20的最小公倍数是120,那么,这条长凳最短是120厘米。
2.因为18=1×18=2×9=3×6,所以18有6个因数,即[18]=6。因为22=1×22=2×
11,所以22有4个因数,即[22]=4。因为7=1×7,所以7有2个因数,即[7]=2。所以([18]
+[22])÷[7]=(6+4)÷2=5。
3.不能。29是奇数,开始29个水杯杯口全部朝上。第一次翻动4个,杯口朝上的剩下25
个,仍是奇数。以后每次翻动其中4个,共有这样五种情况:(1)四上变四下,这时,杯口朝上的
减少4个,剩下杯口朝上的个数仍是奇数。(2)三上变三下,一下变一上。这时,杯口朝上的减
少2个,剩下的杯口朝上的个数仍是奇数。(3)二上变二下,二下变二上。这时,杯口朝上的个
数没有变化,仍是奇数。(4)一上变一下,三下变三上。这时,杯口朝上的增加2个,杯口朝上
的个数仍是奇数。(5)四下变四上。这时,杯口朝上的增加4个,杯口朝上的个数仍是奇数。
由此看来,杯口朝上的水杯不可能变成0个。即:无论经过多少次翻动,都不能使所有杯口
朝下。
专题二 数的运算
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.增加10 2.5 3.36.36 4.A
例2 举一反三
1.0.2 223 2.C 3.C 4.B
例3 举一反三
1
1.3 2.77 3.5
例4 举一反三
5 4
1.08 35 3.8 31.5 3 9
例5 举一反三
1.C
49 12
2.1000 15 7800 730 70.9 45 81 17
63
解析:因为
1 1 1 1 1 127
+ + +…+ =1- = ,所以原式
127 1 63
128 2 4 8 128 128 128 =128-2=128
6 解析:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 2+6+12+20+30+42= (1-2 )+ (2-3 )+ (3-4 )+ (4-5 )+ (5-6 )
+ (1 1 1 66-7)=1-7=7
3.288 664 9802 26000 2300 0.8
例6 举一反三
1.1000 500 80 90 2.B 3.B
【预设考题精粹】
一、1.12.6 450 280 2.23或46 解析:251-21=230,除数是230的因数,并且要比余数
21大,可能是23,也可能是46。 3.975 23 60 150 4.b
5.18 解析:2※3=3×2+4×3=18 6.(1)2+2×9+4=24 (2)5×6-1-5=24
201
(3)答案不唯一。例如:(10-3-3)×6=24 (4)8×9÷(10-7)=24
二、1.× 2.× 3.× 4.× 5.×
三、1.A 2.C 3.B 4.A 解析:M=2234×3211=2231×3211+3×3211,N=2231×
3211+2231×3,3×3211>2231×3,故 M>N。 5.D 6.D 7.C 8.C 解析:三件奖品,
已知两件的总价为15+10=25(元)。由题意,第三件奖品的价钱在10~15元之间,这样三件
奖品的总价就在25+10=35(元)与25+15=40(元)之间。
四、 7 15 1 281.20 14.55 0.647 2740 9 60 1 64 2 25
2.2 解析:“余数相同、商比原来多了6”,说明182-128=54相当于6个除数,故除数是
54÷6=9。128÷9=14……2,所以余数为2。
【培优提升精粹】
一、1.0.8181……解析:被除数是几,循环节就是9的几倍。
2.(1)[584- (5.8×17+7.8) ]÷0.02 (2)[ (584-5.8)×17+7.8]÷0.02
解析:a b 7a+4b 273.6 + = = ,7a+4b=27,根据a,b都是非0自然数,a 只能取1,这4 7 28 28
时b=5。故a+b=6。
4.5 解析:直接算出结果比较繁,可以用“放缩法”确定算式的整数部分。
8.03×(0.22+0.23+0.24)=8.03×0.69≈5.6,8×(0.22+0.23+0.24)=8×0.69=5.52,
所以算式的结果是5点几,其整数部分为5。
5.26.92 解析:13个自然数的和一定是整数。由题意知,26.85≤平均值≤26.94,这样26.85
×13≤平均值×13≤26.94×13。26.85×13=349.05,26.94×13=350.22,349.05与350.22之间
的整数只有350,故这13个自然数的和是350。350÷13≈26.92。
二、1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√
三、1.B 解析:由6×8=48得积的末位是8,据此排除C。3.26<4,2.8<3,3.26×2.8的积应
小于4×3=12,据此排除A。故本题选B。
2.C 解析:不考虑小数点,因为45=5×9,所以各选项的小数点去掉以后应是9的倍数,
即各数字之和是9的倍数,只有C符合这一条件。
