福建省四校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（Word版含答案）

福建省四校2022-2023学年高二下学期期中联考
考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请把答案填在答题卡的相应位置.
1.已知点在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A.直线的倾斜角为 B.直线的倾斜角为
C.直线的斜率为 D.直线的斜率为
2.我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？"其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（ ）
A. B.此人第三天行走了一百三十里
C.此人前七天共行走了九百一十里 D.此人前八天共行走了一千零八十里
3.抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（ ）
A. B. C.1 D.-1
4.若，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲 乙 丙 丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲 乙两车不停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A.288种 B.336种 C.384种 D.960种
6.如图，是棱长为1的正方体，若平面，且满足，则到的距离为（ ）
A. B. C. D.
7，2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办，将甲 乙 丙 丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体育馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ）
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件
C. D.
8.已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填在答题卡的相应位置.
9.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）
A.与所成角为
B.平面截正方体所得截面的面积为
C.平面
D.若，则三棱锥的体积最大值是
12.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案写在答题卡的相应位置.
13.已知随机变量，随机变量，则随机变量的方差__________.
14.设某批产品中，甲 乙 丙三个车间生产的产品分别占，甲 乙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为__________.
15.已知函数有零点，则实数的取值范围是__________.
16.已知一族双曲线，设为在第一象限内的点，过点分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，记的面积为，则__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求在上的最值.
18.设数列满足
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，求的值.
19.水立方 国家体育馆 五棵松体育馆 首都体育馆 国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数.设从五棵松抽出的人数为，求随机变量的概率分布列及数学期望.
20.如图，在三棱柱中，四边形为菱形，E为棱的中点，为等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.
21.已知椭圆与轴正半轴交于点，直线与椭圆交于 两点，直线与直线的斜率分别记为，，
（1）求的值
（2）若直线与椭圆相交于 两点，直线 的斜率分别记作 ，若，且在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.
22.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，，证明：.
联考参考答案
一 单项选择题：
1-8ABBADCDA
二 多项选择题：
9.AD 10.AC 11.BCD 12.BCD
三、填空题：
13.8 14.0.05 15. 16.253
四 解答题：
17.解（1）函数，则，
当时，，当，
故函数在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减
且，
则在上的最大值，最小值，
18.解（1）
，
数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，则.
（2）因为，所以，
令，且数列前项和为，
则①，②，
由①-②得，
则，所以，
19.（1） 设“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件种情况.若2人都来自国家体育馆有种情况，若2人都来自五棵松体育馆有种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率.
（2）由题意的所有可能取值为.及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共有：种.
当时，只有一种情况水立方 国家体育馆 五棵松体育馆各抽1人，共种，此；
当时，水立方1人 五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共=24种，，
当时，3人都来自于五棵松体育馆，共种.
的分布列如下：
.
20.（1）
如图，连接，与相交于点F，连接CF，.
因为四边形为菱形，所以F为的中点，且.
因为为等边三角形，所以，
因为，BF CF在面A1BC内，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以.
（2）设AC，AB的中点分别为O，G，连接.
由（1）可知，又，AB1 AC在面AB1C内，
所以平面，OB1 OC在面AB1C内，则OB1 OC与BC垂直，
因为，所以平面，
因为为等边三角形，所以.
以O为坐标原点，的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
由，得，
所以.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
21.（1）由，得，解得或，
当时，；当时，，
所以，，
因为，
所以，
所以；
（2）若直线的斜率不存在，则垂直于轴，则点不在以为直径的圆内，不合题意，
若直线的斜率存在，设直线为，设，
由，得，
由，得，
则，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
，
由题意可知，所以解得，
所以，即，解得或，
因为在以为直径的圆内，
所以，
所以，
化简得，解得，
综上，.
22.（1）依题意得，
，.
①当时，，∴在R上单调递减；
②当时，令，解得：，
∴当时，；当时，；
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，若有两个零点，则.
又当时，，∴，，不妨设，
要证，只需证，即证.
∵，
，，∴，即证.
∵，
∴，即证，
即证.
令，则，∴只需证，即，
令，则，
令，则，
当时，，∴在上单调递增，∴，
∴在上单调递增，∴，即，
∴原不等式得证.