(3)C
【培优提升精粹】
一、1.2.4 解析:最高分:9.6×7-9.4×6=10.8(分) 最低分:9.6×7-9.8×6=8.4(分)
10.8-8.4=2.4(分) 2.(1)350 3 (2)正 (3)4 解析:轿车停留前的速度为150÷2=
75(千米/秒) 3.12 大 4.淘气 答案不唯一,如2(只要是一个质数即可) 5.
6.(1)140 0.7 (2)215 183
二、1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√
三、1.C 2.C 3.A 4.A 5.D
四、1.长:4.5×3=13.5(cm) 宽:4.5×2=9(cm) 面积:13.5×9=
121.5(cm2)
2.(1)平移4秒:2×4×2=16(平方厘米)
平移6秒:2×6×2=24(平方厘米) 如图所示
(2)2×6=12(厘米) 12×12=144(平方厘米)
第四部分 综合与实践
专题十二 探索规律
【数学好题精粹】
例1 举一反三
() () ()5 7 ()1 1 1 491.115 36 221 34 326 50 425 36 49 2.45 3.A
例2 举一反三
1.18 24 2.33 32 1 解 析:每 两 个△中 间 有1个○,正 确 的 排 列 规 律 是:
△○△○△○△○……
3.观察发现,每3个数为一组。1008÷3=336(组),则第1008个数是第336组的最后一
个数338;2020÷3=673(组)……1(个),则第2020个数是第674组的第一个数674。
例3 举一反三
1.111 222 333 444 555 666 777 888 999 2.(1)5.4 (2)45.54
(3)445.554 (4)4445.5554 (5)44445.55554 (6)4444445.5555554 3.(1)9 (2)9.8
(3)9.87 (4)9.876 (5)9.8765 (6)9.876543
220
例4 举一反三
1.(1)10 (2)49 2.13 3.
例5 举一反三
1.10 26 2.10+10-1=19(人) 3.(19+1)÷2=10(枚) 10×10=100(枚) 100-19
=81(枚) 4.64÷4+1=17(人) 32÷4+1=9(人) 9—2=7(人) 17×17-7×7=240(人)
【预设考题精粹】
一、 81 243 n1.(1)34 47 (2)6 9 (3)32 64
(4)5n 2.51 5n+1 3.674
左下 4.(1)答
案不唯一,如:102-92=10+9 (2)210 5.16 25 a2 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9
=52 6.24 4n 7.(1)21 (2)2021 8.暗 亮
二、1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 解析:1有1个,2有2个,3有3个……1+2+3+4+5+
6+7=28,28+8=36,所以第35个数字是8。
三、1.(2)1+2+3+4=10(条) 4 1+2+3+4+5=15(条) 5 (3)n-1 1+2+3+4+5
+6+7+8+9=45(条) 2.a=15 b=30 解析:每一列上的数依次是第一个数的1倍、2
倍、3倍、4倍……故a 等于3的5倍。长方形四个角上的四个数,上、下成比例,左、右也成比
例。由25 30= 得,b 36 b=30
。
【培优提升精粹】
一、1.10 11 n n+1 解析:前一个括号里填加数的个数,后一个括号里填首、尾两个数
的平均数。 2.41 7 解析:上、下两个数的积等于左、右两个数的和。
3.10 2n+2 4.164 32n+4 5.12 4n+4 6.-9x9
二、1.C 2.B 3.C 4.D
三、1.368 解析:观察发现,每一行末尾的数都是所在行数的平方。则第19行末尾的数是19
的平方361,那么第20行的第一个数是362,第7个数是362+(7-1)=368。
2.12个 解析:通过观察和计算发现,框出的9个数的和是正中间那个数的9倍。因此,
框出的不同和的个数就等于能成为正方形框的中间那个数的个数。第二行是10、11、12、13、
14、15共6个,第三行是18、19、20、21、22、23共6个。一共12个。即一共可以框出12个不同
的和。
专题十三 解决问题的策略
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.据题意,围成的长方形长与宽的和就是28÷2=14(分米)。由此列表如下:
长(分米) 13 12 11 10 9 8 7
宽(分米) 1 2 3 4 5 6 7
面积(平方分米) 13 24 33 40 45 48 49