3.C 解析:由图可知,t约为2.5,m,n 都比1小,且n 大约是m 的2倍。于是,m+n<
2,m×n<1,n÷m≈2,故n÷m 与t最接近。
4.C A 解析:a+b的和就在25+10与50+20之间,即a+b的和在35~70之间。a
的最小值减去b的最大值得到的a-b最小,a 的最大值减去b的最小值得到的a-b最大,故
a-b的差在25-20与50-10之间,即a-b的最小值在5~40之间。
5.D 解析: 2的首位至少是1,故3 8× 2的得数至少是3000多,这样A,C可
以排除。而40296的前三位402比3 8大,故40296÷3 8,商的首位在百位上,商也是
三位数,不可能是 2,这样B也排除。剩下的D符合题意。
6.C 解析:由题意,4b2-2=34,于是b2=9。因为3×3=9,所以b=3。根据4a+3b=
17,解得a=2。故明文为(2,3)。
四、1.(1)9+99+999+9999=10+100+1000+10000-4=11110-4=11106
(2)1111×6666+7778×3333=2222×3333+7778×3333=(2222+7778)×3333=3333
×10000=33330000
202
(3)246×468÷(
246×468
123×234)=123×234=4
(4)198×199199-199×198198=198×199×1001-199×198×1001=0
()1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6 1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6 152.2+4.4+6.6+8.8+11+13.2=2×(1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6)=2
()(4 1 4 2 2 5 16 7×9×11 46 7×9×11)÷ (11×7×9)=7×9×11× 20 =5
()1×2×3+3×6×9+9×18×27 1×2×3×
(1+3×3×3+9×9×9)
72×4×6+4×8×12+8×16×24=2×4×6×(1+2×2×2+4×4×4)
1+27+729 757
=8×(1+8+64)=584
()1 1 1 1 185×7+7×9+9×11+11×13+13×15
1 é
= × ê (1 1) (1 12 ê 5-7 + 7-9)+ (
1 1 ) (1 1 1 1 ù 1 1 1 19-11 + 11-13)+ ( ú 13-15) ú=2× (5-15)= 15
2.由12@x=52得,[12,x]+(12,x)=52,显然 [12,x]<52。故 [12,x] 可能取12,24,
36,48。又因为(12,x)≤12,所以 [12,x]≥40。于是[12,x]=48。这样,就有(12,x)=52-
48=4。由12x=48×4得,x=16。
专题三 式与方程
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.πb2 2πb 2.D 3.B 解析:在两位数的右边放一个数字5变成三位数后,原来的两
位数扩大为原来的10倍。
例2 举一反三
1.D 2.3a+1.8 9
3.3n+50 乙 解析:到甲公司应聘,每天可得工资(3n+50)元。而到乙公司应聘,每天
可得工资5n 元。由3n+50=5n,解得n=25。即如果每天送25桶纯净水,应聘甲、乙两个公
司的收入是一样的,但是,当n>25时,每多送一桶水,应聘甲公司,只能多得3元,应聘乙公
司,就多得5元。故当n>25时,去乙公司应聘比较合算。
例3 举一反三
1.B 2.(1)24-a (2)由题意,12×3-a=20,解得a=16。15×3-16=29,故输出的
结果是29。
例4 举一反三
1.C 解析:设上、下山的路程都为s。则上、下山的平均速度为:
总路程÷总时间
s s 2ab
=2s÷ ( 。a+b )=a+b
2.设abcde五位数为x。则1abcde=100000+x,abcde1=10x+1。根据题意得:
(100000+x)×3=10x+1,解得x=42857。故原数为142857。
设1 1 1 1 1 1 13. 2+3+4=a
, 。
2+3+4+5=b
203专题二 数的运算
教 材 知 识 精 粹
一、四则运算的意义 是说,小 学 阶 段,通 常 不 讨 论 负 数 参 与 的
注意:讨论数的运算时,小学阶段通常是 运算。
在非负数(即零和正数)范围内进行的。也就
1.加法的意义
定 义 算式表示 符号表示
把两个数合并成一个数的运算叫 a+b=c。其中,a 和b都是加数,c
加数+加数=和
做加法。 是和。
2.减法的意义
定 义 算式表示 符号表示
已知两个加数的和与其中一个加
a-b=c。其中,a 是被减数,b 是
数,求 另 一 个 加 数 的 运 算 叫 做 被减数-减数=差
减数,c是差。
减法。
3.乘法的意义
(1)意义
类 别 定 义 举 例
