第三部分 统计与概率
专题十 统 计
教 材 知 识 精 粹
一、数据的整理与统计 分、90~99分和100分六类。当数据比较多
1.原始数据 时,整理数据的工作量会变得相当大,这时为
日常生活和科学研究中,人们通常要跟 了提高效率,往往采用分段整理或者分组整
各种“数据”打交道。数据是人们对客观事实 理的方法。把收集到的数据按顺序排列也是
或观测结果的统称。并且把搜集到的没有经 整理数据的常用方法。例如,考试以后,通常
过加工和整理的第一手资料和数据称为原始 都是把各个班级的平均成绩从高分到低分按
数据。 顺序排列,以便进行比较、分析。
原始数据可以通过问卷调查、实地走访 分类是统计的最基础工作之一。在分类
等途径获取。通常原始数据是杂乱无章的, 的基础上,通常用画“正”字的方法对各个类
看不出什么规律,很难反映事物的本质,因 别的数据进行统计。统计数据既不能遗漏,
此,人们需要根据研究目标,对它们按一定标 也不能重复,以保证结果准确。
准进行分类整理,并通过计算、比较等方法加 4.描述与分析数据的方法
以分析,从而发现规律,以便于科学决策。 (1)可以用统计表或者统计图描述数据,
2.数据整理 再进行分析。
根据一定的需要,对收集到的原始数据 (2)可以看数据的分布情况,也可以找一
组数据的最大值或最小值。
按照一定的顺序和范围进行归类、分组、整理
。 (3)可以用平均数表示一组数据的整体的过程叫做数据整理
水平。
3.收集和整理数据的方法
、
: 、 、 、 二 统计表收集数据的方法有 调查 测量 实验 查
1.统计表的意义
阅资料等等。
把搜集到的相互关联的数据资料,按照
整理数据的方法有:分类整理、分段整
一定的要求进行归类、整理,制成表格,这种
理,或者按顺序排一排,等等。
表格叫做统计表。
分类统计是整理数据的常用方法。根据
2.统计表的组成
一定的标准,把人或事物进行划分的过程叫
统计表一般分为表格外(包括总标题、单
做分类。例如,小学生按性别分类可以分为
位说明和制表日期)和表格内(包括表头、横
男生和女生两类。期中考试后,考试成绩既
栏、纵栏和数据)两部分。
可以粗分为及格、不及格两大类,也可以细分
为60分以下、60~69分、70~79分、80~89
146
3.统计表的分类 别是单式条形统计图和复式条形统计图。
按统计项目的多少,统计表可分为两类: (1)新洋小学某星期每天用水情况统
单式统计表和复式统计表。 计图
单式统计表:只含有一个统计项目的统
计表叫做单式统计表。
复式统计表:含有两个及两个以上统计
项目的统计表叫做复式统计表。
例如,下面(1)和(2)中的统计表分别是
单式统计表和复式统计表。
(1)长江、黄河、珠江和淮河的长度统 (2)六(1)班数学测验成绩统计图
计表
河流名称 长江 黄河 珠江 淮河
长度/km 6397 5464 2320 1000
(2)五年级(3)班同学想学习的乐器情况
统计表
年 月 3.条形统计图的制作方法
乐器名称 (1)根据图纸的大小,画两条互相垂直的
数 量 / 人 古筝 葫芦丝 笛子 小提琴 射线作为横轴和纵轴。
性别 (2)在横轴上适当分配直条的位置,确定
男生 2 4 10 8 直条的宽度和间隔。
女生 5 3 1 12 (3)在纵轴上根据数据大小的具体情况,
显然,两个或两个以上有联系的单式统 确定单位长度表示多少,并标出计量单位。
计表可以合编成一个复式统计表。这样,就 (4)根据比例用不同长度的直条表示出
可以更加清晰、明了地反映数据的情况及两 数量的多少,有时还可以在直条上写上数量。
个(或多个)数据变化的差异。 复式条形统计图在表示不同项目的直条时,
三、条形统计图 要用不同的线条或颜色进行区分。
1.条形统计图的意义 (5)写出标题,注明统计项目、制图日期。
用一个单位长度表示一定的数量,根据 复式条形统计图还要在右上角注明图例。
数量的多少,按比例画成长短不同的直条,并 四、折线统计图
把这些直条按一定顺序排列起来,这样的统 1.折线统计图的意义
计图叫做条形统计图。 用单位长度表示一定的数量,根据数量
2.条形统计图的分类 的多少描出各点,然后把各点顺次连接起来,
可分为单式条形统计图和复式条形统计 这样的统计图叫做折线统计图。
