梅溪湖中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为[ 8，1]，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（ ）
A．关于点（2，0）中心对称 B．关于点（ 2，0）中心对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
4．如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．关于“函数，的最大，最小值与的数，的最大、最小值”，下列说法中正确的是（ ）
A．有最大、最小值，有最大、最小值
B．有最大、最小值，无最大、最小值
C．无最大、最小值，有最大、最小值
D．无最大、最小值，无最大、最小值
6．如图是下列某个函数在区间[ 2，2]的大致图象，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．“”是“不等式与同解”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
8．设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．对于任何两个集合，恒成立
B．“对于，”的否定是“，”
C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D．已知实数x，y，z满足，则
11．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7
B．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且，则
C．若事件A，B满足，则A与B独立
D．在独立性检验中，已知，若计算出，由此推断出犯错误的概率不大于0.0112。
2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若“函数是奇函数”是真命题，则a的值是__________．
14．设为R上的可导函数，且，则曲线在点（1，）处的切线斜率为__________．
15．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是__________．
16．已知函数（，）至多有一个零点，则的最小值为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．请在指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为（）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
18．（本小题满分12分）
已知实数，函数．
（1）当时，求；
（2）当时，若关于a的方程有解，求实数m的范围．
19．（本小题满分12分）
某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图．
（1）该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c最后结果按四舍五入保留一位小数）
（2）根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
经验回归方程残差平方和
18.29 0.65
20．（本小题满分12分）
某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买．
21．（本小题满分12分）
若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）求的“倒域区间”．
22．（本小题满分12分）
已知，．
（1）求方程的根的个数；
（2）证明：（）2022-2023-2 长郡梅溪湖中学高二年级期中考试
数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A A D C A D B
1.【答案】C
5
【解析】 A y 0 y ，因为B x 1 x 3 ，所以 A B 故选：C.
2
2.【答案】A
f 2x 1
【解析】因为函数 y f x 的定义域为 8,1 ，对于函数 g x ，
x 2
8 2x 1 1 9 9
则有 ，解得 x 2或 2 x 0 .因此，函数 g x 的定义域为
x 2 0 2
, 2 2,0 .
2
故选：A.
3.【答案】A
【解析】因为 f x 2 为奇函数，所以 f x 2 f x 2 ，所以函数 f x 图象关于点 2,0 中心
对称
故选：A
4.【答案】D
【解析】因为 2 3，所以E 2E 3，D 22 D 4D ，
E 3 D
则 E ，D .
2 4
故选：D.
5.【答案】C
x 13 x 14 14 13 14 13
【解析】 f x 1 ， x , 14 14, ，
x 14 x 14 x 14
画出函数图象如下：
x 13
函数 f x ， x , 14 14, 无最大值，也无最小值；
x 14
x 13
当 x Z时，此时函数的图象为 f x 上一些点，
x 14
x 13 x 13
当 x 3且 x Z时， g x 0,1 ，当 x 4且 x N时， f x 1，
x 14 x 14
且函数在 x 3且 x Z 上单调递减，在当 x 4且 x N上时单调递减，
x 13 x 13
故 x 3时， g x 取得最小值，当 x 4时， g x 取得最大值.
x 14 x 14
故选：C
6.【答案】A
x3 3x2 3x 14
【解析】对 B，由 f x ，知 f 2 2，但由图象知 f 2 2 ，故可排除 B，
x2 1 5
x3
2
对 C，因为 x
2 x x x x 1
f x sin x sin x 在 x 0,1 上 f x 0，而由函数图象知函数
x2 1 x2 1
一个零点在 0,1 上，而排除 C；
x2 5x
对 D，由 f x cos x 知 f 1 0，而由函数图象可知 f 1 0，故可排除 D.
x2 1
故选：A.
7.【答案】D
a1 b1 c1
【解析】取a1 b1 c1 1，a 2 b2 c2 1，满足 ， a2 b2 c2
所以a1x
2 b1x c1 0
2
即为 x2 x 1 0，a2x b2x c2 0即为 x
2 x 1 0，
两不等式的解集不同，故充分性不满足；
a1 b2 1
c1
不等式 x x 1 0与不等式 x2 x 1 0的解集相同，均为R ，但不满足 ，故必要性不
a2 b2 c2
a1 b1 c1 2 2
满足；所以“ ”是“不等式a1x b1x c1 0 与aa b c 2
x b2x c2 0同解”的既不充分又不
2 2 2
必要条件.