表示求几个相同加数的和的简便 2+2+2写成乘法算式是2×3。
一个数乘整数
运算。 2×3表示求3个2的和是多少。
表示求这个数的十分之几、百分
一个数乘小数 表示求 的412×0.4 12 是多少。
之几、千分之几……是多少。 10
表示 求 这 个 数 的 几 分 之 几 是
一个数乘分数 1 112× 表示求2 12
的 是多少。
多少。 2
(2)算式表示:因数×因数=积。 (3)符号表示:a÷b=c(b≠0)。其中,
(3)符号表示:a×b=c。其中a 和b a 是被除数,b是除数,c是商。
都是因数,c是积。 5.有余数的除法
4.除法的意义 (1)定义:被除数和除数都是整数的除
(1)定义:已知两个因数的积与其中一 法,相除的结果余数不为0,称为有余数的
个因数,求另一个因数的运算叫做除法。 除法。例如,15÷7=2……1是有余数的
(2)算式表示:被除数÷除数=商。注 除法。
意,在除法算式中,除数不能为0。 注意:①这里的商称为不完全商;②余
032
数要比除数小。即除数至少要比余数大1。 由此可见,加法与减法互为逆运算。根
(2)算式表示:被除数÷除数=商…… 据加、减法各部分之间的关系,可以检验计
余数。 算结果是否正确。
(3)符号表示:a÷b=q……r(b≠0)。 4.加、减法的验算
其中,a 是被除数,b是除数,q是不完全商, 对加法进行验算有两种方法:(1)交换
r是余数。 加数的位置再加一遍;(2)根据加、减法各部
6.乘方 分之间的关系,用“和-一个加数”,看是否
(1)定义:求几个相同因数的积的运算 等于“另一个加数”。如果相等,则原来的计
叫做乘方。例如,4×4可以写成42,4×4× 算正确。
4可 以 写 成43。注 意:四 则 运 算 不 包 括
对减法进行验算,通常用“差+减数”或
乘方。
者“减数+差”,看是否等于“被减数”。如果
(2)符号表示:a×a×…a=an。在an
相等,则原来的计算正确。
中,a 叫做底数,n 叫做指数。
() :2 ,3 5.乘、除法各部分之间的关系3 读法 4读作4的平方 4读作4的
三次方或4的立方。一般地,an 读作a 的n 因数×因数=积 ü
次方。 被除数÷除数=商
二、四则运算各部分之间的关系
ì一个因数=积÷另一个因数
1.四则运算
í被除数=商×除数
加法、减法、乘法、除法统称为四则运 除数=被除数÷商
算。其中,加法和减法统称为第一级运算,
由此可见,乘法与除法互为逆运算。根
乘法和除法统称为第二级运算。注意:乘方
据乘、除法各部分之间的关系,可以检验计
不属于四则运算。乘方是第三级运算。
算结果是否正确。
2.同级运算
乘、除法的验算
加法与减法称为同级运算。 ,
6.
同理 乘法
对乘法进行验算有两种方法:(1)交换
与除法也称为同级运算。
因数的位置再乘一遍;(2)根据乘、、 除法各部3.加 减法各部分之间的关系
分之间的关系,用“积÷一个因数”,看是否
等于“另一个因数”。如果相等,则原来的计
算正确。
对除法进行验算,通常用“商×除数”或
者“除数×商”,看是否等于“被除数”。如果
加数+加数=和 ü 相等,则原来的计算正确。
被减数-减数=差 7.有余数除法各部分之间的关系
ì一个加数=和-另一个加数 ì 被除数=商×除数+余数
被除数÷除数
í被减数=差+减数 í除数=(被除数-余数)÷商
=商……余数
减数=被减数-差 商=(被除数-余数)÷除数
033
根据有余数除法各部分之间的关系,可 仅可以用来对四则运算进行验算,还可以根
以检验计算结果是否正确。 据它来解方程。
说明:四则运算各部分之间的关系,不
三、四则运算的计算法则
1.加、减法的计算法则
(1)相同数位对齐;(2)从低位算起;(3)加法中,哪一位上的数相加满几十,就向前一位进几;
整数
减法中,哪一位上的数不够减,就从它的前一位借一当十,和本位上的数合并在一起,再减。
(1)相同数位对齐(也就是小数点对齐);(2)从低位算起;(3)按整数加、减法的法则计算;
小数 (4)结果中的小数点和相加减的数里的小数点对齐。注意:得数的小数部分的末尾有0的,一
般要把0去掉。
(1)同分母分数相加减,分母不变,分子相加减;(2)异分母分数相加减,先通分,再计算;(3)带
分数 分数相加减,整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。注意:结果能约分的
要约分。
注意:计算异分母分数加、减法,因为它们的分数单位不相同,不能直接相加、减。通过通
分,把它们的分数单位化相同后,就可以相加或者相减了。
2.乘法的计算法则
(1)从个位起,依次用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数;(2)用第二个因数哪一位上
整数
的数去乘,得数的末位就和那一位对齐;(3)最后把几次乘得的数加起来。
(1)按整数乘法的法则算出积;(2)看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上
小数
小数点。注意:得数的小数部分末尾有0的,一般要把0去掉。
