专题七 立体图形
1.立体图形的认识
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一、长方体 对的4条棱平行且长度相等。
1.长方体的定义 (4)长方体有8个顶点,每个面上都有4
由6个长方形(也可能有2个相对的面 个顶点。
是正方形)所围成的立体图形叫做长方体。 二、正方体
例如,数学书的外形、电视机的包装箱等都是 1.正方体的定义
长方体形状。 由6个完全相同的正方形围成的立体图
2.长方体各部分名称 形叫做正方体,正方体也称立方体。例如,魔
一个长方体有6个面、12条棱、8个顶 方、骰子等都是正方体形状。
点。其中,围成长方体的长方形(或正方形) 2.正方体各部分名称
叫做长方体的面,两个面相交的线叫做棱,三 正方体有6个面、12条棱、8个顶点。其
条棱相交的点叫做顶点。长方体相交于同一 中,围成正方体的每一个正方形都叫做面,两
顶点的三条棱的长度,分别叫做它的长、宽、
个面相交的线叫做棱,三条棱相交的点叫做
高。如下图所示。
顶点。
3.正方体的特征
(1)正方体有6个面、12条棱、8个顶点。
(2)正方体的6个面都是完全相同的正
方形。
(3)正方体的12条棱长度相等,相对的
棱互相平行。
4.长方体与正方体之间的关系
正方体具有长方体的所有特征,正方体
3.长方体的特征
是特殊的长方体,但长方体不一定是正方体。
(1)长方体有6个面、12条棱、8个顶点。
。
(2)长方体的上、下、左、右、 、
其关系可用下图表示
前 后6个面
都是长方形(也可能有2个相对的面是正方
形),而且相对的面完全相同,面积相等。
(3)长方体的12条棱分为3组,每组相
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三、圆柱 四、圆锥
1.圆柱的定义 1.圆锥的定义
以长方形的一条边所在的直线为轴,把 以直角三角形的一条直角边所在的直线
它旋转360°所得的几何体叫做圆柱。例如, 为轴,把直角三角形旋转360°所得的几何体
油桶、易拉罐的外形都是圆柱的形状。 叫做圆锥。例如,漏斗、蛋筒的外包装都是圆
2.圆柱各部分名称 锥的形状。
一个圆柱有两个底面和一个侧面。其 2.圆锥各部分名称
中,圆柱的上、下两个面叫做底面。围成圆柱 一个圆锥有一个顶点、一个底面和一个
的曲面叫做侧面。两个底面之间的距离叫做 侧面。其中,圆锥的底面是一个圆,侧面是一
高。如图所示。 个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫
做圆锥的高。如图所示。
注意,我们把不是平面的面称为曲面。
3.圆柱的特征 3.圆锥的特征
(1)圆柱的上、下两个底面是完全相同 (1)圆锥有一个顶点,底面是一个圆,侧
的圆。 面是一个曲面。
(2)圆柱的侧面是一个曲面,展开后是一 (2)圆锥的侧面展开后是一个扇形。
个长方形。 (3)圆锥只有一条高。
(3)圆柱有无数条高。
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【典型题分析】 因为长方体的12条棱可以分成长度不等的
例1 (深圳)用一根32厘米长的铁丝 3组,每组4根。所以每组的长度之和即长
正好做成一个棱长是整厘米数的长方体框 +宽+高=32÷4=8(厘米)。四个选项中只
架,这 个 长 方 体 框 架 的 长、宽、高 可 能 是 有B符合长、宽、高的和是8厘米的条件。
( )。 答案:B
A.7厘米、2厘米、1厘米 反思提升:长方体和正方体都有6个面、12
B.5厘米、2厘米、1厘米 条棱和8个顶点。长方体的长、宽、高都有4
C.5厘米、3厘米、2厘米 条,长、宽、高知道了,它的形状、大小就确定
D.3厘米、2厘米、1厘米 了。对正方体而言,只要知道棱长就能解决
分析:据题意,长方体的棱长之和是32厘米。 一切问题。
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【举一反三】 答案:长方形 直角三角形
1.判断:一个长方体,如果有两个相邻的面 反思提升:学习立体图形的知识,要善于结合
是正方形,那么这个长方体就是正方体。( ) 图形展开想象。例如,一碰到圆柱、圆锥的问
2.(重庆)红红用小棒搭一个长方体框 题,我们的大脑中能立即浮现出下边的图形
架,搭了其中的三根,就能决定这个长方体的 就好了。
形状与大小的是( )。
【举一反三】
3.用丝带捆扎一种礼品盒(如图),接头 1.(福州)将图中的正方形绕对称轴旋
处长25cm,要捆扎这种礼品盒,准备( ) 转一周,可以得到一个( )。
分米的丝带比较合理。
(滕州)将下面的长方形、半圆形、梯
A.18 B.19.5 C.20 D.30 2.
