方厘米就相当于一个底为15-10=5(厘米)
1.(连云港)如图是平行四边形,图中数
的平行四边形的面积。于是,平行四边形的
据为相应的面积数(单位:平方厘米),阴影部
高为:40÷5=8(厘米),它也是阴影三角形的
分的面积是( )平方厘米。
高,所以阴影部分的面积为:10×8÷2=40
(平方厘米)。
答案:40
2.(南通)如图,一个大长方形被一条线 反思提升:本题根据图形的特点,通过作辅助
段分成两个小长方形,这两个小长方形的宽 线,构造一个与阴影三角形完全相同的空白
的比为1∶3。若阴影三角形的面积为1平 三角形,从而把面积之差转化成一个小平行
方厘米,则原来大长方形的面积为( ) 四边形的面积,使问题迎刃而解。作辅助线
平方厘米。 把图形进行分割和拼接,是解决复杂图形的
面积问题的常用方法。
【举一反三】
1.如图,一个面积是20cm2 的平行四边
098
形被分成甲、乙、丙三个三角形,这三个三角 到一个圆心角是180°的扇形,即半圆。因此,
形的面积比是( ),阴影部分的面积是 阴影部分的面积就是半圆的面积,为3.14×
( )cm2。 32÷2=14.13(平方厘米)。
答案:14.13平方厘米。
反思提升:有些周长和面积问题,如果根据图
形的性质和特点挖掘隐含条件,进行整体思
考,就容易找到解题思路。
2.(天津)用4种方法将下面每个图形分 【举一反三】
成3个三角形,使其面积比为1∶2∶3。
1.李奶奶在自家墙外围成一个羊圈(如
图),羊圈的栅栏总长30m,其中不靠墙的一
条边长12m,则羊圈的面积是( )平
方米。
3.(杭州)小明用大小一样的两张正方
形纸设计了以下两个图案(阴影部分),这两
个图案的面积一样大吗 为什么 2.(阜宁)爷爷在一块长20米的长方形
菜地中,分出一块最大的正方形地种草莓,则
剩下的菜地的周长是( )米。
3.(徐州)如图,长方形ABCD 的长是8
厘米,宽是3厘米,将这个长方形沿EF 对
折,则阴影部分的周长是( )厘米。
【典型题分析】
例3 (广州)如图,一个三角形的三个
顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心,
则图中阴影部分的面积是( )。 【典型题分析】
例4 计算图中阴影部分的面积。(单
位:cm)
()
分析:图中三个扇形的半径都是3厘米,但不 1
知道三个圆心角的度数分别是多少,所以无
法求出每一个阴影的面积。根据三角形的内
角和是180°,如果把三个扇形剪拼,就可以得
099
【举一反三】
1.(枣庄)如图,两个涂色正方形的周长
(2)
之和是60厘米,大正方形的周长是( )
厘米。
分析:第(1)题,阴影部分是一个不规则的图
形,用分割求和的方法求面积比较繁。如果
右上角空白部分不动,把左下角的空白部分
向上、向右平移,就可以把两块空白部分拼合
2.(黔东南)如图,求阴影部分的面积。
成一个长方形,如 图1所 示。这 样,S阴影=
50×40-(50-5)×(40-5)=425(cm2)。
3.如图,四边形AODE 是长方形,以点
图1 图2 O 为圆心、AO 为半径画一个半圆,构成如图
第(2)题,根据对称性,把原图进行割补 所示的阴影部分。求阴影部分的面积。(单
或者翻折后,阴影部分就拼成了一个底是 位:厘米)
30cm,高是30÷2=15(cm)的三角形,如图2
所示。因此,S 2阴影=30×15÷2=225(cm )。
反思提升:有些图形,通过平移、旋转、割补、
翻折等手段,可以把分散成不规则的图形,拼
成一个简单的图形,从而使计算简便。
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.一个长方形的面积是72平方厘米,长和宽的比是2∶1,这个长方形的周长是( )
厘米。
2.∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角。∠2的度数是∠1的2倍,∠3的度数是∠1的3
倍。这个三角形是( )三角形。
3.(无锡)三个大小相等的正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是24厘米,每个正
方形的边长是( )厘米,这个长方形的面积是( )平方厘米。
4.(浙江)用两个与下图同样的三角形,可以拼出( )种不同的
平行四边形,其中周长最长的平行四边形的周长是( )cm。
5.(蚌埠)一张梯形的纸,上底是14厘米,下底是26厘米,高是10厘
100
米,这张纸的面积是( )平方厘米。如果从这张纸上剪下一个最大的三角形,那么这个三
角形的面积是( )平方厘米。
6.(徐州)一张长方形的纸,剪去一个长acm、宽3cm的长方形以后就
变成了一个正方形(如图),那么原来长方形的周长是( )cm,面积是
( )cm2。
7.(佛山)如图,用5个完全一样的小长方形拼成一个大长方形,如果大长方形的宽是10
厘米,那么它的长是( )厘米。
第7题 第8题
8.(淮安)在如图所示的平行四边形中,空白部分的面积是20平方厘米,阴影部分的面积
是( )平方厘米。
9.(锦州)如图,在三角形ABC 中,E,F 分别是BC,AC 的中点。如果三角形ABC 的面
积是60cm2,那么三角形AEF 的面积是( )cm2。
第9题 第10题
10.如图,阴影部分的面积是25cm2,则图中圆环的面积是( )cm2(结果保留π)。
二、仔细推敲,准确判断。
1.两个较小角的和小于90°的三角形是钝角三角形。 ( )
2.有一组对边平行的四边形是梯形。 ( )
3.两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ( )