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母,所得的积一般要化成最简分数。
分数 做分数乘法时要注意:(1)要把整数看作分母是1的假分数;(2)要把带分数先化成假分数;
(3)能约分的先约分再乘比较简便。
3.除法的计算法则
(1)整数除法的计算法则
从被除数的最高位除起,除数有几位,就用除数试除被除数的前几位。如果前几位比除数
小,那么就要多看一位。除到被除数的哪一位,就在那一位上面写商,每次除后余下的数必须
比除数小。
(2)小数除法的计算法则
除数是整数 除数是小数
按照整数除法的计算法则计算。商的小数点要和 先看除数中有几位小数,就把除数和被除数的小数点
被除数的小数点对齐,如果除到被除数的末尾仍 同时向右移动几位,位数不够的用0补足,然后按照除
有余数,那么就在余数后面补0,继续除。 数是整数的小数除法来计算。
注意:①竖式计算小数除法时,根据商不变的性质,被除数小数点移动的位数一定要和除
034
数的相同,而不是把两者的小数点都直接去掉;②除不尽时,通常根据题目要求取近似值。先
除到比要求的小数位数多一位,再用四舍五入法取近似值。
(3)分数除法的计算法则
用被除数的分母与除数的分子之积作分母,用被除数的分子与除数的分母之积作分子。
也可以看成:甲数÷乙数(0除外)=甲数×乙数的倒数。
4.与0和1有关的一些运算结论
(1)与0有关的
①加法:a+0=a 0+a=a 0+0=0
②减法:a-0=a a-a=0 0-0=0
③乘法:a×0=0 0×a=0 0×0=0
④除法:0÷a=0(a≠0)
(2)与1有关的
①乘法:a×1=a 1×a=a 1×1=1
②除法:a÷1=a a÷a=1(a≠0)
1
1÷a= (a a≠0
)
四、四则混合运算的顺序
1.没有括号的
在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次运算;如果含有两级
运算,要先算第二级运算,后算第一级运算。
特别地,连加法、连减法、连乘法、连除法,都是从左往右,依次运算。
2.有括号的
在有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。
说明:在没有括号的算式中,如果加、减号的两边是乘法和除法,那么乘法和除法可以同时
计算;如果算式中有两个小括号,那么两个括号里面的也可以同时计算。
五、运算定律及运算性质
1.运算定律
名称 文字描述 符号表示 举例
两个数相加,交换两个加数的位置,
交换律 a+b=b+a 10+20=20+10
它们的和不变。
加
法 三个数相加,先把前两个数相加,再加
(a+b)+c=a+(b+ (386+47)+153=386+
结合律 上第三个数,或者先把后两个数相加,
c) (47+153)
再和第一个数相加,它们的和不变。
035
续表
名称 文字描述 符号表示 举例
两个数相乘,交换两个因数的位置,
交换律 a×b=b×a 23×35=35×23
它们的积不变。
三个数相乘,先把前个数相乘,再乘
(a×b)×c=a×(b×
结合律 第三个数,或者先把后两个数相乘, (3×125.)×8=3×(125.×8)
乘 c)
再和第一个数相乘,它们的积不变。
法 (1)(25+0.25)×4=25×4
两个数的和与一个数相乘,可以先
(a+b)×c=a×c+ +0.25×4
分配律 把两个加数分别与这个数相乘,再
b×c (2)23×52+23×48=23×
把两个积相加。
(52+48)
说明:加法和乘法的运算律虽然都可以用来进行简便计算,但是它们各自的功能不一样。
加法和乘法的交换律的主要作用是交换位置,将可以简便计算的两个数放在一起;加法和乘法
的结合律主要作用是改变运算顺序,将可以简便计算的几个数结合起来先算。这些运算律对
于整数、小数、分数都适用。加法和乘法的交换律还可以用来对加法和乘法进行验算。
2.运算性质
名称 文字描述 符号表示 举例
从一个数里依次减去两个数,等 (1)17.5-5.7-1.3=17.5-(5.7+1.3)
减法 a-b-c=a-(b+c)
于这个数减去这两个数的和。 (2)17.5-(7.5+2.8)=17.5-7.5-2.8
的
运算 一个数减去两个数的差,等于这 (1)17.5-(7.5-2.8)=17.5-7.5+2.8
性质 个数先减去差里的被减数,再加 a-(b-c)=a-b+c (2)25.3-17.5+7.5=25.3-(17.5-
上减数。 7.5)
一个数连续除以两个数,等于这 a÷b÷c=a÷(b× (1)120÷0.8÷12.5=120÷(0.8×12.5)
除法
个数除以这两个数的积。 c)(b,c均不为0) (2)256÷(2.56×4)=256÷2.56÷4
的
运算 一个数除以两个数的商,等于这
a÷(b÷c)=a÷b×c (1)321÷(32.1÷3)=321÷32.1×3
性质 个数先除以商里的被除数,再乘
(b,c均不为0) (2)2.5÷12.5×5=2.5÷(12.5÷5)
除数。