【 】 形、三角形快速旋转一周,能形成什么图形 典型题分析
请你连一连。
例 2 简 言 之,圆 柱 由 平 面 图 形
( )在一定条件下旋转而得,圆锥由平
面图形( )在一定条件下旋转而得。
分析:根据定义,长方形绕其一条边所在的直
线旋转360°得到一个圆柱,直角三角形绕其一
条直角边所在的直线旋转360°得到一个圆锥。
2.观察物体
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一、观察物体的概念 完全相同。例如,同样是观察人民英雄纪念
日常生活中,观察同一个物体时,随着观 碑,站在正面看与站在侧面看,看到的形状是
察位置的不同,看到的形状和大小通常也不 不一样的;离远看与离近看,看到的大小也不
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一样。又如,下左图是由4个小正方体堆成 (也就是正面)、右面(或左面)三个位置观察
的几何体。从前面看、从右面看、从上面看, 到的情况,就可以准确地知道这个物体实际
看到的形状各不相同。 是什么样的。如下图所示,由小方块堆成的
图形,从上面看到的是 A,说明它由左、右两
堆组成;从左面看到的是B,说明这两堆最高
是3层;从正面看到的是C,说明左面那一堆
是3层,右面那一堆只有1层。这样,图形的
二、观察物体的位置
真实形状也就清楚了。
数学上说的观察物体,通常是指从物体
的上、下、前、后、左、右六个位置进行观察。
事实上,我们只要知道从物体的上面、前面
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【典型题分析】 【举一反三】
例1 (厦门)观察下面的几何体,从正 1.(淮北)分别用5个大小相同的小正方
面看到的形状是( )。 体搭 成 如 下 图 所 示 的 三 个 立 体 模 型,从
( )看这三个立体模型的形状是完全一
样的。
A.正面 B.左面
: C.
上面 D.右面
分析 从正面看,看到的是上、下两层,上层是
2.(丰都)在方格纸上按要求画图。
一个正方形、下层是两个正方形。并且,上层
的那个正方形与下层左侧的正方形上、下对
齐,故本题选C。
答案:C
反思提升:观察物体时,首先要弄清楚是从哪 【典型题分析】
个位置观察。如果是从正面观察,就看从下到 例2 (重庆)用5个相同的小正方体搭
上分为几层,每层从左到右分别是什么情况;
成的立体图形,从正面看是 ,从上面
如果是从上面看,就看从前到后分成几行,每
行从左到右又是什么情况;如果是从左面(或 看是 ,从右面看是 ,这个立体图
右面)看,就看分为几层,每层从前到后是什么
形是( )。
情况。对于几个物体组成的几何体,通常根据
其中两个不同位置的观察就能判断出来。
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可能是( )。
分析:本题正着想比较难,不妨倒过来想。从正
【典型题分析】
面看A,B,C,D,其中只有C,D是 ,故正
例3 (济源)一个立体图形从上面看是
确答案是C或者D。再从上面看C,D,只有D
,从左面看是 ,要搭成这样的
是 ,而C与题意不符,故本题选D。
立体图形,最多用( )个小正方体。
答案:D
反思提升:(1) : ,思维要灵活,正着想比较困难 分析 这个立体图形从上面看是
时,立即转向,倒过来想。(2)本题根据前两 说明它有前、后两行,第一行的底层有4个小
个条件就能确定正确答案,这时第三个条件 正方体,第二行的底层有1个小正方体。从
就成了多余条件。(3)对于比较简单的观察
左面看是 ,说明它的第一行有两层,第
物体问题,有时只根据从两个位置看到的图
形,基本就能推断出结果。 二行只有一层。要搭成这样的立体图形,第
【举一反三】 一行的上层可以摆1~4个小正方体,最多摆
1.(厦门)如下图,从右面看到的形状与 4个。故最多用4+4+1=9(个)小正方体。
从( )看到的形状相同。 答案:9
反思提升:如果只从两个不同的位置观察立
体图形,有时并不能完全确定这个立体图形
的真实组成,这时答案就不唯一。本题中,最
A.左面 B.上面 C.正面 D.后面
多用9个小正方体,最 少 用4+1+1=6
2.(青岛)从三个方向观察同一个几何 (个),其实用7个或者8个,都能搭出符合题
体,所得图形如下,则这个几何体是( )。
目条件的立体图形。
【举一反三】
1.(孝感)一个图形从正面看是 ,
从左面看是 ,要搭成这样的立体图形,
( ) , 至少要用( )个小正方体,最多要用3.商 丘 一个立体图形 从上面看是
( )个小正方体。
,从左面看是 。这个立体图形
2.(常州)如图所示是由棱长1厘米的小
111
正 方 体 摆 成 的,它 的 表 面 积 是
( )平方厘米,从( )面
看到的形状是 ,至少增加( )个这
样的小正方体能成为一个大长方体。
3.(无锡)如果用 表示1个立方体,用
表示2个立方体叠加,用 表示3个立方