图两类。例如,下面(1)和(2)中的统计图分 2.折线统计图的分类
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按照统计内容的不同,可分为单式折线 复式折线统计图还要在右上角注明图例。
统计图和复式折线统计图两类。例如,下面 五、扇形统计图
(1)和(2)中的统计图分别是单式折线统计图 1.扇形统计图的意义
和复式折线统计图。 用整个圆的面积表示总数量,用圆内各
(1)田甜跳绳前后每分钟心跳情况统 扇形的大小表示各部分量占总数量的百分
计图 比,这样的统计图叫做扇形统计图。
例如:从下面的扇形统计图可以看出,六
(1)班同学最喜欢阅读的课外书是科普书,占
了总数的27%。其次是小说,占了总数的
24%。喜欢课外阅读童话和漫画的人数差
不多。
(2)某地6~18岁的男、女生身高情况统
计图
2.扇形统计图的制作方法
(1)先算出各部分数量占总数量的百分
之几。
3.折线统计图的制作方法 (2)再算出表示各部分数量的扇形的圆
(1)根据图纸的大小,画两条互相垂直的 心角度数。
直线作为横轴和纵轴。 (3)取适当的半径画一个圆,并按照上面
(2)分别确定横轴、纵轴的单位长度,并 算出的圆心角的度数,在圆里画出各个扇形。
画出方格图。 (4)在每个扇形中标明所表示的各部分
(3)根据各种数量的多少,在方格图的纵 数量的名称和所占的百分数,并可用不同颜
线上(或纵、横线的交点处)描出表示数量多 色或条纹把各个扇形区别开来。
少的点。 (5)写清扇形统计图的标题。
(4)把各点用线段顺次连接起来。有时, 六、统计图的比较
也可以在各点处标明数量。复式折线统计图 统计图分为条形统计图、折线统计图和
中表示不同项目的折线,要用不同的线条或 扇形统计图三种类型,它们各有特点,作用也
颜色进行区分。 不一样,应该根据实际需要合理选用。
(5)写出标题,注明统计项目、制图日期。
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类型 条形统计图 折线统计图 扇形统计图
(1)用整个圆的面积表示
(1)用一个单位长度表示一定 (1)用一个单位长度表示一定
总数量;(2)用圆内各扇
特点 数量;(2)用直条的长短表示数 数量;(2)用折线的起伏表示数
形的大小表示各部分量
量的多少。 量的增减变化。
占总量的百分比。
(1)从图中能看出各部分
(1)从图中能看出数量的多少;
(1)从图中能看出数量的多少; 量 占 总 量 的 百 分 之 几;
作用 (2)能清楚地看出数量增减变
(2)便于比较数据之间的差别。 (2)能看出各部分量之间
化的情况。
的关系。
(1)如果几个数量是并列的,只要求表示数量的多少,就用条形统计图。
选用原则 (2)如果要表示一个量或几个量的数量增减情况或变化趋势,就用折线统计图。
(3)如果要表示各部分量与总数量之间的关系,就用扇形统计图。
七、平均数 对象分得的物体同样多,叫做平均分。例如,
“平均数”是统计中的一个重要概念,是 把12个苹果分给3个小朋友,如果每人得4
统计中最常用的数据代表值,日常生产和社 个,是同样多的,就叫平均分;如果每人分别
会生活中经常用到它。 分得1个、2个、9个,就不是平均分。但是,3
1.平均数的意义 个人分得的平均数是12÷3=4(个)。
一组数据的和除以这组数据的个数,所 3.平均数的特点
得的商就是这组数据的平均数。其数量关系 (1)一组数据的平均数与其中的每一个
式是: 数据都有关,任何一个数据有变动都会引起
总数量÷总份数=平均数 平均数的变化。
2.平均数的作用 (2)平均数不是实际数量,它是一个虚拟
平均数能较好地反映一组数据的总体情 的数。一组数据的平均数通常在最大值与最
况。它的作用有:(1)用于描述一组数据的整 小值之间,它可能跟这组数据中的某一个数
体水平;(2)用来作为几组不同数据的比较标 据相等,也可能跟这组数据中的任何一个都
准。例如,四年级每个同学的身高不尽相同, 不相等。
每一个人的身高都不能反映四年级同学身高 4.平均数的求法
的整体水平,但是求出了四年级同学的平均 求平均数的常用方法主要有:
身高,就能知道这个年龄段学生身高的大致 (1)公式法。即用公式“总数量÷总份数
情况,便于研究学生身高的规律。而且,通过 =平均数”来求平均数。例如,张明期中考试
对四年级男生与女生平均身高的比较,就能 语文、数学、英语的成绩分别是93分、98分、
看出男、女生身高之间的差别。 97分,要求平均成绩可以这样列式:(93+98
注意:“平均数”与“平均分”不是一回事, +97)÷3=288÷3=96(分)。
“平均分”反映的是生活中的一种常见现象。 (2)移多补少法。即把一组数据中某些
把一定数量的物体分给若干个对象,使每个 较多的数据移动一部分补给较少的,使每个
149
数据变成一样多。例如,一个星期七天的最 然后,以中间数37为标准,38移1补给
高气温如下:39℃、36℃、38℃、37℃、35℃、 36,39移2补给35,40移3补给34。这样,7
40℃、34℃。要求这个星期七天的最高气温 个数据都变成了37,所以这个星期七天的最
的平均数,先把这7个数据由低到高按序 高气温平均数是37℃。
排列: (3)尾数均分法。即先把一组数据截取
相同部分后,再把余下的尾数部分平均分。
例如,第三学习小组数学测验的成绩如下表:
姓 名 李 佳 张 凡 高 扬 吉 星 江 悦 郑 好
成 绩 98 96 90 95 91 94
求平均成绩时,根据这组数据的特点, (分)。把尾数24分平均分到6个人的头
我们可以把90分作为标准,那么6位同学 上,每人得24÷6=4(分)。因此,平均成绩
的成绩一共多出8+6+0+5+1+4=24 就是90+4=94(分)。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 100 100 88 94 57 78 74 96 82
例1 下面是某班一次数学考试成绩。 89 94 96 84 89 96 81 98 92 85
95 68 96 100 93 95 100 74 (1)根据上面记录的分数填写下表:
88 98 87 99 90 86 78 94 89
分数 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下
人数
(2)这次考试的优秀率是 。(90 字的方法显得简便快捷。第(2)题,根据优
分及90分以上为优秀) 秀率=优秀人数÷总人数×100%计算。第
(3)从以上数据和统计表中,你了解到 (3)题,根据统计表中的数据更能看出有价
哪些信息 请试着写两条: 值的问题。
分析:第(1)题,整理统计数据时,用画“正” 解答:(1)填表如下:
分数 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下
人数 4 15 11 4 1 1
(2)(4+15)÷36×100%≈52.8% 数据,应依据公式进行。(3)原始数据比较
(3)(答案不唯一)平均成绩较好,优秀 杂乱,依据整理后的数据才能做出有价值的
率较好,及格率较高。 分析。
反思提升:(1)整理数据时,要做到不重复、 【举一反三】
不遗漏。(2)求优秀率、及格率、平均成绩等 1.(重庆)下面是某小学六年级同学参
150
加“学生体质健康标准”测试成绩统计表。
等级 优秀 良好 及格 不及格
人数 40 80 30 10
(1)优秀人数比良好人数少( )%。
(2)全年级的及格率是( )。
2.兴 平 小 学 各 兴 趣 小 组 人 数 情 况
如下:
书法小组:男生50人,女生40人; (1)“掷实心球”项目,男、女生总人数是
绘画小组:男生90人,女生80人; “跳绳”项目男、女生总人数的2倍,则“跳
舞蹈小组:男生80人,女生100人; 绳”项目的女生人数是( )人。
音乐小组:男生60人,女生80人。 (2)若一个考试项目的男、女生总平均成
请根据上述信息制成统计表,再回答 绩不小于9分为“优秀”,则该地区上届学生的
问题。 考试项目中达到“优秀”的项目有( )。
(1)男生人数最多的是哪个小组 女生 (3)请结合统计图信息和实际情况,给
人数最少的是哪个小组 各是多少人 该校六年级学生体育考评项目的选择提出