所以,(1)一共有7种不同的围法。(2)当面积最大时,这个长方形就变成了一个正
方形。
221第四部分 综合与实践
专题十二 探索规律
教 材 知 识 精 粹
一、周期现象 5,10,15,20,25,…,100就是5的1~20倍
若干个事物、式子、字母或数字等不断重 组成的一个有穷数列,它的首项是5,尾项是
复出现的现象称为周期现象。解答周期问题 100,第11项是55。
的关键是找出周期。确定周期后,用总量除 2.数列中的规律
以周期。如果正好是整数个周期,结果为周 一般情况下 ,出现三次或三次以上才能
期里的最后一个;如果比整数个周期多出n 称为规律。数列中隐含的规律主要有以下
个,那么结果为下一个周期里的第n 个。对 几种:
于不是从第一个开始循环的情况,从总量里 (1)相 邻 两 项 的 差 相 等。例 如:数 列
减掉不是循环的个数后,按上面的方法处理。 100,95,90,85,80,…,前一项减去后一项的
如2,7,8,6,2,7,8,6,2,7,8,6,…中,2,7,8, 差都是5;数列4,8,12,16,…,200,后一项与
6 四 个 数 有 规 律 地 重 复 出 现。 前一项的差都是4。这样的数列称为等差
1.47258258258……这个数,就是从小数第三 数列。
位开始,按照2,5,8循环的。 (2)相邻两项的比相等。例如:数列1,
二、数列中的规律 2,4,8,16,32,…,后一项都是前一项的2倍,
1.数列的概念 即后一项与前一项的比都相等。这样的数列
(1)数列的定义 称为等比数列。
按照一定次序排列的一列数叫做数列。 (3)后一项是前两项的和。例如:数列
例如,所有非零自然数按照从小到大的顺序 1,1,2,3,5,8,13,21,…,从第三项起,每一项
排列,构成一个数列:1,2,3,4,…;所有的偶 都是它的前两项之和。这样的数列称为斐波
数按照从小到大的顺序排列也得到一个数 那契数列,又称兔子数列。
列:2,4,6,8,…。 (4)按平方呈现规律。例如:数列1,4,
(2)数列的项 9,16,25,…,分别是连续整数的平方。
数列中的每一个数叫做数列的项。数列 (5)按组呈现规律。例如:数列5,4,3,
的第一项叫做首项,数列的最后一项叫做尾 7,5,4,3,7,5,4,3,7,…,以4个数“5,4,3,7”
项。项数是有限的数列称为有穷数列,项数 为一组,依次不断重复出现。又如,数列1,
是无限的数列称为无穷数列。有穷数列有最 2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,…,以3个数为一
后一项,无穷数列没有最后一项,所以写的时 组,依次加1后不断重复出现。
候,最后面的省略号不能漏掉。例如,数列 (6)相邻两项之间隐含规律。例如:数列
163
18,20,24,30,38,48,60,…,后一项依次比前 2.数图形的方法
一项多2,4,6,8,10,12,…,也就是相邻两项 数图形的方法很多,常用的有:(1)分类
的差成等差数列。 型数,(2)按大小顺序数,(3)按位置顺序数,
(7)分子、分母分别存在规律。例如:数 (4)找规律数,等等。基本原则是不遗漏,不
列9,16,25,36,…, 重复,保证计数准确。分子按平方呈现规律,
5 122132 3.常见图形计数规律
分母依次相差7,9,11,…。 (1)数线段的公式(n为线段的总端点数)
注意:如果把上面的数字全部或部分换
线段的条数=1+2+3+…+(n-1)
成字母(或者符号),也会呈现出一定的规律。
或线段的条数=n×(n-1)÷2
我们可以用相同的方法去考察与研究。 (2)数三角形的方法(n 为线段的总端点
3.数列问题的解法
数)
先观察、比较、分析已知数之间的关系,
找出规律,然后根据找到的规律解题。观察
的方法有:(1)连续观察,(2)间隔观察,(3)分
组观察,(4)分解成不同的部分观察,等等。
三、算式中的规律 第一,参照线段的数法数。例如,图1中
数学世界充满奥秘! 许多数学算式中也 三角形的个数,与BC 边上线段的总条数相
蕴含着规律。例如:9×0+1=1,9×1+2= 同。三角形的数法就可以转化成线段的数法
11,9×2+3=21,9×3+4=31,9×4+5= 进行。
41……这样的算式就是有规律的。根据其中 第二,按大小和位置分类型数,如图2。
的规律,还可以写出许多类似的算式。 (3)数长方形的公式
探索算式中的规律,常用的思路:(1)观 长方形的个数=长边上线段的条数×宽
察、比较已知算式,分析其组成;(2)把相同的 边上线段的条数
部分放在一起比较、分析,找出每一部分的规 (4)数正方形的公式(n 为正方形边上的
律;(3)把每一部分的规律集中起来,得到整 小格数)
个算式的规律。当然,有时需要整体考虑,有 正方形的个数=1×1+2×2+3×3+…