体叠加,那么图中由7个立方体叠成的几何
体,从正 前 方 观 察,可 画 出 的 平 面 图 形 是
( )。
3.立体图形的表面积与体积
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一、展开图 来的长方体。(2)展开前后,长方体的长、宽、
1.展开图的意义 高不变,因此,6个面的形状、大小也不变。
(1)定义:把立体图形的表面按照一定要 (3)在展开图中,原来各面的形状,看得更清
求剪开,展成平面图形,这个平面图形叫做该 楚。(4)在解决实际问题时,要注意长方体的
立体图形的平面展开图。平面展开图简称展 长、宽、高与平面展开图中各长方形边长之间
开图。 的对应关系。
把一个立体图形的平面展开图折叠以 3.正方体的展开图
后,又可以得到原来的立体图形。 沿着正方体的某些棱,将它剪开展成平
(2)作用:通过展开与折叠,可以实现立 面图形,就得到正方体的展开图。如下图
体图形与平面图形的相互转化。从而方便研 所示。
究立体图形的表面积等问题。
2.长方体的展开图
沿着长方体的某些棱,将它剪开展成平
面图形,就得到长方体的平面展开图。如下
图所示。 说明:(1)同一个正方体,可以展成不同
形状的平面图形,但它们折叠以后,都可以得
到原来的正方体。(2)展开前后,正方体的棱
长不变。(3)正方体的平面展开图由6个完
全相同的正方形组成。(4)所有正方体形状
说明:(1)同一个长方体的展开图有多个 完全相同,只有大小之别,所以不论棱长多
不同的形状,但它们折叠以后,都可以得到原 少,正方体的平面展开图的形状只有下面11
112
种,可以分成下面三类。 说明:(1)圆柱的展开图由两个圆和一个
▲ 中间四个一连串,两边各一随便放。 长方形组成。(2)圆柱的侧面展开后是一个
长方形,它的长就是圆柱底面圆的周长,它的
宽就是圆柱的高。
二、立体图形的表面积
1.表面积的定义
一个立体图形所有面的面积总和叫做它
▲ 二三相连头顶头,还有一个与三连。 的表面积。例如,长方体的表面积就是它的
6个面的面积之和,圆柱的表面积就是它的
侧面积与它的上、下两个底面面积的和。
▲ 两两相连挨个移,三个两排头尾齐。 立体图形的表面积反映了它的表面的大
小。表面积的计量单位是面积单位。常用的
有:平方米、平方分米、平方厘米等。
4.圆柱的展开图 2.表面积的求法
沿着圆柱侧面边线上的一条高,将它剪 立体图形的表面积实际上就是它的平面
开展开成平面图形,就得到圆柱的平面展开 展开图的面积。立体图形的表面积,可以转
图。如下图所示。 化为它的平面展开图的面积来求。例如,圆
柱的侧面是曲面,无法直接求出它的面积,但
是圆柱的侧面展开后得到一个长方形,可以
直接用“长×宽”求出面积,这样,圆柱的侧面
积=底面周长×高。
3.立体图形的表面积计算公式
表面积计算公式
名称 图形
文字公式 字母公式
长方体的表面积
长方体 =(长×宽+长×高+宽×高) S=2(ab+ah+bh)
×2
正方体的表面积=棱长×棱长
正方体 S=6a2
×6
S侧=Ch=2πrh
圆柱的表面积=侧面积+底面积
圆柱 S底=πr2
×2
S表=S侧+2S底=2πr(h+r)
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注意:现实生活中物体的表面积,视
实际情况而定。例如,求鱼缸的表面积不
能把盖子算进去;又如,求做一个圆柱形
烟囱需要 多 少 铁 皮,只 要 求 出 它 的 侧 面
面积。
4.圆锥体积公式的推导
三、立体图形的体积
在一个圆锥形容器里装满沙子,再倒入
1.体积的定义 与它等底等高的圆柱形容器里,倒3次正好
一个立体图形占有空间的大小叫做它
将圆柱形容器倒满。由此可以推断,圆锥的
的体积。例如,一个棱长是3厘米的正方
体,可以用27个棱长1厘米的小方块堆成, 体积是与它等底等高的圆柱体积的
1,用含
3
那么这个正方体的体积就是27立方厘米。
有字母的式子表示为 1 1V=3Sh=3πr
2h。
常用的体积单位有:立方米、立方分米、
立方厘米等。 例如,若一个圆锥的底面半径是1厘
2.容积的定义 米,高是3厘米,则它的体积是
1
3×3.14×
容器所能容纳物体的体积叫做它的容
。 1
2×3=3.14(立方厘米)。
积 例如,一个塑料油桶可以装油5升。这
5.圆锥与圆柱的体积、底面积和高之
里的“5升”指的就是这个油桶的容积的
间的关系
大小。
(1)如果一个圆锥和一个圆柱等底等
常用的容积单位有:升、毫升(通常用于
液体或气体)。 高,那么圆锥的体积等于圆柱体积的
1。
3
容器容积的计算方法一般与体积计算 (2)如果一个圆锥和一个圆柱等体积、
公式相 同,但 要 从 容 器 的 内 部 量 取 有 关 等底面积,那么圆锥的高是圆柱高的3倍。
数据。 (3)如果一个圆锥和一个圆柱等体积、
3.圆柱体积公式的推导 等高,那么圆锥的底面积是圆柱底面积的
如图所示,把圆柱的底面平均分成若干 3倍。
份,切开后再拼起来,就得到一个近似的长 例如:如果一个圆柱和一个圆锥等底等