注意:根据题目的结构特征和数据特点,合理运用运算定律和运算性质,可以改变题目原
来的运算顺序,使某些计算简便。
六、和、积、差、商的变化规律
文字描述 符号表示
(1)若一个加数加上(或减去)一个数,另一个 如果a+b=c,那么
加数不变,则和也随着加上(或减去)同一个 (1)(a+m)+b=c+m
和
数。(2)若一个加数加上一个数,另一个加数 (a-m)+b=c-m
减去同一个数,则和不变。 (2)(a+m)+(b-m)=c
036
续表
文字描述 符号表示
(1)若一个因数乘(或除以)一个不为0的数, 如果a×b=c,m≠0,那么
另一个因数不变,则积也随着乘(或除以)这 (1)(a×m)×b=c×m
积
个数。(2)若一个因数乘一个不为0的数,另 (a÷m)×b=c÷m
一个因数除以同一个数,则积不变。 (2)(a×m)×(b÷m)=c
(1)若被减数加上(或减去)一个数,减数不
变,则差也随着加上(或 减 去)同 一 个 数。 如果a-b=c,那么
(2)若被减数不变,减数加上(或减去)一个 (1)(a±m)-b=c±m
差
数,则差反而减去(或加上)同一个数。(3)若 (2)a-(b±m)=c m
被减数和减数同时加上(或减去)同一个数, (3)(a±m)-(b±m)=c
它们的差不变。
如果a÷b=c,m≠0,那么
(1)若被除数乘(或除以)一个不为0的数,除
(1)(a×m)÷b=c×m
数不变,则商也随着乘(或 除 以)这 个 数。
(a÷m)÷b=c÷m
(2)若被除数不变,除数乘(或除以)一个不为
商 (2)a÷(b×m)=c÷m
0的数,则商反而除以(或乘)这个数。(3)若
a÷(b÷m)=c×m
被除数和除数同时乘(或除以)同一个不为0
(3)(a×m)÷(b×m)=c
的数,商不变。
(a÷m)÷(b÷m)=c
注意:在有余数的除法算式里,被除数 算的验算;(3)对现实生活中一些量的简单
和除数同时乘(或除以)n(n ≠0),商不变, 推算。
但余数也相应地乘(或除以)n。例如,13÷ 3.估算方法
5=2……3。列竖式计算130÷50时,利用 估算方法有四舍五入法、进一法(大估
商不变的性质可看成13÷5,此时商不变, 法)、去尾法(小估法)、凑整法等。具体采用
1 哪种方法,由实际问题而定。仍是2,但余数缩小到原来的 ,所以10 130÷ (1)对整数四则运算的结果进行估算
50的余数应该是13÷5的余数扩大到原来 时,可以把其中的一个或两个数看成与原数
的10倍,为3×10=30。事实上,130÷50 接近的整十数、整百数、整千数……进行口
的余数也可用130-50×2求出,是30。 算。例如,983+402,将两个加数分别看成
七、估算 1000和400,结果大约是1400。
1.估算的意义 (2)对小数、分数四则运算的结果进行
估算是相对于精确计算而言的,估算的 估算时,可以把其中的一个或两个数看成与
本质是根据实际问题的需要,对事物的数量 原数接近的整数进行口算。例如,估算5.8×
或计算的结果进行大致推算。 3.2,将5.8和3.2分别看成6和3,结果大约
2.估算的内容 是18。
(1)对大数目的粗略计算;(2)对日常口 (3)对整数四则运算的计算结果是否正
037
确进行检验,可以通过末位估算进行。例 此可以判断,原来的得数是错误的。
如,要判断2358+458-542=3358是否正 (4)整数乘、除法可以根据下面的结论
确,单算个位上的数:8+8=16,6-2=4,由 通过结果的位数进行估算。
结论1 m 位整数与n 位整数相乘,积是(m+n)位或(m+n-1)位。
结论2 m 位整数除以n 位整数(m≥n),商是(m-n)位或(m-n+1)位。
例如,计算456×204,积的位数应该是 除数的前两位。3882的前两位是38,够除,
六位或者五位,如果算出的结果是四位那就 所以商的首位在百位上,故商是三位数。计
错了。又如,要判断3882÷24=28是否正 算结果28肯定是错的。
确,可以这样想:除数24是两位数,先看被
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 2.两个数相除,商是15,如果被除数不
例1 (聊城)填空。 变,除数乘3,那么商是( )。
(1)两个加数的和是39,一个加数增加 3.(重庆)小马虎在计算一道小数减法
18,另一个加数减少10,现在的和是( )。 时,由于粗心,把被减数个位上的6错写成0,
(2)两个数的差是100,被减数的十位上 把减数百分位上的8错写成4,结果算出的差
减少5,减数增加2.5,现在的差是( )。 是30.4。这题正确的差应该是( )。
(3)两个数的积是60,一个因数缩小到 4.(都匀)在下面的算式中,与算式“2.5
1 ×7.6”结果相等的是( )。原来的 ,另一个因数扩大为原来的5倍,现10 A.25×0.76 B.0.25×760
在的积是( )。 C.0.25×0.76 D.250×0.76
(4)两个数相除,如果被除数扩大3倍, 【典型题分析】
要使商不变,除数应( )。 例2 5800除以60的商是96时,余数
