平罗县中2022-2023学年高二下学期4月期中考试
（理科）数学试卷（A）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D B B A B C C D A C
13．； 14．； 15．； 16．
17．（1）
，
（2），或，或；
，，；
，，所以△ABC是正三角形，
18．（1）由题意得：，
，
，∴ 数列是等比数列
（2）
①
②
①—②得：
，
19．（1），
；
（2）
；
（3）
．
20．（1）分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则
，
平面PCD的法向量
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
（2）设，，则
要使PD⊥平面ABM，只需PD⊥AB，PD⊥AM
即：且
∴ 在线段PC上存在点M，使得PD⊥平面ABM ，.
21．（1）的定义域是
时，
当时，；当时，；
所以的单调增区间是，单调减区间是.
（2）由得：
令，
令，
在上单调递减，且
当时，，即；
当时，，即
所以在上单调递增，在上单调递减
又因为时，，故在上恒成立
的大致图象如图所示
由题意得，与的图象有两个交点，所以
所以m的取值范围是.
22．（1），
， ，
椭圆C的方程为
（2）设，
由得：，
，
直线MA与MB关于x轴对称，所以
直线l：过定点，而点在椭圆C的内部，符合题意.平罗县中2022-2023学年高二下学期4月期中考试
（理科）数学（A）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷为高二年级期中考试凌云班专用试卷。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，使用0.5毫米黑色中性笔，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．已知复数z满足：，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线有一条重要的性质：从焦点发出的光线照射到抛物线上，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，射到抛物线上，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点. 此性质被广泛应用于微波和卫星通讯等领域. 已知抛物线C：，一条平行于C的对称轴的光线，经过点照射到抛物线上的点A处，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点F，若，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．关于直线m，n，l与平面，，，有下列四个命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若，，则；
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
7．十一放假期间，四位大学生返回母校看望高中时的老师. 他们在学校见到了正在值班的物理老师和数学老师，于是他们邀请两位老师一起拍照留念. 若两位老师必须站在中间，则不同的排队方式有（ ）种.
A．24 B．48 C．60 D．120
8．设函数，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知M是圆上的动点，过M作x轴的垂线，垂足为N，MN的中点为P，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线右支上的一点，若，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的偶函数的导数为，当时，恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡中的横线上).
13．若，则 .
14．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ．
15．某同学设计了一个求圆周率近似值的方法：画一个圆，然后随机地向圆内撒100粒芝麻，结果有41粒芝麻落在了圆内接正三角形中. 据此估计 ．
16．已知函数. 设，，若曲线在和处的切线互相垂直，则实数的取值范围是 .
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
17．（本题10分）已知向量，，.
（1）求函数的最小正周期与最大值；
（2）在△ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，，，，求△ABC的面积.
18．（本题12分）已知数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前n项和.
19．（本题12分）为了检测学生对近一周所学知识的掌握情况，某数学教师在自己所任教的两个班级进行了一次周测验，并从两个班各随机抽取了10份试卷，分别命名为甲组和乙组，将成绩(满分100分)制作成了如下茎叶图.
（1）已知甲组的中位数是89，求，并估计乙组试卷所在班级的周测平均分；
（2）从甲组试卷中随机抽取4份，不同的抽取方法共有M种，记事件A为“抽到的试卷中恰有2份试卷的得分不低于90分”，求M和P(A)；
（3）规定得分在90分以上（不含90分）的试卷为优秀试卷. 现从甲、乙两组得分在85分以上的试卷中各随机抽取2份，不同的抽取方法共有N种，记事件B为“从甲组抽到的优秀试卷少于从乙组抽到的优秀试卷”，求N和P(B)．
20．（本题12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，，．
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使得PD⊥平面ABM 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（本题12分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围.
22．（本题12分）已知椭圆C：过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知，不经过M点的直线l：与椭圆C交于A、B两点. 若直线MA与MB关于x轴对称，证明：直线l恒过定点，并求出定点的坐标.