4.四个圆心角是90°的扇形可以拼成一个圆。 ( )
5.把两个锐角拼在一起,拼成的角不可能是平角。 ( )
6.把一个平行四边形任意分割成两个梯形,这两个梯形的上、下两底的和总相等。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(三明)右图中有三个已知点,如果要再找出一个点,把四点相
连,组成一个平行四边形,那么有( )种连接方法。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(南通)有3cm、7cm和15cm长的小棒各两根,选其中的三根围
一个三角形,周长最短是( )cm。
A.13 B.17 C.25 D.37
101
3.(重庆)下面的图形是用木条钉成的支架,其中最不容易变形的是( )。
4.(重庆)梯形、平行四边形、四边形有什么样的关系 以下几种表示方法,正确的是
( )。
5.(南阳)有一个小圆和一个大圆,小圆的周长为C 厘米,大圆的半径比小圆的半径多1
厘米。大圆的周长为( )厘米。
A.C+6.28 B.C+3.14 C.6.28
四、运用知识,解决问题。
1.(杭州)已知∠5=110°,求∠l+∠2+∠3+∠4的度数和。
2.(连云港)如图,梯形的高是10厘米,∠1=45°。求梯形的面积。
102
3.(贺州)一间房子的占地形状是长方形,长6米、宽4米,房子周
围是草地。王大爷将一只羊拴在房子的外墙角处(紧靠地面,如图)。
已知拴羊的绳子长6米。
(1)在图中画出这只羊能吃到草的范围,并将范围内的草地涂上
阴影。
(2)求出这只羊能吃到草的面积。
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一、用心思考,细心填写。
1.用一 根 长60cm 的 铁 丝 围 成 一 个 长 方 形,长 和 宽 都 是 质 数,它 的 面 积 最 大 是
( )cm2。
2.(杭州)正方形的一组对边增加6cm,另一组对边减少4cm,结果得到的长方形与原正方
形面积相等。原正方形的面积是( )cm2。
3.(南京)如图,AB∶CD=3∶5,阴影部分的面积比空白部分的面积小48平方厘米,则梯
形面积是( )平方厘米。
4.(重庆)如图,点P 为长方形ABCD 上的一个动点,它以每秒1厘米的速度从点A 出
发,沿A→B→C→D 的路线运动,到点D 停止,从2秒开始一直到8秒,△PAD 的面积均为
6平方厘米,那么长方形ABCD 的周长为( )厘米。
5.(溧阳)如图,长方形的面积是120平方厘米,这个长方形的一条边被4条距离相等的平
行线平均分成了3份,则图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
103
6.(信阳)将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆如下图放置,则阴影部分的周长是
( )厘米。
7.(南通)下图中的梯形是由一张长方形纸片折叠而成。这个梯形的高是( )厘米,
面积是( )平方厘米。
8.(泰州)如图,正方形的边长为12米,则阴影部分的面积为( )平方米。
二、仔细推敲,准确判断。
1.梯形的上底缩为一点时,它就变成了三角形。所以三角形是特殊的梯形。 ( )
2.圆的半径是2厘米时,它的周长和面积相等。 ( )
3.在同一个圆中,半圆的周长等于圆周长的一半。 ( )
4.用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、正方形和圆形,圆的面积最大。 ( )
5.将一个正方形剪去一个角,剩下图形的内角和不可能是540°。 ( )
6.周长相等的正方形和圆,它们面积的比是π∶4。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(南通)数一数,下图中一共有( )个三角形。
A.9 B.12 C.15 D.18
2.(宝应)下面图( )中的阴影部分不能表示一个正方形的
1。
4
104
3.(昆山)如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别为CD,BC 的中点,则图中涂色部分的面积
占原正方形面积的( )。
1 2 2 3
A.2 B.5 C.3 D.8
4.(溧阳)如图是由8个边长2厘米的正方形纸片拼成的长方形,如果从中拿走一个正方
形纸片,这时剩下的图形周长是( )。
A.24厘米或28厘米 B.20厘米或28厘米
C.22厘米或20厘米 D.24厘米或26厘米
5.(太原)小华从甲地到乙地,现有三种路线可供选择,下列说法正确的是( )。
A.①最长 B.②最长 C.③最长 D.一样长
6.(太仓)如图,在5×5的方格中,A,B 为两个格点,请再选一个格点C,使三角形ABC
的面积为2,点C 有( )种选法。
A.2 B.3 C.4 D.5
四、运用知识,解决问题。
1.(广州)如图,甲比乙的面积少多少平方厘米
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2.(太原)如图,四边形ABCD 是长方形。其中弧AE 以点B 为圆心、AB 为半径,弧AF
以点D 为圆心、AD 为半径。计算阴影部分的面积。(单位:cm)
3.(无锡)某地板厂要制作一批正六边形的地板砖,为适应市场多样化需求,要求在地板
砖上面设计的图案能够把正六边形6等分,请帮助他们设计等分图案。(至少设计三种)
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