时需要局部考虑,有时需要整体与局部结合 +n×n
起来考虑。 五、方阵中的规律
四、图形中的规律 1.方阵问题的概念
1.图形中的规律 (1)方阵问题
数学世界由数和形构成。跟数一样,图 日常生活中,我们经常会遇到一些有关
形中也有规律。有时,单个图形之间的规律 正方形的问题,如运动会上大型团体操表演
可以跟数列的规律作类比,整体图形之间的 的正方形队列,正方形棋盘上摆棋子,正方形
规律可以与算式的规律作类比。 操场上插彩旗等等,这种类型的数学问题称
为方阵问题。
164
(2)方阵问题的特点 六、搭配中的规律
①方阵每边上的人或物的数量相等; 1.两种不同物体的搭配
②相邻两层,每边上的数量相差2,即四边形 把两种物体的个数相乘,就得到所有搭
四条边上的数量相差8。 配的总数。例如:小娟有2件上衣,3条裙
(3)方阵问题的分类 子,共有2×3=6(种)不同的穿法。
一般分为实心方阵和空心方阵两种。 2.多种不同物体的搭配
2.方阵问题的数量关系 把多种物体的个数相乘,就得到所有搭
(1)每边数与四周数之间的关系 配的总数。例如:小强有2顶帽子,4件上
四周数=(每边数-1)×4 衣,3条裤子,他一共有2×4×3=24(种)不
每边数=四周数÷4+1 同的穿法。
(2)实心方阵的数量关系 注意:搭配问题除了用乘法求总数外,还
总数=外层每边数×外层每边数 可以用连线计数法、列举法解。同时,对于不
3.空心方阵的数量关系 需要考虑顺序的问题,要把总数除以2,把重
总数=(外层每边数-层数)×层数×4 复的去掉。例如:乒乓球小组赛,参赛的4个
最外层四周数=(外层每边数-1)×4, 队员每两人之间比赛一场,一共要赛4×3÷
每往里一层,外层每边数会减少2。 2=6(场)。又如:7个好朋友见面,每2人握
一次手,一共要握7×6÷2=21(次)手。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 ( )。
例1 找规律填数。 ( )1,2,3,4,( ),63 ,
1,1,2,3,5,8,( ),21,34,( )。 2 5 10 17 37
分析:这个数列从第三项开始,可以看出明显 ( )。
的规律,每一项都是前两项的和。所以第一 (4)1,
1,1,1,( ),(4 9 16
),
个括号里应该填5+8=13,第二个括号里应
( )。
该填21+34=55。
2.(灌云)瑞士的一位教师巴尔末成功
答案:13 55
9 162536
反思提升:解数列问题的基本思路是归纳和 地从光谱数据 , , , ,…中发现了一5 122132
递推。通常以找相邻两个或三个数之间的关 条规律,从而打开了光谱奥秘的大门。根据
系为突破口,发现数列的项之间的内在联系, 规律,第5个数是( )。
从而解决问题。 3.(信阳)填在下面各正方形中的四个
【举一反三】 数之间都有相同的规律,根据规律可得m 的
1.按规律填数。 值是( )。
(1)1,3,6,10,( ),21,28,( )。
(2)0,1,1,2,3,5,8,13,( ),
165
【
0 4 2 6 典型题分析
】
例3 计算前三题,然后找出规律,完成
2 8 4 26
后三题。
4 8 6 (1)1×8+1=
6 52 m (2)12×8+2=
(3)123×8+3=
A.86 B.74 C.42 (4)1234×8+4=
【典型题分析】 (5)12345×8+5=
例2 有一列数:4,3,6,7,2,5,4,3,6, (6)123456789×8+9=
7,2,5,4,3,6,7,2,5,…,( )。按照规 分析:我们先计算前三题的结果:(1)1×8+1
律,括号里的数如果是第27项,则这个数是 =9;(2)12×8+2=98;(3)123×8+3=987。
( );括号里的数如果是第48项,则这 根据前三题的结果,可以总结出这样的规律:
个数是( )。 积的最高位是9,以后各位上的数字依次少
分析:仔细观察不难发现,这个数列是按照 1;加数是几,结果就是几位数。同时要注意,
4,3,6,7,2,5六个数字为一组排列的,27÷6 第(5)小题与第(6)小题中间省略了几道算
=4(组)……3(个),第27项是第5组第3 式。所以后三题的结果是:(4)1234×8+4=
项,它与第1组的第3个数相同,应该是6; 9876;(5)12345×8+5=98765;(6)
而48÷6=8(组),没有余数,说明第48项与 123456789×8+9=987654321
第1组的最后一个数相同,即第48项是5。 反思提升:算式中规律的探索,除了认真观察
答案:6 5 算式的特点外,有时还要跟结果联系起来一
反思提升:解决按规律排列的问题时,往往根 起比较、分析、研究。如果数据较大,计算较
据余数进行推断。余数是几,就与第一组的 繁,还可以使用计算器。