方体。随着分成的份数足够多,粗略地看, 高,圆柱的体积是15立方厘米,那么圆锥的
长方体的底面积=圆柱的底面积,长方体的 体积是15÷3=5(立方厘米);如果一个圆柱
高=圆柱的高,长方体的体积=圆柱的体积, 和一个圆锥等体积、等底面积,圆柱的高是3
所以圆柱的体积=长方体的体积=底面积 厘米,那么圆锥的高是3×3=9(厘米);如果
×高,用含有字母的式子表示为V=Sh= 一个圆柱和一个圆锥等体积、等高,圆柱的底
πr2h。 面积是9.42平方厘米,那么圆锥的底面积就
是9.42×3=28.26(平方厘米)。
114
6.立体图形的体积计算公式
体积计算公式
名称 图形
文字公式 字母公式
长方体的体积=底面积×高
长方体 V=Sh=abh
=长×宽×高
正方体 正方的体积=棱长×棱长×棱长 V=a3
圆柱 圆柱的体积=底面积×高 V=Sh=πr2h
圆锥 圆锥的体积 底面积 高 1 1 1= × ×3 V=3Sh=3πr
2h
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【典型题分析】 反思提升:在证明思考比较困难的情况下,从
例1 (本溪)第( )幅图是下面这个 反面思考,往往能迅速找到解题路径。
正方体图形的展开图。 【举一反三】
1.(厦门)下面的图形不是正方体的展
开图的是( )。
2.(南 通)下 面 的 4 个 正 方 体 中,
分析:仔细观察容易发现,A,B,C,D四个选 ( )可能是用上边的图形折成的。
项形状相同,不同的是黑点和阴影位置不同。
由于正方体的展开图有11种之多,从展开正
方体入手寻找答案相当困难。这时,不妨从
反面思考,考虑分别把A,B,C,D折叠,看哪
一个选项折叠后符合黑点和阴影相邻这一条
件。显然A,B,D折叠后,黑点与阴影都在相
对的两个面上。经验证,只有C符合题意。 3.(重庆)如下图,在一个骰子上,相对
答案:C 面上的点数之和都是7。在该骰子展开图的
115
空白面画上正确的点。 正方体摆成的立体图形,它们的表面积相比
较,( )。
【典型题分析】
例2 (保定)
甲大 乙大
用纸板做一个长方体无盖 A. B.
, 一样大 无法确定纸盒 已经在纸板上画出了两个相邻的面(如 C. D.
)。 (邯郸)用两个长 分米、宽 分米、高下图 按这样的规格可以制作出几种不同 3. 4 2
, 3分米的长方体拼成一个大长方体,这个大的纸盒 其中用纸板最多的纸盒需要纸板
( ) 2( )。 长方体的表面积最小是( )平方分米。 cm 粘接处忽略不计
A.88 B.56 C.80 D.48
【典型题分析】
例3 (宿州)一个密封的玻璃缸,存水
分析:由图形可以看出, 的空间长 分米,宽长方体的三条棱长分 6 5分米,高4分米,现在
10cm、6cm 4cm。 6 , 缸里的水深3分米
。如果把缸竖起来(如下
别是 和 长方体有 个面
图),那么缸里的水深多少分米
因为长方体无盖,所以要使得“用纸板最多”,
也就要使底面积最小,那么就应该选择4cm×
6cm规格的面做底面。这时,需要纸板的面
积为:
分析与解:两种放置方法,水的体积不变,底
(10×4+10×6)×2+6×4=224(cm2)。
面积变了。可以根据体积不变列式,水深为:
答案:224
( ) (分米)
反思提升:(1)
6×5×3÷ 5×4 =4.5
长方体有6个面,到底取几个
答:缸里的水深是 分米。
面求表面积,
4.5
应根据实际情况确定。(2)随着
反思提升:抓住水的体积不变,根据“长方体
长方体摆放位置的不同,长方体的长、宽、高
的体积 长 宽 高 底面积 高”可以建
也会发生变化。
= × × = ×
换言之,长方体的长、宽、高
立等量关系,求出水深。
具有相对性。(3)要善于转换思考角度,把
【举一反三】
“用纸板最多”转化成“底面积最小”。
1.(太原)一个长方体,如果高增加 厘【 3举一反三】
米就成为一个正方体,而表面积会增加84平
1.(永川)一个长方体按三种方法(如下
方厘米。原来这个长方体的体积是( )
图)分割成两个长方体,
表面积分别增加了
立方厘米。
16平方厘米、24平方厘米、12平方厘米,原
2.(射 阳)有一个长
来的长方体的表面积是( )平方厘米。
方体鱼缸(如右图)。现
在向鱼缸内注水,随着水
2.(三明)如下图,甲、乙是用同样的小 面的上升,水与玻璃的接
116
触面会不断发生变化。当有一组相对的面形 【举一反三】
成正方形时,鱼缸内有( )升的水。 1.将一个底面直径为6厘米的圆锥沿高
3.(常州)如图,在一个体积为210立方 切开,如果切面是一个等腰直角三角形,那么
厘米的长方体中,相邻两个面的面积分别是 这个圆锥的体积是( )立方厘米。
30平方厘米和35平方厘米。这个长方体底 2.如下图,一个两层蛋糕,每层厚5厘
面(即涂色部分)的面积是( )平方厘米。 米,底面直径分别是60厘米和40厘米。蛋
糕表面需要涂上奶油,如果每平方厘米需鲜
奶0.5克,这个蛋糕需鲜奶多少克