分析:本题是利用和、差、积、商的变化规律 是( )。
解题。 分析:本题列竖式求余数有下列两种方法:
答案:(1)47 (2)47.5 (3)30 (4)扩大 ① 96 ② 96
3倍 60
5 800 60 5 800
反思提升:实际解题时,首先要分清是什么运 5 40 5 4
400 40
算,再看题中哪些部分没有变化、哪些部分有变
360 36
化,这种变化会产生什么影响,从而得出结论。 40 4
【举一反三】 由①容易得出余数是40。若由简便除
1.两个数相加,如果一个加数减少20, 式②,则容易误认为余数是4。其实,这里的
要 使 和 减 少 10,那 么 另 一 个 加 数 应 该 “4”在十位上,它就表示40。从另一角度看,
( )。 余数是被除数的一个部分,被除数和除数同
038
1 , , 数+3+10=143
。于是除数=(143-10-
时缩小为原来 后 商不变 但余数也缩小为
10 3-10)÷(3+1)=30。这样,被除数=30×
1
原来的 ,故余数4是580÷6的余数。要得 3+10=100。10
答案:100 30
到5800÷60的余数,就要将其扩大到580÷6
反思提升:有余数的除法中牵涉到四个量,
的余数的10倍,是40。另外,也可以通过“余
当这些量的关系比较复杂时,列出数量关系
数=被除数-商×除数”得到:余数=5800-
式进行分析较为简便。
96×60=40。 【举一反三】
答案:40
1.(黄冈)在有余数的除法算式24÷
反思提升:本题考查的角度有三:一是除法
=○……4中,商可以有( )种可能。
的意义,二是商不变的规律,三是有余数除法
被除数、除数、商与余数的和是 ,
各部分之间的关系。解题时, 2. 100如果从多角度
已知商是
, 。 12
,余数是5。被除数是( )。
思考 就可以把这些知识融会贯通
3.一个分数与它本身相加、相减、相除,【举一反三】
7
1.(宿 州)8.6÷1.2=7……( ), 所得 的 和、差、商 相 加 得 ,这 个 分 数 是5
( )÷16=13……15。 ( )。
2.已知200÷13=15……5,那么2除以 【典型题分析】
0.13商15时,余数是( )。 例4 脱式计算。(怎样简便就怎样算)
A.5 B.0.5 C.0.05 D.500
()7 81 × ÷1.7
3.(德州) ÷△=7……6, 最小是 4 5
( 1 )。 (2)6.12-4+0.38×0
A.41 B.48 C.55
() 1 1
4.(南京)在有余数的整数除法中,商是 313÷26× (2-3)
a,除数是b,且a,b均大于1,用含有字母的 (4)
éê 3 ù 1
ê2- (1- ) úú×
式子表示被除数,最大为( )。 4 7
: () , 、 ,
A.ab+a-1 B.ab+b-1 分析 第 1 题 只含有乘 除法 应从左往右
依次运算。第()题,含有减、加、乘三种运
C.ab+1 D.ab-1 2
【 】 算,按规定应先算乘法,再算减法,最后算加典型题分析
例3 (长沙)两个数相除,商是3,余数 法。计算“ 1 16.12- ”时,把 化成小数计算4 4
是10。若被除 数、除 数、商 和 余 数 的 和 是 比较简便。第(3)题,按规定,应该先算括号
143,则被除数是( ),除数是( )。 1 1
分析:由题意,被除数+除数+商+余数= 里面的。但“13÷26”与“ - ”同时脱式比2 3
143。而“商是3,余数是10”已经知道,根据 较简便。第(4)题,应该先算小括号里面的,
“被除数=商×除数+余数”可知,被除数= 再算中括号里面的,最后算括号外面的。
除数的3倍+10。故:除数的3倍+10+除
039
:() 7 8 62.5-198÷18×2.5解 1 4×5÷1.7
7 8 10
=4×5×17
28
=17
() 12 6.12-4+0.38×0
=6.12-0.25+0 3 7 1
4.8-
=5.87 8
÷16-7
( 1 13) 13÷26× (2-3)
1 1
=2×6
1
=12
( é ù 14) ê 3ê2- (1- ) ú× ( 4 ú 7 3.6-0.42÷0.7)×10.5
é ù
= ê 12- ú
1
ê 4ú× 7
7 1
=4×7
1
=4
反思提升:(1)计算乘、除法时,通常把小数
13 9 3 25
化成分数计算比较简便。(2)计算加、减法 (5+20÷4)×48
时,通常把分数化成小数计算比较简便。(3)
有些题目,打破常规,同时脱式计算并不影响
结果,反而更显灵活。(4)根据题目要求,能
简算的要简算。不能简算的,就按照正常的
顺序进行运算。
【举一反三】
用递等式计算。 8 éê
42÷35-0.12 9× ê (
1
+0.35) 6ù÷ ú
4 5 ú
040
【典型题分析】 简算。第(3)题,是100个整数连加。转化成
例5 简算下列各题。 同数连加可用乘法简算。第(4)题,表现上看
()(1 1) 无法简算。但是只要根据数据特点,把 拆1 - 534 6 ×24 成“52+1”,再利用68+32=100这一关系,
就可以简算了。
1 1