故答案为：D
8.【答案】B
ln x
【解析】令 f x ， x 0，
x
e2
e2
ln
3 2 ln 3 ln e 1 ln 2 ln 4
则 a f
3 ，b f e 2 2 ， c f 2 ，
3 e e e e 2 4
3
1 ln x
而 f x ，当0 x e时， f x 0， f x 单调递增；当 x e时， f x 0， f x 单调
x2
e2 e
2
递减，又2 e ，∴ f 2 f f e ，即c a b .
3 3
故选：B.
二、多项选择题
9 10 11 12
ABD AB BCD ABD
9.【答案】ABD
【解析】选项 A：由 f 1 f (1) 3 7 0 ，可得 f x 5x 2在 1,1 上存在零点；
1 1
选项 B：由 f f 5 1 1 0 ，可得 f x log5 x 在 ,5 上存在零点；
5 5
2
选项 C： f x x2 2x 1 x 1 0，则其零点为 1，
但不存在实数a，b 满足 f a f b 0，因而不能用二分法求此函数零点；
选项 D：由 f 0 f 1 1 1 0，可得 f x 3x 2 在 0,1 上存在零点.
故选：ABD
10.【答案】AB
【解析】对于任何两个集合，都有 A B A A B ，所以 A B A B 恒成立，故 A 正确；
“对于 x 2， x2 3x 2 0”的否定是“ x 2 ， x2 3x 2 0”，故 B 正确；
对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故
y x xy yz xy xz xz yz z x y
C 错误；对选项 D： 0，故 D 错误；
y z x z y z x z y z x z y z x z
故选：AB.
11.【答案】BCD
7 8
【解析】A：由10 70% 7，所以70%分位数是 7.5，错误；
2
B：∵ X ~ N 3,1 ，∴正态曲线关于 x 3对称，且P X 2c 1 P X c 3 ，
∴2c 1 c 3 2 3，∴V 正确
C：因为P AB P AB P A ，即 P AB P A P AB ，又P AB P A 1 P B ，即
P A P B P A P AB ，所以P AB P A P B ，故 A 与B 独立，正确；
D：由独立性检验知正确；
故选：BCD
12.【答案】ABD
【解析】根据题意， X 的可能取值为0 ，1，2 ，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有 4 所，了解冰壶
的人数在30以下的学校有6 所，
C04C
2
1 C
1C1 224 8 C C
0
6 2
所以，P X 0 6 2 ，P X 1
4 6 P X 2 4 6，
C 210 3 C10 45 15 C
2
10 45 15
所以， X 的概率分布列为：
X 0 1 2
1 8 2
P
3 15 15
2 2 2
8 4 12 4 4 1 4 8 4 2 32
所以，E X ，D X 0 1 2 ，
15 15 5 5 3 5 15 5 15 75
所以，ABD 选项正确，C 选项错误.
故选：ABD.
三、填空题
1 1
13. 1 14. 15. 0, 16.3
4 2
13.【答案】 1
1
14.【答案】
4
f 1 f 1 2 x 1 f 1 f 1 2 x 1
【解析】 f 1 lim lim .
x 0 2 x 2 x 0 x 4
1
故曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线斜率为 .
4
1
15.【答案】 0,
2
【解析】根据题意，学生一次发球成功的概率为 p ，即 p X 1 p ，发球次数为 2 即二次发球成功的
2
概率为P X 2 1 p p，发球次数为3的概率为P X 3 1 p ，则期望
2
E X p 2p 1 p 3 1 p p2 3p 3，依题意有E X 1.75 ，
2 5 1 1即 p 3p 3 1.75，解得 p 或 p ，结合 p 的实际意义，可得0 p .