(2)哪个小组的人数最多 哪个小组的 两条合理化建议。
人数最少 各是多少人 分析:第(1)题,通过观察条形统计图,获取
解题数据,列式为(400+600)÷2-260=
240(人)。第(2)题由折线统计图知,立定跳
远、游泳和跳绳三项,男、女生平均成绩都小
于9,其总平均成绩也一定小于9;投篮项
目,男、女生平均成绩都大于9,其总平均成
【典型题分析】 绩也一定大于9;掷实心球项目,只能通过
例2 为了帮助六年级学生做好体育 计算判 断。400×9.2+600×8.7=8900
训练工作,某校统计了本地区上届六年级学 (分),8900÷(400+600)=8.9(分),小于9
生体育考评各个项目都参加的男、女生人数 分,未达优秀。第(3)题,需根据题中数据进
及平均成绩,并绘制成如下两个统计图。请 行综合判断。
结合统计图信息解决问题。 解答:(1)240 (2)投篮 (3)(答案不唯一,
合理即可)①取消投篮项目,因为男生和女
生的成绩都很不错,考评没有意义;②取消
跳绳 项 目,因 为 男 生 和 女 生 的 成 绩 都 比
较差。
反思提升:(1)解题时要充分利用和分析图
中信息,并进行科学研判。(2)建议要紧扣
题目,做到科学、合理。例如,投篮成绩都很
151
好,考评结果没有区分度;跳绳成绩都很差, 含量情况统计图,看图回答下面的问题。
即使学生再努力,也很难收获成功。 (1)请在扇形统计图中标上蛋白质含量
【举一反三】 的百分率。
1.(岳阳)描述从一年级到六年级的平 (2)已知乳脂含量是120克,蛋白质的
均体重变化,应采用( )统计图;描述 含量是( )克。
某种体重分组的人数占全班人数的百分比 (3)根据扇形统计图,把条形统计图补
情况,应采用( )统计图。 充完整。
2.(金坛)下面两幅统计图,反映的是
毕业复习阶段甲、乙两名同学每天在家的学
习时间分配情况和阶段性检测的成绩情况。
分析:第(1)题,总数量为单位“1”,已知其他
三个部分量分别占5%、25%、30%,可以求
出蛋白质含量为1-(5%+25%+30%)=
40%。第(2)题,根据乳脂含量是120克,可
以求出蛋白质含量为120÷30%×40%=
160(克)。第(3)题,先算出乳糖含量及其他
观察上面两幅图,回答下面的问题。 成分含量,再画图。乳糖含量为120÷30%
(1)比较甲、乙两名同学每天在家的学 ×5%=20(克),其 他 成 分 含 量 为120÷
习时间:甲○乙。(选填“>”“<”或“=”) 30%×25%=100(克)。
(2)从折线统计图看:( )的成绩 解答:(1)如图所示 (2)160 (3)如图所示
提高得更快;他第五次成绩比第一次提高了
( )%。(百分号前保留一位小数。)
(3)你认为(2)中他成绩提高快的原因
是: 。
【典型题分析】
例3 (壁山)下面是一种奶粉的成分 反思提升:(1)在扇形统计图中,用整个圆的
152
面积表示总量。(2)各部分量的和为单位 投掷得了多少分
“1”。(3)要画条形统计图,先要算出各部分 分析:根据“总数量÷总份数=平均数”可以得
的含量分别是多少,再按条形统计图的画法 到,总数量=平均数×总份数。于是,五项测
把图补充完整。 试的总成绩为85×5=425(分)。除投掷外,四
【举一反三】 项测试的总成绩为83×4=332(分)。由此可
1.如果要反映各部分与总体之间的关 以求出,李华投掷得了425-332=93(分)。
系,可选用( )统计图;如果想清楚地 解答:85×5=425(分)
看出各种数量的多少,选用( )统计图; 83×4=332(分)
如果想 知 道 数 量 增 减 变 化 的 情 况,选 用 425-332=93(分)
( )统计图。 答:李华投掷得了93分。
2.(沂水)端午节期间,光明小学对学 反思提升:解答有关平均数的计算问题,数
生端午习俗的了解情况进行了随机调查(了 量关系式“总数量÷总份数=平均数”是
解程度分为 A-很了解,B-比较了解, 依据。
C-了解较少,D-不了解),并将调查结果 【举一反三】
绘制成如下图所示的两幅统计图。请根据 1.(天长)数学考试的满分是100分,六
统计图中的信息,解答下面的问题。 位同学的平均分是91分,这6位同学的分