A.30 B .3 5 C .4 2
【典型题分析】
例4 (渭南)下图是一块长16.56分米
的长方形铁皮,按照图中的阴影部分裁剪,刚
好能做成一个圆柱体油桶(接头处忽略不
计),这个油桶的体积是( )立方分米。
分析与解:由图可知,圆柱的底面直径与底面
有一块长方形铁皮,长 ,宽
周长之和为16.56分米。设圆柱的底面半径 3. 120cm
,在它的四个角上分别剪去一个边长是
为r分米,则2r+2πr=16.56(分米),解得 80cm
的正方形,然后焊接成一个没有盖的
r=2(分米)。h=4r=8(分米),V=πr2h= 30cm
铁箱。
3.14×22×8=100.48(立方分米)。
(
: 1
)制作这个铁箱需要多少平方厘米
答案 100.48
铁皮
反思提升:分析与解答展开与折叠问题,要善
(2)铁箱的容积是多少立方厘米(铁皮的
于根据立体图形与平面图形中各部分之间的
厚度忽略不计)
对应关系,把不容易解决的问题转化成容易
解决的问题。
117
【典型题分析】 的高是( )厘米。
例5 一个圆柱和一个圆锥等底等高,
它们的体积相差50.24cm3。如果圆锥的底
面半径是2cm,这个圆锥的高是多少厘米
分析:圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱
1
体积的 。如果把圆锥体积看作 倍量,则 【典型题分析】
3 1
例6 计算下面图形的体积。(单位:
圆柱体积就是3倍量,那么它们的体积之差
cm)
50.24cm3 就是3-1=2倍量,故圆锥的体积
V=50.24÷2=25.12(cm3)。已知圆锥的底
面半径r=2cm,根据圆锥的体积公式V=
1
πr2h,就可以求出它的高。3
解:圆锥的体积 V=50.24÷(3-1)=
25.12(cm3) 分析与解:本题给出的立体图形不是圆柱,也
圆锥的高h=25.12×3÷(3.14×22)= 不是圆锥,不能直接求其体积。但是,拼上一
6(cm) 个相同的立体图形,“补形”后就得到一个相
答:这个圆锥的高是6厘米。 同的圆柱(见上右图)。容易看出,所求的图
反思提升:圆锥的体积是与它等底等高的圆 形的体积是圆柱体积的一半,为:
1
柱体积的 。由此出发,可以得到多个不同 (10)23 3.14× (2 ×14+18)÷2=1256(cm
3)
的结论,应用于不同的问题情境。 反思提升:对于不规则的图形,通常用“分割
【举一反三】 法”把它变成几个规则图形,或用“补形法”把
1.(重 庆)一个圆锥,底面圆的周长是 它变成一个或多个规则图形,使问题得解。
12.56cm,高是9cm,它的体积是( ) 【举一反三】
cm3,与 它 等 底 等 高 的 圆 柱 的 体 积 是 1.如图,四边形ABCD 是直角梯形,以
( )cm3。 AB 为轴将梯形旋转一周,得到一个立体图
2.(南京)从一个棱长6cm的正方体的 形,它的体积是( )立方厘米。
底面向内挖去一个最大的圆锥,剩下的体积
是( )立方厘米。
3.(南阳)一个下面是圆柱、上面是圆锥的
容器(如图,单位:厘米),圆柱的高是10厘米,
圆锥的高是6厘米,容器内的液面高是7厘米。 2.如图,一段木材长4m,横截面是直角
当将这个容器倒过来放时,从圆锥的尖到液面 三角形,三条边的长度分别是6cm、8cm 和
118
10cm。求这根木材的体积和表面积。 体积占瓶子容积的几分之几。
3.(厦门)如图,一个拧紧瓶盖的瓶子里
装有一些水,根据图中的数据,计算瓶中水的
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(宿州)如图所示的长方体是由( )个棱长为1厘米的正方体搭成的。将这个立体
图形放在墙角处,其中有三面露出的正方体有( )个,有两面露出的正方体有( )
个,只有一面露出的正方体有( )个,露在外面的面积是( )平方厘米。
2.(海安)乐乐把黑、白两种棋子叠成了几堆,下面是分别从上面、前面和左面观察到的图
形。这几堆棋子一共有( )枚。
3.(溧阳)下面的两个物体都是由棱长为1厘米的正方体搭成的。①号物体的表面积可以
这样算:(7+4+6)×2(算式中7,4和6分别是从正面、上面和侧面观察的小正方形个数),用
①号物体表面积的求法求②号物体的表面积,可以列式为( )(写出算式)。
4.把一个长9分米、宽6分米、高2分米的长方体木块锯成棱长为2分米的正方体,最多
可锯成( )个,若把这些正方体木块紧挨着排成一排,则占地( )平方分米。
5.(仙桃)如图,在水深5dm、棱长10dm的正方体水箱中,把一块长5dm、宽4dm、高5dm
的长方体铁块浸没水中后,水深为( )dm。
119
6.(泰州)小明有5根3厘米、9根7厘米的小棒,用其中的12根搭了一个长方体,这个长
方体的体积是( )立方厘米。
7.(淮安)一根自来水管的内直径是20毫米。如果水流的速度是0.8米/秒,一名同学去
水池洗手,走时忘记关水龙头,5分钟浪费( )升水。
8.(绍兴)如图,圆锥形容器中装有2升水,水面高度正好是圆锥高度的一半,这个容器最