2 2 2
16.【答案】3
b2 4ac 0 b2 b
【解析】由题意知 ，∴c , 2 ，
0 2a b 4a a
b2
2 a
2 ab
故 a b c a ab ac 4
b a ab a2 ab a2
2
b b
4 4
4a2 4ab b2 a a ，
4ab 4a2 b
4 4
a
2
b a b c 4 4t t 2 1 t 1 6 t 1 9
设 t ， t 2，则
a b a 4t 4 4 t 1
1 9 3 1 9 3
t 1 2 t 1 3， 4 t 1 2 4 t 1 2
9
当且仅当 t 1 ，即 t 4时取等号，此时b 4a，c 4a ，符合题意，
t 1
a b c
故 的最小值为3，故答案为：3
b a
四、解答题
920 920 920
y
17.【解析】(1)依题意 1600 1600 83 ， 3 v 3 2 v
v v
1600
当且仅当v ，
v
即 v 40 (千米/时)时，等号成立.
920
最大车流量 y 11.1千辆时.
83
920v
(2)由条件得 10 ，
v2 3v 1600
整理得v2 89v 1600 0，
解得25 v 64，
故汽车的平均速度应该在 25,64 范围内.
2x 1, x 1
18.【解析】(1)当a 1时，函数 f x ，
x 2, x 1
所以 f f 2 f 4 7 .
(2)当 a 1时， f a a 2a 3a 3，
所以 f f a 2 f a a 6a a 5a ，
f a2 a2 2a
因为 f f a f a2 m有解，
所以 5a a2 2a m，
m a2即 3a a 1 有解，
9
解得m .
4
1 1
19.【解析】(1)由题可得 x 1 2 3 4 5 6 3.5， y 0.5 1 1.5 3 6 12 4 ，
6 6
6 6
xi yi 1 0.5 2 1 3 1.5 4 3 5 6 6 12 121 x
2
， i 1 4 9 16 25 36 91，
i 1 i 1
6
xi yi 6xy
i 1 121 5 4 3.5
所以b 2.116 ，a y bx 4 2.11 3.5 3.4，
2 2 91 6 3.5
2
xi 6x
i 1
方案①回归方程 y 2.1x 3.4，
对 y edx c 两边取对数得： ln y dx c，令 z ln y ， z dx c是一元线性回归方程.
1
z 0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 0.85，
6
6
xi yi 6xy
i 1 28.9 6 3.5 0.85d 0.63
6 ，
2 2 91 6 3.5
2
xi 6x
i 1
c z dx 0.85 0.63 3.5 1.4，
方案②回归方程 y e0.6x 1.4 ；
2 18.29R1 1 n
(2)方案①相关指数
y2
；
i ny
2
i 1
2 0.65R2 1 n
方案②相关指数 2 2 ， yi ny
i 1
R21 R
2
2 (有此结论即给分)，
故模型②的拟合效果更好，精度更高.
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量 y e4.8 1.4 e3.4 30 (千件).
20.【解析】 (1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为 100 1 0.2 100 0.5
100 1 0.1 100 0.5 8500，
∵8500 8400 ，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买.
(2)① X 的可能取值为0 ，1， 2 ，
P X 0 C02 0.2
0 0.82 0.64 ，
P X 1 C1 12 0.2 0.8
1 0.32，
P X 2 C22 0.2
2 0.80 0.04 ，
∴ X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
E X 0 0.64 1 0.32 2 0.04 0.4 .
②设事件 A ：发现在抽取检验的2 件产品中，恰有一件是废品，
则 P A C12 0.2 0.8 0.5 C
1
2 0.1 0.9 0.5 0.25，
一箱产品中，设正品的价格期望为 元，
则 8000，9000，
设事件B1：抽取废品率为20%的一箱，
则 P 8000 P B1 A
P AB C11 2 0.2 0.8 0.5 0.64，
P A 0.25
设事件B2 ：抽取废品率为10% 的一箱，
P AB C1 0.1 0.9 0.5
则 P 9000 P B2 A
2
2 0.36，
P A 0.25
∴ E 8000 0.64 9000 0.36 8360，
∵8360 8400，
∴已发现在抽取检验的2 件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买.
21.【解析】(1)先求 g x 在 2,0 上的解析式
2 x 0，则0 x 2，
有 g x x2 2x
因为， g x 为定义在 2,2 上的奇函数，
则有 g x g x
所以， g x g x x2 2x ， 2 x 0 .
1 1
(2)因为 g x 在 x a,b 时，函数值 y 的取值区间恰为 , ，
b a
1 1
则有， 且a b，
b a
所以a、b 同号，
所以只需考虑 2 a b 0或0 a b 2即可.