数各不相同,其中一位同学得65分,那么第
三名的同学至少得( )分。
2.(信阳)某班学生数学考试的平均成
绩为91.5分,事后复查发现,计算时将一名
学生的98分误作为89分计算,经重新计
(1)光明小学一共调查了( )名 算,全班的平均成绩为91.7分,那么这个班
学生。 有多少名学生
(2)被调查的学生中,对端午习俗“了解
较少”的有( )人,请将条形统计图补
充完整。
(3)对端午习俗“很了解”的人数比“了
解较少”的多( )%。 3.(井冈山)小刚骑车上坡速度是每小
(4)如果该小学共有学生2000人,根据 时5千米,原路返回下坡速度是每小时10
统计结果可以推测,对端午习俗“不了解”的 千米,那么小刚上、下坡的平均速度是多少
学生有( )人。
【典型题分析】
例4 李华参加体育达标测试,五项测
试的平均成绩是85分。如果投掷成绩不
算,那么四项测试的平均成绩是83分,李华
153(2)南 西 45° (3)蓝天 4 动物园 (4)正南 1 东北 5
二、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B
三、1.(1)~(3)如图所示。
2.(1)如图所示:
(2)(5,3)
(3)答案不唯一,如图所示。
(4)如图所示。
(5)如图所示,图形的位置不唯一。
第三部分 统计与概率
专题十 统 计
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.(1)50 (2)93.75%
2.兴平小学各兴趣小组人数统计表
性别
人数
男生 女生
组别
书法小组 50 40
绘画小组 90 80
舞蹈小组 80 100
音乐小组 60 80
(1)男生人数最多的是绘画小组,是90人;女生人数最少的是书法小组,是40人。
(2)舞蹈小组的人数最多,是180人;书法小组的人数最少,是90人。
例2 举一反三
1.折线 扇形
2.(1)= (2)乙 28.6 (3)乙花了比较多的时间进行知识整理(合理即可)
218
例3 举一反三
1.扇形 条形 折线
2.(1)200 (2)50 如图所示: (3)28 (4)160
例4 举一反三
1.95 解析:剩余5个数的和是91×6-65=481。要使第三个数最小,其余四个数就要
最大。设第三个数最小是x,则最大的、第二大的数只能是100,99,第四个数为x-1,第五个
数为x-2。那么100+99+x+(x-1)+(x-2)=481。解得x=95。 2.(98-89)÷(91.
7-91.5)=45(名) 3.(
1 1 20
1+1)÷ ( + )= (千米/时)5 10 3
专题十一 可能性
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.√ 2.(1)不可能 (2)可能 (3)一定 (4)可能 3.B C
例2 举一反三
1.× 2.D 3.B
例3 举一反三
1.√ 2.C 3.2 3
【预设考题精粹】
一、1.(1)366 (2)61 (3)226.8 (4)40 2.25 8 3.10 解析:26-(24×4-20×4)=10
4.50 12 5.奇 6.3 1 4(或2 3)
二、1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√
三、1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C
四、1.已知分数中,只有48分和33分的2倍在100分之内,而吴的得分最高,必然超过90
分,故吴的分数为48×2=96(分)。因为8位同学的总分为64×8=512(分),所以孙的得分为
512-96-(74+48+90+33+60+78)=33(分)。
2.(1)25 15 4000 (2)第二季度:4000×20%=800(万元) 第三季度:4000×15%=
600(万元) 如图所示 (3)20
3.(1)2000×(1-35%-20%-20%)=500(粒)
(2)2000×20%×95%=380(粒) 如图所示:
各型号种子的发芽情况统计图
219