多还可以装( )升水。
二、仔细推敲,准确判断。
1.一个圆柱的底面圆的直径是d,高也是d,它的侧面展开图是正方形。 ( )
2.一个正方体的棱长和为24厘米,则它的体积是8立方厘米。 ( )
3.用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体,至少要用8个。 ( )
4.用两张同样大小的长方形纸围成的圆柱,体积一定相等。 ( )
5.一个圆柱的底面直径扩大到原来的3倍,高也扩大到原来的3倍,则它的体积扩大到原
来的9倍。 ( )
6.两个正方体棱长的比是2∶1,则表面积的比是4∶1,体积的比是6∶1。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(南通)右图是一个正方体的展开图。原来这个正方体相对的两个面上的
数相乘,乘积最大的是( )。
A.30 B.18 C.15 D.12
2.(泉州)下面的几何体作为塞子,既能塞住甲中空洞,又能塞住乙中空洞的是( )。
120
3.(南京)一个长是3厘米、宽与高都是2厘米的长方体,将它挖掉一个棱长1
厘米的小正方体(如图),它的表面积( )。
A.比原来大 B.比原来小
C.不变 D.无法确定
4.(通州)把20本练习本摞成一个长方体,再把这摞练习本均匀斜放(如图),前面就变成
了一个近似的平行四边形。下列要素发生变化的是( )。
A.前面的面积 B.前面的周长 C.高 D.体积
5.(唐山)一个圆柱形物品,它的底面周长是24cm,高是18cm,这个圆柱形物品可能是
( )。
A.保温杯 B.电线杆 C.铅笔 D.粮囤
6.(潍坊)圆柱、圆锥、正方体和长方体的底面周长和高都相等,( )的体积最大。
A.圆柱 B.圆锥 C.正方体 D.长方体
四、运用知识,解决问题。
1.(遵义)学校要粉刷一间教室(地板不刷),已知教室的长是8米,宽是6米,高是3米,门
窗的面积是12平方米。如果每平方米需要花4元涂料费,那么粉刷这间教室买涂料要花多
少钱
2.(南通)有一个花坛,高0.5米,底面是边长为1.2米的正方形。四周用砖砌成,砖墙的
厚度是0.2米,中间填满泥土,花坛里大约有泥土多少立方米
121
3.(南通)河里漂浮着一根长3米、横截面直径是40厘米的圆柱形木头,正好有一半露出
水面。
(1)这根木头与水接触的面积是多少平方米(结果保留π)
(2)如果把这根木头削成一个最大的圆锥,圆锥的体积是多少立方米(结果保留π)
4.(泰兴)陀螺是小学生非常喜欢的一种玩具,它的上面是圆柱,下面是圆锥。如图,圆柱
的底面直径和高都是6厘米,圆锥的高与圆柱的高之比为2∶3。
(1)这个陀螺的体积是多少立方厘米
(2)如果给这个陀螺制作一个长方体形状的包装盒,至少需要包装纸多少平方厘米 (接
头处忽略不计)
培 优 提 升 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(海安)一个正方体木块,各个面上分别写上A,B,C,D,E,F 这六个字母,A 的对面是
F,B 的对面是E,C 的对面是D。这个木块如图放置后按箭头所示方向滚动,滚动到最后一格
时,木块上方是( )。
A.字母A B.字母B C.字母C D.字母F
122
2.(海安)下图是一个长方体的展开图,这个长方体的表面积是( ),体积是( )。
3.(海安)如下图,有A,B两个底面积相等的容器,A容器盛满水,如果将水全部倒入B容
器,水面距离B容器口( )厘米。
4.(中山)中国古代有许多发明令人赞叹,如:日晷、沙漏等计时工具。小斌参加课外兴趣
小组,制作了如图所示的简易滴水计时器。经过测量,上方漏斗形容器每分钟滴水80滴(20
滴水约为1毫升),下方为圆柱形透明容器。小斌于10:00测得下方容器中水面高度为2厘米,
经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米,那么此时时间大约是( )(π取近似
值3)。
5.(丹阳)一只装有水的长方体玻璃杯,底面积是60平方厘米,水深8厘米。现将一个底
面积是12平方厘米的圆柱形铁块竖放入水中后,水未溢出且仍有一部分铁块露在水面上,现
在水深( )厘米。
6.(绍兴)有这样一个长方形ABCD,BC=6厘米,AB=10厘米,已知AC,BD 相交于点
O,如果图中的阴影部分以CD 所在的直线为轴旋转一周,那么阴影部分扫出的立体图形的体
积是( )立方厘米。
123
二、仔细推敲,准确判断。
1.一个长、宽、高分别是10cm、8cm、7cm的长方体可以从边长是8cm的正方形洞中漏下
去。 ( )
2.长方体由6个长方形组成。 ( )
3.容积是50升的油箱,体积比50立方分米大。 ( )
4.圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积大
2。 ( )
3
5.等底等高的圆锥的体积比圆柱体积小2倍。 ( )