①当0 a b 2时， g x 在 x 1, 2 上单调递减，
1
g a a
则 g x 在 1,2 内的“倒域区间” a,b 应满足， 1 ，
g b
b
1 a b 2
1
则可知，a，b 是方程 g x 的两个解，且1 a b 2，
x
1
解方程 g x ，
x
1
即 x
2 2x ，可化为 x3 2x2 1 0，
x
2
即 x 1 x x 1 0，
1 5 1 5
解得， x1 1， x ，2 x3 0 (舍去)
2 2
1 5
所以，a 1，b ，
2
1 5
所以， g x 在 1,2 内的“倒域区间”为 1,
2
②当 2 a b 0时，根据 g x 的图象知， g x 最小值为 1，
1
所以有 1，b 2, 1 ，
b
从而有 2 a b 1，
又 g x 在 2, 1 上单调递减，
1
g a a
则 1 ，
g b
b
2 a b 1
1
则可知，a，b 是方程 g x 的两个解，
x
且 2 a b 1，
1 1
解方程 g x ，即 x2 2x ，可化为 x3 2x2 1 0，
x x
即 x 1 x2 x 1 0，
1 5 1 5
解得， x1 1， x ，2 x3 0 (舍去)
2 2
1 5
所以，a ，b 1，
2
1 5
此时 g x 的“倒域区间” , 1 ，
2
1 5 1 5
所以， g x 的“倒域区间”为 , 1 1, .
2 2
22.【解析】(1)由题意即求函数 f x sin x ln x 1 的零点个数
1
f x 定义域为： 1, 且 f x cos x
x 1
1
令 g x cos x ， x 1, ，
x 1 2
1
∴ g x sin x
2 ， x 1, ，
x 1 2
1
∵ 2 在 1, 上单调递减， sin x ，在 1, 上单调递减 x 1 2 2
∴ g x 在 1, 上单调递减，
2
4 4
又 g 0 sin 0 1 1 0 ， g sin 1 02 2 ，
2 2 2 2
∴ x0 0, ，使得 g x0 0 ，
2
∴当 x 1, x0 时， g x 0；
x x0 , 时， g x 0
2
即 g x 在 1, x0 上单调递增；
在 x0 , 上单调递减，
2
则 x x 为 g x0 唯一的极大值点，
即： f x 在区间 1, 上存在唯一的极大值点 x0 .
2
1
f x cos x ， x 1, .
x 1
①当 x 1,0 时，可知 f x 在 1,0 上单调递增，
∴ f x f 0 0 ，
∴ f x 在 1,0 上单调递减，
又 f 0 0，
∴ x 0为 f x 在 1,0 上的唯一零点.
②当 x 0, 时， f
x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , 上单调递减，
2 2
又 f 0 0，
∴ f x0 0
∴ f x 在 0, x0 上单调递增，此时 f x f 0 0 ，不存在零点，
2 2
又 f cos 0，
2 2 2 2
∴ x1 x0 , ，使得 f x1 0 ，
2
∴ f x 在 x0 , x1 上单调递增，在 x1, 上单调递减，
2
2e
又 f x0 f 0 0， f sin ln 1 ln ln1 0，
2 2 2 2
∴ f x 0在 x0 , 上恒成立，此时不存在零点.
2
③当 x , 时，sin x 单调递减， ln x 1 单调递减，
2
∴ f x 在 , 上单调递减，
2
又 f 0 ， f sin ln 1 ln 1 0，
2
即 f f 0，
2
又 f x 在 , 上单调递减，
2
∴ f x 在 , 上存在唯一零点，
2
④当 x , 时，sin x 1,1 ， ln x 1 ln 1 ln e 1，
∴ sin x ln 1 1 .
即 f x 在 , 上不存在零点，
综上所述： f x 有且仅有 2 个零点.
sin1 sin 2n cos 2n 1 cos 2n 1
(2)由(1)知：h 2n sin 2n ，
sin1 2sin1
1
h 2 h 4 h 2n cos1 cos3 cos3 cos5 cos 2n 1 cos 2n 1 ， 2sin1
cos1 cos 2n 1 1 cos 2n 1
所以h 2 h 4 h 2n ，
2sin1 2 tan1 2sin1
又 tan1 tan 3 ，
3
3 cos 2n 1
所以h 2 h 4 h 2n .
6 2sin1