第几个相同;没有余数,就与第一组的最后一 【举一反三】
个相同。 1.先计算前三题,然后找出规律完成后
【举一反三】 面的题目。
1.(盐城)笑笑把42枚围棋子按照○○ 37×3=
●●●○○●●●○○●●●……的规律排 37×6=
成 一 行 后,○ 有 ( )枚,● 有 37×9=
( )枚。 37×12=
2.每两个△中间有1个○,前65个图形 37×15=
中一共有( )个△,( )个○,○的个数 37×18=
比△少( )个。 37×21=
3.有一列数:1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5, 37×24=
6,…。这列数中,第1008个数是多少 第 37×27=
2020个数呢 2.用计算器计算前三题,然后找出规
166
律,完成后三题。 反思提升:本题从最简单的情况开始分析,
(1)6×0.9= 逐步推理,进而归纳出分割中的规律,这种方
(2)6.6×6.9= 法叫归纳法。归纳法是从个别性知识引出一
(3)6.66×66.9= 般性知识的推理,即由某类事物的部分对象
(4)6.666×666.9= 具有某些特征,推出该类事物的全部对象都
(5)6.6666×6666.9= 具有这些特征的推理。总结出规律以后,所
(6)6.666666×666666.9= 有相关问题就能迎刃而解。
3.用计算器计算前三题,然后找出规 【举一反三】
律,完成后三题。 1.数一数。
(1)81÷9=
(2)88.2÷9=
(3)88.83÷9=
(4)88.884÷9= (1)图中共有( )个角。
(5)88.8885÷9=
(6)88.888887÷9=
【典型题分析】
例4 如图,用“十字形”
(
分割正方形,分 2)图中共有( )条线段。
, (衡 水)如下图,摆 个三角形要用割一次 分成4个正方形,分割两次,分成7 2. 6
( )根小棒。
个正方形。如果连续用“十字形”分割20次,
那么分成了( )个正方形。如果分成了
361个正方形,那么共用“十字形”分割了 3.根据下面图形和字母的关系,将ab
( )次。 的图补上。
分析:先从最简单的开始,列表格,再去发现
其中的规律: 【典型题分析】
例5 同学们在操场上排方阵,先将最
分割次数 0 1 2 3 4 …
外层站满,最外层站了80名同学,最外层每
正方形的个数 1 4 7 10 13 … 边有多少名同学 如果将整个方阵站满,还
通过分析数据可以发现,如果用“十字 需要多少名同学
形”分割n 次,那么正方形的个数为3n+1。 分析与解:根据“每边数=四周数÷4+1”得,
分割20次,正方形的个数有3×20+1=61 最外层每边有80÷4+1=21(名)同学。根据
(个)。分成361个正方形,需用“十字形”分 规律,第二层每边有21-2=19(人),所以还
割(361-1)÷3=120(次)。 需要19×19=361(名)同学才能将方阵站满。
答案:61 120 反思提升:解决方阵问题,关键是要灵活掌
167
握四周数、每边数、总数之间的关系,并能巧 3.有一个用棋子摆成的方阵,如果再放
妙利用这些关系,分析解决实际问题。 入19枚棋子,可使每行每列上的棋子各增加
【举一反三】 一枚。原来的方阵中有多少棋子
1.(孝感)观察下图,每个图形中间是白
色的小正方形,周围是灰色的小正方形。
4.在一次团体操表演中,有一个中空方
照 这 样 画 下 去,第 10 个 图 形 中 有 阵最外层有64人,最内层有32人。参加团
( )个白色的小正方形和( )个灰 体操表演的共多少人
色的小正方形。
2.有100名同学排成一个方阵,后来减
去一行一列,减去多少人
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.找规律填数。
(1)20,22,25,29,( ),40,( )
(2)15,3,12,5,9,7,( ),( )
( 1 3 9 273) , , , ,( ),(2 4 8 16
)
()1,2,3
(
,…,
)
45 1015 ( )
2.(杭州)如下图,用小棒摆正六边形,摆10个正六边形需要( )根小棒;摆n 个正六
边形需要( )根小棒。
3.(盐城)如下图,观察下面三角形的三个顶点所标的数字规律,那么2021这个数在第
( )个三角形的( )顶点处(选填“上”“左下”或“右下”)。
4.(南通)找出下面算式中的规律:22-12=2+1,42-32=4+3,62-52=6+5,…。
168
(1)再写一道这样的算式:( )。
(2)运用规律计算:202-192+182-172+162-152+…+22-12=( )。
5.(石家庄)如图,第4个正方形有( )个点子,第5个正方形有( )个点子。若
某个正方形每条边上的点子个数用a 表示,则这个正方形的点子总数可表示为( )。