6.将图中的展开图折叠成正方体后,点B 和点F 重合。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(南通)一些同样大小的纸箱堆放在墙角(如图)。给这些箱子露在外面的面上都涂上
颜色,一共要涂( )个面。
A.24 B.23 C.22 D.21
2.(重庆)工厂要将一批长方体木块原料切割成长方体小积木。如下图,这样的一块长方
体木块原料最多可以切割出( )块小积木(不能拼接)。
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(厦门)下面四个图形体积之间分别有什么关系 下列说法中正确的是 ( )。
①甲=乙×3 ②乙=丙 ③乙=丁×2 ④甲=丁×12
A.①③ B.①②③ C.③④ D.①②④
124
4.(江阴)欢欢身高一米,在儿童乐园中有一个正方体大型玩具屋,试估计该大型玩具屋
的体积是( )。
A.8立方米 B.16立方米
C.27立方米 D.64立方米
5.(保定)一个圆柱和一个圆锥,底面圆的半径的比是2∶3,它们体积的比是1∶1,圆柱与
圆锥高的最简整数比是( )。
A.3∶4 B.4∶3 C.4∶9 D.2∶3
6.在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形,恰好围成一个圆锥模型(如图)。如果圆的半
径为r,扇形的半径为R,那么R 是r的( )。
A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.6倍
四、运用知识,解决问题。
1.(徐州)有甲、乙两块形状不同的铁皮,现将每块铁皮(无剩余)分别沿虚线折弯后焊接
成一个无盖且底面是正方形的长方体铁桶,哪个铁桶装水多一些 请通过计算说明。
2.(西安)A 和B 都是高度为12厘米的圆柱形容器,底面圆的半径分别是1厘米和2厘
米,一水龙头单独向容器A 注水,1分钟注满。现将两容器在它们高度的一半处用一根细管连
通(连通管的容积忽略不计),仍用该水龙头向容器A 注水。
(1)2分钟时,容器A 中的水有多高
(2)3分钟时,容器A 中的水有多高
1253.如图所示。(答案不唯一)
专题七 立体图形
1.立体图形的认识
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.√ 2.C
3.C 解析:捆扎用的丝带长度包含2条长、2条宽、4条高和接头处。
列式为:(30+20)×2+18×4+25=197(cm)。在实际捆扎过程中,应多准备一些丝带比
较合理,故选C。
例2 举一反三
1.圆柱 2.
2.观察物体
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.A
2.上面看到的: 左面看到的:
例2 举一反三
1.C 2.C 3.B
例3 举一反三
1.5 7 2.22 右 7 3.B
3.立体图形的表面积与体积
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.D 2.C 3.如图所示:
例2 举一反三
1.52 2.A 解析:分别补上缺的一块,得到两个相同的长方体。与这个长方体的表面积
做比较,甲比它多2个小正方形的面积,乙的面积与之相同,故甲的表面积大。 3.C
例3 举一反三
1.196 解析:底面周长=84÷3=28(平方厘米),底面边长=28÷4=7(厘米),长方体体
积=7×7×(7-3)=196(立方厘米) 2.20 3.C 解析:30=5×6,35=5×7,210=5×6×
7,故底面长方形的两边长分别是6厘米和7厘米。即涂色部分面积为6×7=42(平方厘米)。
例4 举一反三
1.28.26 解析:底面半径r=6÷2=3(厘米),根据等腰直角三角形的对称性,圆锥的高
213
与底面半径相等。故 1V= ×3.14×32×3=28.26(立方厘米)。3
2.3.14×(60÷2)2+3.14×60×5+3.14×40×5=4396(平方厘米) 4396×0.5=2198
(克) 解析:小圆柱的上底面面积与大圆柱上底面上的圆环面积之和,等于大圆柱的上底面
面积。
3.(1)120×80-30×30×4=6000(cm2) (2)120-30×2=60(cm) 80-30×2=
20(cm) 60×20×30=36000(cm3)
例5 举一反三
1.37.68 113.04 2.159.48
3.11 解析:题图中,高为6厘米的圆锥的体积与其等底面积高为6÷3=2(厘米)的圆柱
体积相等。故容器倒置后,圆柱部分的液面高要下降2厘米。这样,从圆锥的尖到液面的高
为:(7-2)+6=11(厘米)。
例6 举一反三
1.113.04 2.体积为:6×8×400÷2=9600(cm3)
表面积为:(6+8+10)×400+6×8=9648(cm2)
解析:再用一段相同的木材拼上去,可得一个长、宽、高分别为8cm、6cm、400cm的长方
体。原来木材的体积是这个长方体体积的一半。木材的表面积是三个长方形的面积与两个直