解:(1) (4-6)×24
1 1
=4×24-6×24
=6-4
(2)27.6÷4+12.4×25% =2
(2) 27.6÷4+12.4×25%
1 1
=27.6×4+12.4×4
=(
1
27.6+12.4)×4
1
=40×4
(3)1+2+3+…+100 =10
(3) 1+2+3+…+100
=(1+100)+(2+99)+(3+98)
+…+(50+51)
=101×50
=5050
(4) 68×52+32×53
(4)68×52+32×53 =68×52+32×(52+1)
=(68+32)×52+32
=100×52+32
=5232
反思提升:根据算式的结构特征和数据特
点,综合运用某些运算定律、运算性质,采用
拆分、合并、转化等手段,可使运算简便。实
分析:第(1)题,利用乘法分配律,可使计算
际解题时,要多动脑筋、仔细观察、认真分析,
1
简便。第(2)题,“÷4”可以转化为“× ”, 注意积累,4 才能不断提高解题能力
。
1 【举一反三】“25%”可以化成“ ”,故可逆用乘法分配律4 1.下面三幅图中,图( )可以用来表
041
示乘法结合律。 4.5×3.7+45%×13+4.5×5
2.计算下列各题,怎样简便就怎样算。 7 727×9÷27×9
12.5×3.2×25
2020 12
0.7+3.9+4.3+6.1 2021÷17×12+1÷2021×17
129×78-78×29 1 1 1 1
4+8+
…
16+ +128
3.65×99×2+7.3 1 1 1 1 1 1
2+6+12+20+30+42
7.09×10.8-8×0.709
042
3.简算下列各题。 1.8-1.6+1.4-1.2+1-0.8+0.6-0.4
178+188-78
823-(23+136) 【典型题分析】
例6 (唐山)在估算5.09×7.9时,误差
较小的是估算成( )。
A.6×8 B.5×8
C.6×7 D.5×7
分析:小数乘法的估算,通常把算式中的数
99×98+100 看成最接近它的整数,这样可以使误差较小。
本题中,5.09最接近整数5,7.9最接近整数
8,误差最小的算式是5×8。
答案:B
反思提升:估算题的类型比较多,要根据题
目的要求选择合适的方法。其目的很简单,
53×260+470×26 就是使误差最小。
【举一反三】
1.直接写出得数。
406+597≈ 602-108≈
7.99×9.99≈ 729÷7.9≈
( )估算 1 112.南通 5.9÷ -6 ,下面的算
23×97+69 3 12
式( )更为合适。
A.6×3-6 B.6×3-7
C.6÷3-7
3.(滨州)某体育场大约能容纳3万名观
众,在一次足球比赛中,上座率为68%。估
一估,大约有( )名观众在现场看比赛。
A.6800 B.20000
C.26000 D.28000
043
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(南昌)根据28×45=1260,写出下面各题的得数。
2.8×4.5=( ) 1260÷2.8=( ) 12.6÷0.045=( )
2.一个两位数去除251,得到的余数是21,这个两位数是( )。
3.(余杭)已知A÷B=60……15(A,B 为非0自然数),当B 为最小值时,A=( );
当A=1395时,B=( );当A 和B 都乘10后,商是( ),余数是( )。
4.(深圳)已知a,b,c都不为0,且
3
a÷1.3=b÷4=c×57%
,则a,b,c按从小到大的顺序
排列是( )。
5.(北京)我们已经学过加、减、乘、除这四种运算。现在规定一种新的运算,如果A※B=
3A+4B,比如7※5=3×7+4×5=21+20=41,那么2※3=( )。
6.(无锡)用“+、-、×、÷”和( )算24。每个数字只能用一次,写出算式即可。
(1)2,2,4,9 (2)1,5,5,6 (3)3,3,6,10 (4)7,8,9,10
二、仔细推敲,准确判断。
1.0除以任何数都得0。 ( )
2.三位数乘两位数,积一定是五位数。 ( )
3.甲数除乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 ( )
4.一个数除以一个真分数,商一定比原来的数大。 ( )
5.计算小数加、减、乘、除法时,都要把小数点对齐。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(汕头)7.65÷0.85的商的最高位是( )。
A.个位 B.十位 C.十分位 D.百分位
2.(镇江)我们知道:2个10相乘可记作102,3个10相乘可记作103。按这样的方法,
1.6×105的结果应该是( )。
A.800 B.16000 C.160000 D.1600000
3.若a+b=23,则(a+5)+(b-4)=( )。
A.23 B.24 C.25 D.26
4.(邢台)已知 M=2234×3211,N=2231×3214,下面结论正确的是( )。