6.(孝感)下图按规律画下去,第6个图形有( )个o,第n 个图形有( )个o。
7.(盐城)下图是用同样大小的正三角形按一定规律拼成的一组图形。
(1)第⑤个图形中,有( )个白正三角形。
(2)第( )个图形中,白正三角形比黑正三角形多2022个。
8.(海安)海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光,下图表示前14秒灯光的变化
情况。第1秒是亮的,第2、3秒是暗的……第36秒是( )的,第52秒是( )的。
二、反复比较,慎重选择。
1.(上海)△△□○△△□○△△□○……照这样排列,左起第50个图形是( )。
A.△ B.○ C.□ D.无法确定
2.(德州)4.807807807…的小数部分第78位数字是( )。
A.8 B.4 C.0 D.7
3.(亳州)如图,摆一个正方形要4根小棒,按此规律摆下去,摆n 个正方形要( )根
小棒。
A.3n B.3n+1 C.4n D.4n+1
4.(宁波)笑脸如下图所示排列,则第2021个图形是( )。
A. B. C. D.
169
5.(福州)一列数1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第35个数字为( )。
A.6 B.7 C.8 D.无答案
三、运用知识,解决问题。
1.(盐城)自主探究:
(1)请在你的草稿纸上从两个点开始连起,依次增加点数,看看你会有什么发现。
点数
增加条数 1 2 3 4
总条数 1 3 6 10
(2)填一填。
2个点共连1条
3个点共连1+2=3(条)
4个点共连1+2+3=6(条)(从1开始3个连续自然数相加)
5个点共连 (从1开始 个连续自然数相加)
6个点共连 (从1开始 个连续自然数相加)
(3)总结规律。
如果把点的个数看作是n,即n 个点,那么可连线段的总条数就等于从1开始( )个连
续自然数的和。
根据规律,你知道10个点能连成多少条线段吗 请写出算式并算出结果。
2.观察表1,寻找规律。表2、表3分别是从表1中截取的一部分,其中a,b的值分别是
多少
培 优 提 升 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(南通)已知2+4=2×3,2+4+6=3×4,2+4+6+8=4×5,则2+4+6+8+…+20
=( )×( ),2+4+6+…+2n=( )×( )(n≥2,且n 为整数)。
170
2.(安庆)如下图,根据规律,m 是( ),n 是( )。
3.(镇江)观察下面的图形,找规律填空。
照这样 摆 下 去,第4个 图 形 有( )个 黑 色 方 块,第 n 个 图 形 中 黑 色 方 块 有
( )个。
4.(南通)用一些相同的正方形纸部分重叠可以组成下面的图案。已知图案中每个涂色
部分的面积是4平方分米,占每张正方形纸面积的
1,则由5张正方形纸组成的图案的面积是9
( )平方分米,由n 张正方形纸组成的图案面积是( )平方分米。
5.(保定)如下图,用同样大小的黑、白两色棋子摆正方形图案。仔细观察可以得到,第
( )个图案有黑色棋子144枚;第n 个图案需要白色棋子( )枚。
6.观察:-x,2x2,-3x3,4x4,-5x5,6x6,…,按此规律写出的第9个式子是( )。
二、反复比较,慎重选择。
1.(盱眙)如果按照下面的画法,画到第10个正方形时,图中共有( )个直角三角形。
A.28 B.32 C.36 D.40
2.(常熟)按图中的规律接着画下去,第5个图形一共有( )个这样的圆点。
A.20 B.21 C.23 D.26
3.(海安)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”,而把
1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可
以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中,符合这一规律的是( )。
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A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31
4.(宿州)如图,五个正方形重叠,连接点正好都是正方形的中点,正方形的边长都是a,图
形的周长是( )。
A.24a B.18a C.14a D.12a
三、运用知识,解决问题。
1.如下图中的数字排列,第20行第7个数是几
2.将一部分自然数按下图中的数阵排列:
在这个数阵里,小明用长方形一次框出9个数,一共可以框出多少个不同的和
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