角三角形面积的和。两个直角三角形刚好可以拼成一个长方形。
2
3. 解析:无论正放还是倒置,水的截面大小不变。故水的体积与其高度成正比。瓶子3
的容积=水的体积+空白部分的体积。因为瓶高21厘米,瓶子倒置后,水的高度是15厘米,
那么上部空白部分的高是21-15=6(厘米)。而瓶子正放时,水的高度是12厘米,由此可以
求出,瓶中水的体积占瓶子容积的 12 2。
12+6=3
【预设考题精粹】
一、1.12 1 4 5 16 2.13 3.(6+5+5)×2 4.12 48 5.6 解析:铁块浸没水中后,水
面上升的高度为5×4×5÷(10×10)=1(dm),水深为5+1=6(dm)。6.147 7.75.36 8.14
解析:大圆锥的高和底面半径都是小圆锥的2倍,它的体积就是小圆锥的2×2×2=8倍。故
空白部分的体积就是2升的8-1=7倍,是14升。
二、1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.×
三、1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A
四、1.8×6+(8×3+6×3)×2-12=120(平方米) 120×4=480(元)
2.1.2-0.2×2=0.8 0.8×0.8×0.5=0.32(立方米)
3.(1)40厘米=0.4米 π×(0.4÷2)2+π×0.4×3÷2=0.64π(平方米) 解析:圆柱与水
接触的面积是圆柱表面积的一半。 (2)
1
3×π×
(0.4÷2)2×3=0.04π(立方米)
() ( )2 ( )2 ( 2) 14.13.14× 6÷2 ×6+3.14× 6÷2 × 6× × (立方厘米)3 3=207.24
() 226+6× =10(厘米)3 6×10×4+6×6×2=312
(平方厘米)
【培优提升精粹】
一、1.C 2.900cm2 1800cm3 3.8 解析:高24厘米的圆锥与其等底面积高是24÷3=
8(厘米)的圆柱体积相等。故圆柱部分的水深是20-8=12(厘米),水面距离B容器口20-12
214
=8(厘米)。 4.15∶00 解析:这段时间滴水的体积为3×(20÷2)2×(6-2)=1200(毫
升)。每分钟滴水的体积为80÷20=4(毫升),经过的时间为1200÷4=300(分钟),300分钟
=5小时,最终时刻为10+5=15(时)。 5.10 6.565.2 解析:将长方形进行旋
转,旋转后的立体图形是圆柱。根据对称性(如图所示),阴影部分旋转后的体积与空
白部分旋转后的体积相等。所以,阴影部分的体积就是圆柱体积的一半。圆柱的体
积是3.14×62×10=1130.4(立方厘米);阴影部分的体积是1130.4÷2=565.2(立方
厘米)。
二、1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.× 解析:B 与E 重合。
三、1.C 2.C 3.D 4.A 5.A 解析:假设圆柱、圆锥的底面积分别是4和9,它们的体积
都是36,则圆柱的高为36÷4=9,圆锥的高为36×3÷9=12,高的比为9∶12=3∶4。 6.C
解析:
1
4×2πR=2πr R=4r
四、1.甲铁桶:120÷4=30(cm) 80-30=50(cm) 30×30×50=45000(cm3)
乙铁桶:160÷4=40(cm) 70-40=30(cm) 40×40×30=48000(cm3)
45000<48000,乙铁桶装水多一些。
2.(1)容器B 的底面圆的半径是A 的2倍,它们的高相等,容器B 的体积就是A 的4倍。
因此,单独注满容器B 需要4分钟。同时注满A,B 需要1+4=5(分钟),两容器都注到一半
高度需要5÷2=2.5(分钟)。由于2<2.5,所以注水2分钟时,容器B 中的水未达一半高度,
故容器A 中的水面高度为容器A 的高度的一半,是12÷2=6(厘米)。
(2)2.5分钟以后,容器A,B 中的水位是同时上升的。3-2.5=0.5(分钟)。0.5分钟水面
上升12×(0.5÷5)=1.2(厘米),故3分钟时容器A 中的水面高度为6+1.2=7.2(厘米)。
专题八 图形的变换
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.B 2.B 3.A
例2 举一反三
1.逆 90 9 下 3
2.如图所示: 3.如图所示:
【预设考题精粹】
一、1.平移 旋转 大小 形状 2.顺时针 逆时针 3.2 4 无数 4.5 5.1256
二、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√
三、1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D
四、1.如图所示:
2.(1)6 (2)答案不唯一,如图所示 (3)答案不唯一,如图所示 (4)4∶1
215