A.M>N B.M=N C.M5.已知a 是一个真分数,b是一个假分数,下列答案一定大于1的算式是( )。
A.a÷b B.a×b C.b-a D.a+b
6.已知a,b,c,d都是非0自然数,设n=a×b÷c÷d,则下列与n不相等的算式是( )。
044
A.a×(b÷c)÷d B.a÷(c÷b)÷d
C.a×(b÷d÷c) D.a÷d÷(b÷c)
已知 ,, 都是不等于 的自然数,且c c c c7. abc 0 × > + ,那么(a b a b
)。
A.a+b>c B.a+b=c C.a+b8.王老师为三好学生买了三件奖品,其中最贵的一件是15元,最便宜的一件是10元。估
一估,这三件奖品的价钱大约在( )元之间。
A.25~30 B.30~35 C.35~40 D.40~45
四、运用知识,解决问题。
1.计算下面各题,能简算的要简算。
8.1+1.73+1.9+8.27 18.55-2.45-1.55
6.47÷1.25÷8 2800-800×4.2÷56
5 4 10 2 3
6×9÷3+3 0.6×47+52×5+60%
(1 5 76+8-12)
15 é ù
×4.8 32×
ê8 1÷ (90%+ ) ú
ê15 6 ú
045
8 êé3 (7 1) ùú 2 1 39× ê4- 16-4 ú (1-75%× )÷ ( 5 4+8)
2.(沈阳)小伟在计算有余数的除法时,把被除数128错写成了182,这样商就比原来多了
6,而余数正好相同。这道题的余数是几
培 优 提 升 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(信阳)已知1÷A=0.0909……,2÷A=0.1818……,3÷A=0.2727……,4÷A=
0.3636……,那么9÷A 的商是( )。
2.按要求在算式584-5.8×17+7.8÷0.02中添上括号。
(1)运算顺序:×→+→-→÷ (2)运算顺序:-→×→+→÷
算式: 算式:
3.如果a, 都是非
a b 27
b 0自然数,并且满足4+7=
,那么
28 a+b=
( )。
4.(青岛)0.22×8.03+0.23×8.02+0.24×8.01的整数部分是( )。
5.(复旦附中)有13个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么,平均
值精确到小数点后两位数是( )。
二、仔细推敲,准确判断。
1.加法和减法互为逆运算。 ( )
2.1×2×3×4×5×6×7×8×9×10的积的末尾有两个0。 ( )
3.得数是1的两个数互为倒数。 ( )
4.甲数除以乙数的商是1.23,甲数一定是小数。 ( )
1 3 7 15 31
5.1- , , ,21-41-81-
,1- ,…这样减下去,结果越来越接近0。 (16 32
)
046
三、反复比较,慎重选择。
1.(常州)计算“3.26×2.8”时,三位同学的计算结果分别是91.28,9.128,9.126,其中只有
一位同学算对了。不计算,你认为正确的结果是( )。
A.91.28 B.9.128 C.9.126
2.(淳安)下面的四个数中,( )可能是“5. ×4.5”的积( 代表一个数字)。
A.20.4 B.23.84 C.25.2 D.30.25
3.(溧阳)数m,n,t在数轴上的位置如下图所示,下面选项中与数t最接近的是( )。
A.m+n B.m×n C.n÷m
4.小明和小王在玩报数游戏,小明报的数a 在25~50之间,小王报的数b 在10~20之
间,那么a+b的结果是在( )之间,a-b的结果是在( )之间。
A.5~40 B.15~30 C.35~70 D.45~60
5.(绍兴)已知3 8× 2是一道三位数乘两位数的算式,那么下面四个数中,( )
有可能是它的得数。
A.2696 B.40296 C.1696 D.13776
6.(扬州)为了确保通信安全,信息需要加密再传输。现规定加密的规则:明文(a,b)加密
后变成密文是(4a+3b,4b2-2)。如:明文(2,4),密文是(20,62)。密文(17,34)的明文是
( )。
A.(3,2) B.(1,3) C.(2,3) D.(3,1)
四、运用知识,解决问题。
1.简算下列各题。
(1)9+99+999+9999 (2)1111×6666+7778×3333
(3)246×468÷(123×234) (4)198×199199-199×198198
047
()1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6 ()4 1 4 2 2 552.2+4.4+6.6+8.8+11+13.2 6 (7×9×11)÷ (11×7×9)
()1×2×3+3×6×9+9×18×27 1 1 1 1 17 ()2×4×6+4×8×12+8×16×24 85×7+7×9+9×11+11×13+13×15
2.(浙江)设a@b=[a,b]+(a,b),其中[a,b]表示a 与b的最小公倍数,(a,b)表示a 与
b的最大公因数。已知12@x=52,则x=( )。
048